2023-2024学年福建省福州市高二年级上册期末联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学模拟试题

第1卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

,P-P---

1.己知空间向量a=（2，T，3）,6=（-2,羽一3）,且a'b,则产（

)

A.1B.-13C.13D.-5

【正确答案】B

【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为"（2,—1,3）,，=（—2,x,—3）,且；遍,

所以-4—x-9=0,

解得x=—13,

故选：B.

2.若直线/的方向向量是e=则直线，的倾斜角为（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【正确答案】B

【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解

，、_

【详解】由直线/的方向向量是e=（l,百）得直线/的斜率为6，

设直线的倾斜角是a（04a<7t）,tana=a=三，

故选：B.

3.已知椭圆。：£+汇=1（4〉6>0）的左右焦点分别为耳,耳，离心率为且，过点耳的

a~b22

直线/交椭圆于4、2两点，若/玛6的周长为8,则C的方程为（）

222222

A.—+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.

164161243

2

X21

—+V=1

4

【正确答案】D

【分析】由椭圆的定义知4nB的周长为4。，结合已知条件求出。，再由离心率求出C,

进而求出b,从而得出答案.

【详解】由椭圆定义可得»可|+»用=2。，忸片|+忸用=2%

又»修|+|阳=1/，

所以的周长|工.+|/82|+|明|=4匹

所以4。=8,故。=2,

Xe=-=>所以c=V^，

a2

所以6="二7=1

所以椭圆C的方程为二+必=1.

4'

故选：D.

4.若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线x-y+5=0的距离为

()

A50R3V2…n.

22

【正确答案】A

【分析】根据题意可设圆的方程为(x—4)2+3—4)2=42,且。>0,代入点到直线的距

离公式即可求解.

【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为(。,a),a>0,r=a,

所以设圆的方程为(x-a『+(y-a)?且a〉0,

\d—Q+5|Syfo,

则圆心到直线的距离为d=—1=士.

收2

故选：A

5.如图，已知正四棱锥P-48C。的所有棱长均为1,E为尸C的中点，则线段必上的动

点〃到直线的距离的最小值为()

【正确答案】D

【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量8京在50上的投影的大小，再求点"到直

线8E的距离，由此可求其最小值.

方法二：证明PE为异面直线尸48E的公垂线段，由此可求动点收到直线BE的距离的最

小值.

【详解】连接记直线的交点为。，

由已知PO1平面ABCD,AC1BD,

以点。为原点，。彳；。5：。方为X以z轴的正方向建立空间直角坐标系，

由已知AB=BC=CD=DA=LPA=PB=PC=PD=1,

所以04=。。=,工。=也,。8=也,。「=、/^=也，

222V22

则N-—,0,0,B0,-^-,0,P0,0,-—,C--—,0,0,E-,0,,

\27\27k»「J—

所以BE=一一，一一，一，B'=彳F°'“十石°万’

1424J

设9鼻)(04441)，则

-*r»K(八拒72V2J

BM=BA+AM=BA+ZAP=(

7222J

户4百W+1)

所以京在上的投影向量的模为

8BF阔V36

2

又,河=J；(l_/L)2+；+ga2=J%—%+],

IA2-A+1-—(2A+1}2=J-A2--2+—

所以动点M到直线BE的距离d=.

12'7V3312

所以d=J|(4—'

所以当2=1时，动点例到直线8E的距离最小,最小值为

故选：D.

方法二：因为PBC为等边三角形，E为PC的中点，所以PE工BE,

由已知/M=1,PC=1,NC=JI,所以P/+PC2=』C2,

所以PZ_LPC,

所以尸£为异面直线尸Z,8E的公垂线段，

所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值,

所以动点"到直线BE的距离最小值为去，

故选:D.

6.已知椭圆C：与+==1(。>6>0)与抛物线f=2勿(,>0)有相同的焦点点A

a~h~

是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是()

A.7B.在C.V2-1D.V3-1

2

【正确答案】C

【分析】分析可得，=2c,求得M尸|=2c,设设椭圆的下焦点为厂'，利用勾股定理可求

得“尸1,利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.

/\

【详解】易知点尸(c,0)或少0,日,所以，c=§,即p=2c,

I2J2

将y.代入抛物线方程可得x=+p,则=P=2c,

设椭圆的下焦点为厂'，因为ZFLy轴，则叶+归尸〔2=2缶,

由椭圆的定义可得2a=\AF\+\AF'\=2c+2y/2c=2(1+逐卜，

所以，椭圆的离心率为e=£="—=J5—1.

aV2+1

故选：C.

7.初中时通常把反比例函数y=A（左HO）的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定

x

义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K>0时只需把反

比例函数的图像绕着原点顺时针旋转45"，便得到焦点在x轴的双曲线的图形.所以也可以理

解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线尸为实轴的等轴双曲线，那么当仁4

时，双曲线的焦距为（）

A.8B.4C.2拒D.4.72

【正确答案】A

【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由（2,2）绕原点顺时针旋

转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.

【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等

轴双曲线，设为0-乌=1（。〉0〉又注意到（2,2）在函数^=［图像上，其与原点连线与

x正半轴夹角为45°，则将点（2,2）绕原点顺时针旋转45°后，该点落在x正半轴，设为

因旋转前后到原点距离不变，则〃?2=g=,机=272•

即将点（2,2）绕原点顺时针旋转45°后，可得RJ5,O）,则仅J5M满足=-与=1.

可得双曲线方程为二-匕=1，则c=J^=4,则焦距为2c=8.

88

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.）

8.正四面体48。中，棱长为高为心外接球半径为心内切球半径为八48与平面

8co所成角为a,二面角ABDC的大小为£,则（）

A/a

A.h=----aB.R=2rC.sin«--D.

33

c1

cosP=~

【正确答案】AC

【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.

【详解】取8。的中点/，△8CZ）的中心H,连接AH,BH,CM,

对A：•••Z8C。为正四面体，则AHL平面BCD,故外接球的球心。（也为内切球的球

心）在ZH上，

则

AM=CM=—a,BH=CH=-CM=~a,DM=-CM=—a,h=AH=—

233363

,A正确；

对B：OA=OB=R,OH=r=—a-R

3

VAH±平面BCD,CMu平面BCD,

AHLCM,

故OB'=BH2+OH2，即火2=(逅q]+f—a-7?>解得R=^~a，

33

IJI)4

故r:凡一旦a=旦a,则夫=3r,B错误；

3412

对C：由AH,平面88,可得与平面88所成角为。=

故sina=sin£4BH=^-=,C正确；

AB3

对D：为8。的中点，且AB=AD=BC=BD,则Z"_L8。,。“，8。,

故二面角A-BD-C的大小为P=AAMC,

百

6，1

错

在RtAHM^,则cos小。s/ZAG*==-D误

百

3^

4

2

故选：AC.

A

9.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且满足|%|=|即)|，公差d<0,则()

A.%=0B.S13>0C.Sn有最大值D.

S,,=Sg(lW〃Q2,〃eN*)

【正确答案】ACD

【分析】首先根据已知条件得到4>°，4o<°，为+4。=°，再依次判断选项即可得到

答案.

【详解】因为满足,41Tqo|，公差d<0，

所以。4>0，4o<O，且。4=—4()，即。4+卬0=0.

对选项A,%+qo=2%=O,即％=0，故A正确.

对选项B,s=13(%+.3)=13回+&)=0,故B错误.

1322

对选项C,因为%=0，d<Q,所以以>0，网<0，

所以当“=6或〃=7时，S.有最大值.故C正确.

对选项D,因为当〃=6或〃=7时，S,取得最大值，

所以5“=百3-”(14w412,〃eN*),故D正确•

故选：ACD

10.已知抛物线/=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线交于

4、8两点，若”(加,2)是线段的中点，则()

A.m=\B.p=4C.直线/的方程为y=2x—4D.

\AB\^5

【正确答案】BC

【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由

点”（〃?,2）在直线/上可求得机，可判断A：利用弦长公式可判断D.

【详解】由题知，2=4,故B正确；

故抛物线方程为/=8x,

设N（X1,乂）,8（》2，必），易知玉*》2，则

弁=8占y,-y,8

由点差法可得

x-x

y\—吸｝2凹+%

又2）是线段的中点，所以％+%=4,所以直线/的斜率汨**=2

玉一12

因为直线/过焦点/（2,0）,所以/的方程为歹一0=2（工一2）,即y=2x—4,C正确；

将代入y=2x—4可得〃？=3,A错误；

将y=2x-4代入=8%得J一6》+4=0，所以玉+吃=6,所以

\AB\=%1+x2+/；=6+4=10,故D错误.

故选：BC

11.在数列｛4｝中，若。；一。3=夕（〃之2,〃€叶,「为常数），则称｛4｝为“平方等差数列”.

下列对“平方等差数列''的判断，其中正确的为（）

A.｛（-2）"｝是平方等差数列

B.若（«„｝是平方等差数列，则｛4｝是等差数列

C.若㈤｝是平方等差数列，贝U｛M+6｝/,beN*,人力为常数）也是平方等差数列

D.若｛4｝是平方等差数列，则｛%也｝&beN*,左/为常数）也是平方等差数列

【正确答案】BD

【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.

【详解】对于A,当〃为奇数时，则（〃一1）为偶数，所以

（-2）"2）"“=-（2"+2"T）=-32-1,

当”为偶数时，则（〃—1）为奇数，所以（一2）"-（—2）"T=（2"+2"T）=3-2"T,

即卜-2）"｝不符合平方等差数列的定义，故错误；

对于B,若｛4｝是平方等差数列，则片一吮=p（〃22,〃eN*,p为常数），即｛片｝是首

项为公差为P的等差数列，故正确；

对于C,若｛为｝是平方等差数列，则个一。3=夕(〃22,〃€]\*,"为常数)，

则(M+6)2-(MT+6)2=k2(a；-a；_J+2例a,-%T),

即(3+J—(k%+b)2=£p+2kh(a„-an_｝),

当｛a,J为等差数列时，an-an_｝=d,则｛他+印为平方等差数列，

当｛《,｝不为等差数列时，则｛履,,+6｝不为平方等差数列，故错误；

对于D,因为｛可｝是平方等差数列，所以

ato+l~aln=akn+2~akn+l~=a*(n+l)-t(n+l)-l~~P»

把以上的等式相加，得(端M-*)+(*+2一d"+l)+…+(航向)-4(”叫T)=S，

，确用)-嫌=切，则联("+1)+6-*+产切,即数列｛%+〃｝是平方等差数列，故正确；

故选:BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

12.在等差数列｛%｝中，若q=1,%2=2&，则氏=

【正确答案】I7"巫

9

【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.

【详解】记等差数列｛4｝的公差为d,则有(q+3d)2=2(q+5d)

又％=1,所以(1+3”)2=2(1+54),解得^^土旧

9

GrN,,2±V1317±4V13

所以a=l+4x-------=----------

99

故*±4妙

9

13.己知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点(20,4),则双曲线的标准方程为

【正确答案】工-匕=1

416

【分析】由双曲线的渐近线为y=±2x,设双曲线方程为匕一/=“2^0),代入点的坐

4

标即可求得.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,所以设双曲线方程为匕--=4(4=0),

4

因为双曲线过点佃6,4),代入解得;1=-4,所以双曲线的方程为:一卷=1.

14.将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵:

1

35

1197

13151719

2927252321

按照以上排列的规律，记第i行第4个数为%八如％.2=15,若=2023,贝〃+/=.

【正确答案】69

【分析】观察数阵的排列规律，先确定2023在数阵中的行i的值，再确定2023在该行的项

数/由此可求i+J.

【详解】观察可得数阵的第根行排加个数，

从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，

偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，

将数阵中的所有数从小到大排列记为数列｛4｝,则bn=2n-\,

令，=2023,可得”=1012,

因为2023在数阵的第i行，

所以1+2+3+…+«-1)<1012,l+2+3+---+(/-l)+z>1012,

所以『一j一2024<0,i2+i-2024>0,ieN*，

所以i=45,所以2023排在第45行，

前45行共排了1+2+3+…+45个数，即1035个数，

所以第45的最大数为135=2069,

将第45行的数从左至右排列记为｛c,J,则q=2069,

所以q,=2069—2(〃-1),即c”=2071—2〃，

因为2023为数列｛c.｝的第7项，故2071-2/=2023,

所以/=24,故i+/=69.

故69.

15.如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线f=2py(p>0)旋转形成的抛物面，当放入一个

半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的4点，当放入一个半径为2的玻璃球时，

玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为

【分析】根据题意分析可得：圆V+(y-I>=1与/=20;(p>0)只有一个交点。(“),

圆V+(歹—不=4(a>2)与f=2py(p>0)只有两个交点，分别联立方程分析运算.

【详解】如图，由题意可得：

圆/+(9-1)2=1与—=2py(p>0)只有一个交点。(/),

联立方程卜:+&T)=L消去x得V+2(p-l)y=0,解得y=0或歹=2(1-2)，

[x=2py

故2(1-p)W0,则pNl,

圆x2+(y-a)2=4(a>2)与x?=2py(p>0)只有两个交点，

联立方程]=4,消去x得y2+2(p_a)y+q2_4=0,

[x=2py

'：a2-4>0,可得若歹2+2(P一。)丁+。2-4=0有根，则两根同号，

根据题意可知：V+2(p—4)〉+°2-4=0有且仅有一个正根，

△=4（p-a）~-4（q2-4）=04__

故,'）''则可得p+—=2a〉2p,解得0cp<2,

a-p>0P

综上所述：P的取值范围为[1,2).

故答案为.[1,2)

方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为

方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共6大题，10分+12

分+12分+12分+12分+12分，共70分)

16.在数列｛%｝中，a5=15,点(a”a“+i)(〃eN*)在直线x-尹3=0上.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)也｝为等比数列，且4=%也=%，记］,为数列也｝的前力项和，求7；.

【正确答案】(1)q,=3〃(〃eN*)

3

⑵7；=5(3"-1).

【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列｛4｝为等差数列，结合等差数列通项公式求

其通项：

(2)由条件求数列｛4｝的首项和公比，根据等比数列求和公式求7；.

【小问1详解】

因为点(%,%)(〃eN*)在直线x-y+3=0上，

所以凡一生加+3=0,即an+i-an=3,

所以数列｛%｝是以d=3为公差的等差数列，

因为牝=15,所以q+4x3=15,

故q=3,

所以为=q+3(〃-1)=3〃(〃wN*)；

【小问2详解】

设数列｛4｝的公比为q,

由（1）知“=%=3也=%=9,

所以4=%=3,所以〃=3",

所以7；

l-q1-32

17.己知平行四边形NBC。的三个顶点坐标为人一2,-1)、8(4,1)、C(2,3)

(1)求40所在的直线方程；

(2)求平行四边形N8C。的面积.

【正确答案】(1)x+y+3=0

(2)16

【分析】(1)分析可知ZD〃8C,贝蜂.《>=⑥「可求得直线N0的斜率，再利用点斜式可

得出直线/。的方程；

(2)求出直线8c的方程，可计算得出点A到直线BC的距离，并求出忸C|,再利用平行

四边形的面积公式可求得结果.

【小问1详解】

解：因为四边形力BCD为平行四边形，则ZD〃8C,则左功=左8c=上圭=一1，

4—2

所以，直线/。的方程为y+l=—(x+2),即x+y+3=0.

【小问2详解】

解：直线8C的方程为歹一1=一卜一4),即x+y-5=0,且

\BC\=J(4-2j+(1—3)2=2V2，

点A到直线BC的距离为d=卜之二-5|=4加,

V2

所以，平行四边形Z3CQ的面积为S7138T8clM=26x4收=16.

18.如图，点4(-2,1),B,C三点都在抛物线—=2勿(p>0)上，抛物线的焦点为R

且F是的重心.

y

（i）求抛物线的方程和焦点F的坐标；

（2）求8c中点M的坐标及线段8c的长.

【正确答案】（1）抛物线方程为/=4y,焦点坐标为R（O,1）；

（2）|SC|=V15.

【分析】（1）由点力在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；

（2）设8c直线方程为夕=日+6,将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得

答案.

【小问1详解】

因N（-2,l）在抛物线上，则4=2p=p=2.

则抛物线方程为一=4卜，焦点坐标为尸（0,1）；

【小问2详解】

设8c线段所在直线方程为>=丘+6,将其与抛物线方程联立

x2=4y->

''nx—4区-46=0,由题A=16&2+i6b>0.

y=kx+h

设C（x2,j^2）,则由韦达定理％+z=4左，x,x2=-4b.

3'fx.+=2

因尸是ZBC的重心，则〈=><c，则8C中点〃的坐标为

1+/+-2_=1［乂+%=2

13

（一，宁］=（1，1），4k=2nk=L又M在直线y=H+b上，则

2

\=k+bnb=；,故玉+々=

2,xxx2=-2.则

BC2

\\=/%一xj+（弘一为）=W+1-x$=J必+1X,+x）'-4X,X2

19.如图，等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=\,CD=3,AD=BC=y[3,AEA.CD，沿

/E把△。0折起成四棱锥。'一Z8CE,使得D'B=2.

D'

(1)求证：平面。'BEJ_平面。NC；

(2)求点A到平面。'8C的距离.

【正确答案】(1)证明见解析；

(2)点A到平面。'8C的距离为叵.

11

【分析】(1)先证明平面Z8CE,由此证明。'E_L4C,再证明3E14C，根据

线面垂直判定定理证明4c_L平面,再根据面面垂直判定定理证明平面。'8E_L平面

D'AC,

(2)建立空间直角坐标系，求平面。'8C的法向量和再由距离公式求解.

【小问1详解】

因为//CO,AB=\,CD=3,AD=BC=石,AELCD，

所以DE=H=l,AE=y/^i=e,

2

所以。'E=l,又D'B=2,BE=y/2+l=VJ)

所以D'B2=BE2+D'E2，故D'E1BE,

又D'ELAE,4E,BEu平面4BCE,AElBE=E,

所以。'E,平面Z8CE,因为ZCu平面ZBCE,

所以。'E_L/C,

在等腰梯形/BCD中，AD=y/3,AC=>j2+4=y/6,DC=3，

所以44+AC2=CD2,

所以ZD,力C,又AD//BE,

所以ZCJ.8E,

因为。'E,8Eu平面OBE,D'EBE=E,

所以ZC_L平面。ZE,因为4Cu平面。'ZC,

所以平面。ZEJ_平面。'ZC；

由(1)D'E1¥51ABCE,AE1EC,

以点E为原点，点：£《；瓦/为x，J，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则/(&,0,0),8(6l,0),»(0,0,l),C(0,2,0),

••，、一，、■.■

所以/8=(O,l,O),8C=卜板,1,0),。'。=(0,2,-1),

设平面。'8C的法向量为〃=(xj,z),则

/n,0g"-缶+歹=。

-X—K,所以〈,

[w-DrC=0[2y—z=0

令x=0，则y=2,z=4,

■、

所以〃=(J5,2,4)为平面。'8C的一个法向量，

1吗〃2后

所以点A到平面D'BC的距离为d

770+4+1611

A

y

/B

20.已知数列｛%｝满足：4=1,上」=3凡+1

十】

(1)证明数列为等差数列，并求数列｛6,｝的通项公式；

2n

(2)若仇=丁，求数歹I｛hn｝的前"项和7；.

【正确答案】(1)证明见解析，a„=—i―：

”3〃-2

n+1

(2)Tn=(3n-5)2+10

【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列I'-1是等差数列，并通过数列的通项

I*I*

公式得到数列｛4｝的通项公式；

(2)因为2=(3〃-2)•2",根据错位相减法即可求出数列｛〃｝的前〃项和7；.

【小问1详解】

因为a=3%+1,

4+1

113a,,+11,11、

所以--------=------------=3H--------=3,又〃=],

。向册明即册册

所以数列I'1是首项为1,公差为3的等差数列

所以'=1+(〃-1)x3=3〃-2,

a„

【小问2详解】

2"

由(1)可知：〃,=—=(3〃-2)-2",

an

23-|

Tn=1-2+4-2+7-2+...+(3«-5)-2"+(3〃-2)2,

27；=1•22+4-23++(3〃-5)-2"+(3〃-2)-2向，

上面两式相减可得-7；=2+3x(2?+2,+24+...+2")-(3〃-2).2向，

=2+3x：：2"|)一(3〃_2)2"+l=(-3n+5)2,,+|-10,

化简可得7；=(3〃-5)2"“+10,

21.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭