数列的概念与简单表示法-2021年新高考数学一轮复习

剧列的梳念与简单

袤市法

【命题解读】

数列是高考必考知识点，数列是一种特殊的函数，因此在考查数列时要注意其表示方

式，本节考查主要是数列的通项公式与前n项和公式，以及递推公式的应用，重点在于计算

能力的考查。

【命题预测】

预计2021年的高考数列的出题变化不是很大，还是以特殊数列为主，递推公式的应用

在复习中药稍加注意，主要出现在选择或者填空题中，难度适中。

【复习建议】

1.掌握数列的概念及表示方法，注重通项公式和前n项和公式；

2.掌握数列的递推公式，会运用公式求解数学有关题目。

考向一数列的概念及表示

1.数列的概念

按照确定的顺序排列的一列数，称为数列；数列中的每一个数称为数列的项；数列中的

第一个位置的数称为数列的第一项，也叫数列的首项.

2.数列的表示

(1)数列｛外｝的第n项方与它的序号n之间的关系式，用一个式子来表示，这个式子称为

数列的通项公式。

(2)数列的单调性

递增数列，递减数列，常数列

(3)数歹！J｛cin｝中5=。1+。2+的+...+。”

目典例剧新

1.【2020湖北十堰高一期末】数列力，…的通项公式可能是4=（）

A（-1尸R（-DH-（-1产（-ir

A.----------D.-----C.----------Un.---------

2〃+33〃+23〃+22〃+3

【答案】D

【解析】由〃］二—不排除A,C,由。2=亍，排除B.

故选：D.

2.12020吉林市第二中学月考】已知S,为数列｛4｝的前〃项和，且满足

S“="2+4”+2,贝0%+%+%=（）

A.10B.11C.33D.34

【答案】C

【解析】由题数列｛4｝的前〃项和满足£=/+4〃+2,则%+%+%=§5—S2=33,

故选C.

考向二数列的地推公式

已知数列｛。“｝的第1项（或前几项），且任何一项斯与它的前一项斯M（或前几项）间

的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

且典例制折

2a

1.12020四川省琪县中学月考】已知数列｛念｝满足:。1=1,%=-、（neN*）,则数

列｛斯｝的通项公式为（）

21n1

A.ci—B.ci——C.ci—D.ci=

n+1n-1n+1n+1

【答案】A

2an

【解析】・・・/+i=-------（nGN*）

4+2

,1_«„+2_l1

---------------------------------1--------

2a2a

・4+1nn

V«i=l

11

•••｛一｝是以1为首项，一为公差的等差数列

an2

1,1/〃+1

2

***an-

故选A.

2.12018广东惠州一中课时练习】数列｛a“中，4=1，亚_亚^=8%,则｛4｝

的通项4=.

【答案】-4

n

【解析】：M（”eN*）,由ai=l,可得a#0.

11,

数列｛k｝是以k=1为首项，1为公差的等差数列.

y]an\a\

i）xi="，解得％=二.

Mn2

故答案为：一2■

n-

3.12020宜宾市叙州区第二中学校高三二模（理）】在数列｛公｝中，己知

。"+2=3。“+1—2。,,4=1,4=3,则数列｛a”｝的通项公式.

【答案】2"-1

【解析】将4+2=34+1-2%,两边同时减去a“+i得，

4+2-4+1=2（%+1-4）吗-4=2,

0n+2-。几+1_2

%+「a〃

即｛。用-%｝是等比数列，其首项为2,公比为2,

所以an+\~an=(%—q)2"।=2",

从而当论2时，=(4+_。“_2)+,+(^—a^+CLy

lx(l-2n)

=2,!-1+2n~2++2+1=—-------L=2"-l-

1-2

又q=l=2—l,故4=2"—1

故答案为：2n-l.

事检测训练

题组一

2。八，°V,

1.【2020陕西西安中学高三月考（理）】数列｛凡｝满足a“+i=1若

2an~^~~an<L

2

q=不，则%021等于（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

2.12020浙江月考】已知数列｛%｝的前九项的和为S“，且S“=2%—贝U

（）

A.｛4｝为等比数列B.｛4｝为摆动数列

+1

C.an=3x2"-9D.S„=6x2"-3M-6

3.1202月考】在数列｛a,｝中，6=2,。用=%+皿1+：）,则a“=

A.2+ln/zB.2+（〃一l）ln〃C.2+zilnnD.l+〃+ln〃

4.【2020湖北沙市中学期末】已知数列｛a,｝满足4M•（1-4）=1,且囚=—g,贝I

21345

A.3B.C.

232

5.12020江西其他】已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若S“+i+S“=2"(〃eN*),且

《0=28,则%=()

A.-5B.-10C.12D.16

6.【2020河北邯郸高三月考】已知数列｛%｝满足：q=3,当〃22时，

%=(J*+1+1『T,则关于数列｛4｝说法正确的是()

A.4=8B.数列｛。”｝为递增数列

2

C.数列｛4｝为周期数列D.an=n+2n

7.12020蒙阴县实验中学高二期末】若数列｛%｝满足：对任意正整数〃，｛%+「凡｝为递

减数列，则称数列｛4｝为“差递减数列”.给出下列数列｛%｝(〃eN*),其中是嗟递减数

歹U”的有()

2

A.an—3nB.an=n+1C.an=\/nD.an=ln------

8.[2020浙江开学考试】若数列｛%｝满足％=2,an+l=4an+4M+1,则使得

a„>20202成立的最小正整数〃的值是.

9.12020浙江月考】已知数列｛4｝中，q=2,且点在抛物线V=4y上，则

数列｛4｝的前4项和是_.

10.【2019年高考浙江卷】设a,bGR,数歹!J｛斯｝满足斯+尸斯2+b,〃wN*，则

B.当Z?=；,%o>10

A.当b=>10

C.当Z?=—2,%0>10D.当b=-4,>10

鳖答案解析

题组一

1.B

214312

%——<-%——，/=-，/=一，%=-

【解析】因为52,所以5555,所以数列具有周期性，周

__2

“2021=4=7

期为4,所以5.

故选：B.

2.D

【解析】因为S〃=2a“—3〃①，

当〃=1时，al-2ai-3,解得：4=3,

当〃22时，S,T=2%_]—3(〃一1)②，

①-②得：an=2au-2an_y-3,即。“=2an_x+3,

所以4+3=2(&T+3),所以｛4+3｝是以6为首项，2为首项的等比数列，

所以4+3=6X2〃T,所以%=6X2"T—3,

所以｛4｝不是等比数列，｛4｝为递增数列，故AB不正确，

S=6x1X^2^-3n=6x2,!-3n-6>故选项C不正确，选项。正确.

“1-2

故选：D

3.A

【解析】在数列｛4｝中，%+1-%=ln[l+：]

「•4=(%-%)+(%-an-2)+...+(%-)+〃]

1n1n—112―

=In----1-In----b....+ln—+2

n—1n—21

1/nn—12、-

=ln(—r•—•……T)+2

n—1n—21

=In〃+2

故选A.

4.B

【解析】■.■an+l-(l-aj=l,=-1,

201

%=3,%=一~

二数列的周期T=3,

2020=673x3+1,

一。2020—6——5

故选:B

5.A

【解析】由题意可得：S"+I+S,=2〃2,S"+S"T=2(〃—

两式作差可得：4+a“+i=2(2〃—1)=4〃—2,①

进一步有：=4(〃—1)—2=4〃—6,

①-②可得：4+1-q-1=4,

故数列的偶数项为等差数列，且公差为4,

据此可得：。］0=%+44，即：28=4+4x4,解得：4=12.

故选C.

6.ABD

+1+1)-1得a“+l=(用7j+1+l),

an-\+1+L

=2,公差为1的等差数列,

2

an=n+2n,得。2=8,由二次函数的性质得数列｛%｝为递增数歹U,

所以易知A3。正确,

故选：ABD.

7.CD

【解析】对A,若。.=3〃，则4+1-4=3(“+1)-3"=3,所以｛a.+i4｝不为递减数

列，故A错误;

对3,若%=/+1,则%+1-4=("+1)2-〃2=2”+1,所以｛a,”-。,｝为递增数列，

故5错误；

对C,若4=n,则4+]_4=J"+1_«=+J,所以｛a,+i-a.｝为递减数

列，故C正确；

对。，若=In------,则

〃+1

an+l-an=ln七2—ln/一=ln七史•卫已=ln(l+=^—),由函数

n+2n+1n+2nrr+2n

y=ln(l+——)在(0,+8)递减，所以数｛%+「％｝为递减数列，故。正确.

x+2x

故选：CD.

8.11

【解析】%=44+4瓦+1=(2疯+1),.•.向^=2m+1,

\/an+l+1=2(*y/^7+l),

二数列｛向+1｝是以施+1=拒+1为首项，2为公比的等比数列，

.•・n+1=(应+1)X2"T,.•.嚣=(亚+1)X

由4220202得：M22020,即2"T?岩:=2021x(0—1)^837,

29=512，21°=1024且“eN*，,满足题意的最小正整数"=11.

故答案为：1L

209

9.——

64

【解析】由题得%2=4%+「

当〃=1时，Cly-44,〃2=1；

,2/11

当〃=2时，。2=4。3,%=W；

91

当〃=3时，生=4a4,•二。4二—■

所以数列｛4｝的前4项和是2+1+；+1_192+16+1_209

64-64~~64

故答案为：——

64

10.A

【解析】①当氏。时，取〃=0,则4=0,〃£N*.

②当b<0时，令％二炉+人，即%2一%+6=0.

则该方程/