山东省烟台市龙口市2023-2024学年高二年级上册10月月考数学试题

高一数学

（时间：120分钟，分值：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量a=（-l,2,l）,b=（3,x,y）,且a〃b,则实数x+y等于（）

A.3B.-3C.9D.-9

2.如果ac<0,bc>0，那么直线or+6y+c=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在正方体ABCD-AB|C］。中，石为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线"E异

面的共有（）

A.5条B.6条C.7条D.8条

4.过点A。,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.X—y+3=0B.x+y—5=0

C.4x—y=0或x+y—5=0D.4x—y=0或x—y+3=0

5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥

P—ABCD为阳马，PA1面ABC。，且EC=2PE,若QE=xAB+yAC+zAP,则x+y+z=

()

A.1B.2C.—D.—

33

6.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥

为直角圆锥.如图，△^'△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cosN5OC=J，则异面直线SA与

3

瓜V6

A.—B.——C.D.——

3463

7.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体.下图是棱长均为1的柏拉

图多面体E48c分别为。户的中点，则PQ-MN=（）

8.已知直线/:（/l+2）x+（/l—l）y—3—3/1=0,点P（3,2）,记尸至心的距离为d,则〃的取值范围为

（）

A.[o,V2]B.[（）,&）C.[0,2]D.[0,2）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.直线x—y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.直线y=x+l在*轴上的截距为1

c.过（％，x）,（%2，%）两点的直线方程为=三号'

D.若直线/沿X轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线

/的斜率为—2

3

10.设向量Ac可构成空间一个基底，下列结论正确的有（）

A.若。力1C则”_Lc

B.。也C两两共面，但“，瓦C不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组（x,y,z）,使p=xa+）力+ZC

D.^a+b,b+c,c+a^一定能构成空间的一个基底

11.设直线/:依+（2。+3）＞-3=0与〃:（。-2）%+到一1=0,则（）

A.当。=—2时，I//nB.当q=,时，l」n

3

c.当/〃〃时，/，几间的距离为手D.坐标原点到直线1的距离的最大值为日

12.如图，在四棱锥S—ABC。中,底面ABC。是正方形，$41_面488,&4=43,0,P.分别是

ACSC的中点，M是棱SZ）上的动点，则下列说法中正确的有（）

A.OMLAP

B.存在点使OW〃面SBC

C.存在点M,使直线0M与A3所成的角为30°

D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线/的一个方向向量加=（3,—2,1）,且直线/经过点A（a,2,-1）和8（—2,38）两点，则a+b的

值为.

14.已知点P,Q的坐标分别为（-1,1）,（2,2）,直线/:x+my+加=0与线段PQ的延长线相交，则实数加

的取值范围是.

15.已知四棱锥P—ABC。的底面ABCO是正方形，B41平面ABC。且BA=45=1,则B到直线

P。的距离为.

16.已知定点P（6,4）与定直线，：）'=4x,过P点的直线/与/］交于第一象限Q点，与工轴正半轴交于点

M,则使△OQM面积最小的直线方程为.

四、解答题：本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知△ABC的三个顶点是A（-2,l）,8（0,-3）,C（3,4）.

（1）求△ABC的面积S；

（2）若直线/过点C,且点A,8到直线/的距离相等，求直线/的方程.

18.（12分）如图，在正四棱柱ABCD-中，A4,=2AB=2,瓦尸分别为的中点，点M

在CD〕上，且CM=2M。］.

|C,

(1)证明：广四点共面；

(2)求直线与平面AEMF所成角的正弦值.

19.(12分)已知点P(—1,2),直线/］：4%+y+3=0和/2：3%-5y-5=0

(1)过点尸作/］的垂线PH,求垂足H的坐标；

(2)过点尸作/分别于",2交于点4B,若尸恰为线段的中点，求直线/的方程.

20.(12分)等腰直角三角形ABC的直角顶点3和顶点A都在直线2x-y-3=0上，顶点。的坐标是

(-2,3),直线AC的倾斜角是钝角.

(1)求直线3C,AC在［轴上的截距之和；

(2)平行于AC的直线/与边分别交于点D,E,若ZXBZ比的面积等于.，求直线/与两坐标轴

2

围成的三角形的周长.

21.(12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCO是矩形，△S4。是正三角形，且平面S4O_L

平面ABC£),A3=1,P为棱A。的中点，A£>=2.

(1)若石为棱S3的中点，求证：PE//平面SCD-,

2Fi

(2)在棱SA上是否存在点M,使得平面尸MB与平面S4£>所成锐二面角的余弦值为~1一？若存在，指出

点M的位置并给以证明：若不存在，请说明理由.

22.如图，已知四棱台ABCD-4B|C|A上、下底面分别是边长为3和6的正方形，例=6,且例1

底面ABC。，点尸、Q分别在棱ODpBC上.

(1)若P是的中点，证明：ABiLPQ.,

(2)若PQ〃平面ABB|A，二而角「一QD-A的余弦值为上，求四面体ADPQ的体积.

7

高二数学答案

一、选择题：DBDDACAB

二、选择题：ADBCDACDABD

三、填空题：

2>/6

13.-214.—3<m<——15.16.x+y—10=0

四、解答题：本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】

/\/\1-(-3)

解：(1)A(-2,l),B(0,-3),kAB=--——=-2,

一2-u

故直线A3的方程为y=-2x-3,即2x+y+3=0,

,AB=J(_2-0)2+(1+3)2=2亚,

点C到直线AB的距离为d=巴3+4+3|=B

V22+l2石

]113

所以△ABC的面积S为S=/M・A8=2X忑x26=13

(2)因为点A8到直线(的距离相等，所以直线4与A3平行或通过A3的中点,

—3—1

①当直线公与A3平行，所以勺=L=c二、=-2,所以/2：2x+yT0=0.

0-(-2)

②当直线％通过AB的中点£>(-1,-1),

所以k°D=所以4：y-4=?(x-3)'即5x—4y+l=。'

综上：直线&的方程为2x+y-10=0或5x-4y+l=0.

18.

【详解】(1)因为OD|1平面A6C£>,A，8u平面ABC。，

所以D"1AD,DD11CD,

又ADLOC,所以以。为原点,

DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(l,0,0),F(0,0,l),C(0,l,0),D,(0,0,2),

所以CD=(0,T,2),AC=(-1,1,0),AE=(0,1,1),A尸=(一1,0,1),

由CM=2MD],得

而=|函=(。,一|,富

(14、

所以AM=AC+CM=-1,-,-.

<33/

—A=—1

1

设AM=]LIAE+2,AF,贝1"=一.

3

。4

13

解得;1=1,〃=工，所以AM=,AE+AF，故A,2〃，尸四点共面.

33

(2)设平面AEMF的法向量为

AE-in—0y+z=0(、，八

由」,，即1，取工，则加=(1,一1』，

IAF-m=0、-x+z=0

设直线CD］与平面AEMF所成角为依则加二（x,y,z）,

设直线CD,与平面AEMF所成角为。，则

n|「clC”|3V15

sin，=cosCD,,m=----：~L=-7=—产=----.

1116X百5

「八而

故直线CD】与平面AEMF所成角的正弦值为亍.

19.【小问1详解】

Z）:4x+y+3=0,即y=7x—3,则左叫=:，直线P”为y=；（x+l）+2,

21

x=----

17,故H2133

即x-4y+9=0,联立方程〈’，解得<

x-4y+9=03317,17f

y=—

【小问2详解】

4飞+1+3=0

不妨设A（x。,%），则B（—2—％,4—%），贝入

3（-2-尤0）-5（4-刊）一5=。

解得*二;2,故直线/过点P（T,2）和点（一2,5）,匕=卷亮=一3，

故直线方程为y=-3（%+1）+2,即3x+y+l=0.

20.解：（1）因为直线A3的方程为2x-y-3=0,所以直线5c的斜率为—g,

直线BC的方程为y—3=—；（x+2），即x+2y—4=0,

令y=0,得x=4,所以直线3C在X轴上的截距为4.

设A（a,2a-3）,由|A5|=|BC|知点A到直线3c的距离等于点C到直线AB的距离,

即|。+2（273）-4|=|-4一；3|,解得。=0或〃=4,

当a=4时，即A（4,5），阳0=―>0>不符合题意舍去，

当。=0时，即4（0,一3）,左忙=二^=一3<0,符合题意，

所以直线AC的方程为y=-3x—3=>3x+y+3=0,

令y=0,得％=—1,所以直线AC在X轴上的截距为一1,

所以直线3C、AC在1轴上的截距之和为3.

（2）设直线/的方程为3x+y+n?=0,

由，可得8仅1卜则忸c|=J（2+2）2+（1_3）2=2行.

△ABC的面积为gx2逐x26=10,而△BDE的面积为g=：xl0,

所以点B到直线AC的距离是点B到直线I的距离的2倍，

即2xJ~—一=1~解得加=-2或m=—12.

因为直线I与边AB,BC分别交于点D,E,所以租=一2,

即直线/的方程为3x+y—2=0,

所以所求三角形的周长为2+|+U=*^.

21.解：（1）取SC中点/，连接EF,FD,

,乱尸分别为5仇5。的中点，，“'〃8。且石尸=，5。

2

底面四边形A8CO是矩形，尸为棱AO的中点，

/.PD//BC且P£）=,BC.EF//PD且EF=PD,故

2

四边形庄也是平行四边形，...尸石〃FD.

又♦.红）（=平面58,产£且平面58,

.♦.PE〃平面SCD

（2）假设在棱弘上存在点M满足题意，

在等边△S4Q中，尸为AO的中点，所以SPLAD,

又平面SAD1平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,SPu平面SAD,：.SP1平面ABCD,

以点P为原点，PAPS的方向分别为X,z轴的正方向，建立如因所示的空间直角坐标系，则0（0,0,0）,

s,

A(1,O,O),B(1,1,O),S(O,0,5/3),

故PA=(1,0,0),PB=(1,1,0),AS=百).

设AM=AAS=(—2,0,7^)(0<A<1)，

PM=PA+AM=(l-/l,0,a).

设平面PBM的一个法向量为n,=(x,y,z),

n,-PM=(1—\/3/lz=0r-r-

则〈，取z=/i—1得％=，3/1,丁=一43几，则勺=(6几,一6几/1_1).

7

n]PB=x+y=01

易知平面S4T>的一个法向量为%=(0,1,0),

%•%

cos<,n2>=醇o-%=|.

司"V722-2/1+1

故存在点M，位于棱AS上靠近点S的三等分点处满足题意.

22.解法1：由题设知，A41,AB,AZ）两两垂直。以A为坐标原点，A8,AD,AA所在直线分别为x轴，y

轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（o,0,0）,4（3,0,6）,

D（0,6,0），A（0,3,6）,Q（6,m,0）,其中m=BQ,O<m<6

r9、-（9、一

（1）若尸是的中点，则P0,-,3,PQ=6,m--,3AB}=（3,0,6）,于是

\2JI27

做•所=18-18=0,所以福1而，即ABI1PQ；

（2）由题设知，。0=（6,1«-6,0）,。〃=（0,-3,6）是平面尸00内的两个不共线向量.

设4=（x,y,z）是平面PQ。的一个法向然，则心少°一°,即[6x+（,〃-6力=0,取6,得

[n}-DD}=0[-3y+6z=0

n,=（6—m,6,3）.又平面AQO的一个法向量是%=（0,0,1）,所以

cos<n,,〃,>=舟1=,3=3,而二面角p_QD.A的余弦值为2,因此

同・同'（6-〃2）2+62+32J（6-疗+457

।3_______.=3_____..解得加=4,或加=8（舍去），此时0（6,4,0）

7（6-W）2+62+32,（6—根）2+45

设DP=1Z）D；（O<2<1）,而DR=（0,—3,6）,由此得点P（0,6-32,62）,

所以因为PQ〃平面ABBM，且平面AB4A的一个法向量是々=（0,1,0）,

所以PQ•%=0,即34-2=0,亦即2=2,从而P（0,4,4）,于是，将四面体ADPQ视为△AOQ为底

面的三菱锥P—ADQ,则其高〃=4,故四面体ADPQ的体积V=；SAAD2-〃=gxgx6x6x4=24.

解