第09讲乘法公式（讲义与练习）-中考数学复习(解析版)

第09讲乘法公式(核心考点讲与练)

.聚焦考点

完全平方公式

(1)完全平方公式：(a±b)2=a1±2ab+b1.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首

末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的α,b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两

数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，

也可以用完全平方公式.

二.完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平

方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

(f∕+⅛)2=a2+2ah+b2.(用大正方形的面积等于边长为“和边长为。的两个正方形与两个长宽分别

是a,b的长方形的面积和作为相等关系)

三.完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式4,如果存在另一个实系数整式B,使4

=B2,则称A是完全平方式.

a1+2ab+b1=(a+b)2

完全平方式分两种，--种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完全平

方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2

倍中间放，符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2,然后把

这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式

就用+,完全平方差公式就用-，后边的符号都用+)”

四.平方差公式

(I)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(tz+⅛)Ca-b)=a2-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的〃和匕可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式

法则简便.

五.平方差公式的几何背景

(1)常见验证平方差公式的几何图形(利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差

公式).

图(3)

(2)运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公

式做出几何解释.

定空间，各部分不都在同一平面内.

一.完全平方公式(共7小题)

1.(2021秋•克东县期末)如果/-2(S+1)x+∕1+5是一个完全平方式，则m=2.

【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项确定出这两个数，列式求解即可.完全

平方公式：(0±b)2=a2+2ab+b2.

【解答】解：：/+5=(加+1)~=m2+2m+∖,

・・加=2.

【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一

个完全平方式.此题解题的关键是利用乘积项与平方项之间的关系来求值.

11

2.（2020秋•无为市期末）已知x+—=3,则/+—的值是（）

XX

A.3B.7C.9D.11

【分析】直接利用完全平方公式展开求出即可.

【解答】解：・・"+」-=3,

X

1

.β.（x+——）92=9,

X

Λχ2+—1+2=9,

X

..χ2÷——1=7.

力

故选：B.

【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：（0+6）2=/+2必+户.

3.（2021春•镇海区期中）已知αb=8,α-b=7,则/+/的值是（）

A.66B.65C.64D.63

【分析】原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：∙.∙α-∕>=7,αb=8,（α-⅛）2=α2+⅛2-2ab,

：.a2+h2=（a-b）2+2Λ∕>=72+2×8=65,

故选:B.

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

4.（2021春•奉化区校级期末）若（x+2y）2=（χ-2>∙）2+Λ,则A等于（）

A.8xy,B.-8孙C.8y2D.^xy

【分析】根据己知得出A=（x+2y）2-（χ-2y）2,再根据完全平方公式求出即可.

【解答】解：；（x+2y）2=（χ-2y）2+A,

.'.A=（x+2y）2-（x-2y）2

=x2+4xy+4y2-.<r+4xy-4γ2

=Sxyt

故选：A.

【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键.

5.（2021•鹿城区一模）化简：（Q-I）2-〃（〃+2）.

【分析】分别根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可.

【解答】解：（〃-1）2-a（α+2）

=a2-2a+[-a2-2a

=1-44.

【点评】本题主要考查完全平方公式以及单项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本

题的关键.

6.(2021春•江北区期中)已知实数0,匕满足(a+b)2=9,(a-b)2=3,求<?+必-必的值.

【分析】先由(α+b)2=。2+2曲+匕2=9记作①式，(0-b)2=tj2_2α∕>+∕>2=3记作②式，再①

-②即可得到H的值，再由①+②可得次+/的值，即可得出答案.

【解答】解：(α+b)2="2+2"∕7+∕,2=9①，

(a-b)2=a2-2ub+f=3②,

①-②得，

3

4〃Z?=6,ah=——，

2

①+②得，

202+2⅛2=12,

a1+b2=(>,

QQ

所以次+/-ab=6-——=——.

22

【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的

关键.

7.(2021秋•杜尔伯特县期末)已知(α+b)2=5,(a-b)2=3,求下列式子的值：

(1)a2+⅛2;

(2)Gab.

【分析】(1)直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出/+户的值；

(2)直接利用(1)中所求，进而得出出7的值，求出答案即可.

【解答】解：(1)；(α+b)2=5,(a-b)2=3,

.*.a1+2ab+tr=5,a2-2ab+b2=3,

：.2(o2+⅛2)=8,

解得：A2+⅛2=4;

(2)Va2+⅛2=4,

/.4+2ab=5f

解得：ab=-f

2

/.6ab=3.

【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键.

二.完全平方公式的几何背景(共5小题)

8.(2021秋•香坊区期末)在边长为。的正方形中挖去一个边长为匕的小正方形(α>b)(如图1),

把余下的部分拼成一个长方形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()

b∖∖T*

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(α-b)2-a1-2ab+bλ

C.(a+2b)(a-b)=a1+ah-2b2

D.a2-h2=(a+b)(a-b)

【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为/-/A图乙中阴影部分为边长

分别为(a+b)和(a-/,),其面积为(a+⅛)(a-b),利用据两个图形中阴影部分的面积相

等即可得到平方差公式.

【解答】解：•；图甲中阴影部分的面积=J-/,图乙中阴影部分的面积=(α+∕7)(α-⅛),

而两个图形中阴影部分的面积相等，

.".a2-⅛2=Ca+b)(α-⅛).

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式.

9.(2021秋•临沐县期末)如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴

影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于。、人的恒等式为()

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+h)z=az+2ah+h1

C.(a-b)2=(<z+⅛)2-4abD.a2+ab=a(a+b~)

【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直

观地得到一个关于八b的恒等式.

【解答】解：方法一阴影部分的面积为：(α-b)2,

方法二阴影部分的面积为：(a+b)2-4帅,

所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于。、人的恒等式为(α-b)2=(a+b)

2-Aab.

故选：C.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴

影部分的面积.

10.（2021春•济南期末）如图有两张正方形纸片A和B,图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积

为2,图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20,若将3个正方形A和2

个正方形B并列放置后构造新正方形如图3,（图2,图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3

阴影部分面积（）

图1图2图3

A.22B.24C.42D.44

【分析】由图1可知，阴影部分面积“2-庐=2,图2可知，阴影部分面积（0+6）2-“2“2=20,

进而得到而=I0,由图3可知，阴影部分面积（2«+6）2-302-2b1=a2-b2+4ab=2+40=42.

【解答】解：由图1可知，阴影部分面积。2-/=2,

图2可知，阴影部分面积（“+/?）2-/-/72=20,

所以ab=1（）,

由图3可知，阴影部分面积（2α+b）2-3a2-2b2^a2-b2+4ab=2+40=42.

故选：C.

【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，认真分析图，利用公式是解决问

题的关键.

11.（2021秋•滑县期末）两个边长分别为α和b的正方形如图放置（图1）,其未叠合部分（阴影）

面积为Si;若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2）,两个小正方

形叠合部分（阴影）面积为S2.

（1）用含a,b的代数式分别表示Si、S2：

（2）若α+b=10,ab=20,求S1+S2的值；

（3）当Sι+S2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3.

【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含“、人的代数式分别表示Si、S2；

(2)根据Sι+S2=/-b2+2b2-ab=a2+b2-ab,将α+b=据,出?=20代入进行计算即可;

1

2222

(3)根据S3=一(a+fc-ab}，S1+S2=a+b-ab=30f即可得到阴影部分的面积S3.

2

【解答】解：(1)由图可得，Sι=a2→2,

S2=a2~a(¢/-Z>)-b(.a-h)-b(a-b)=2h2-ab；

222

(2)S∖+S2=a-b+2b-(Ib=£+1，-abf

•a^^b-10,cιb=2.01

.'.S∖+S2=ci2+b2-ab=(a+b)2-3«fe=l()()-3X20=40；

(3)由图可得，$3=/+62-ɪ/?(。+6)--l√r=JL(.a2+b2-ab),

222

'."Sι+S2=a2+b2-ab=30,

1

/.53=—×30=15.

2

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解

答本题的关键.

12.(2021秋•蒙阴县期末)图1,是一个长为2处宽为2”的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

图1图2图3

(1)图2中的阴影部分的面积为(m-〃)2；

(2)观察图2,三个代数式(nι+n)~,(m-n)2,之间的等量关系是(机+〃)？-4，""

=(/»-”)2；

(3)若x+y=-6,Xy=2C5,y：

(4)观察图3,你能得到怎样的代数恒等式呢？

【分析】(1)表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；

(2)大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式(〃7+〃)

2、(m-n)2、之间的等量关系.

(3)根据(2)所得出的关系式，可求出(χ-γ)2,继而可得出X-y的值.

(4)利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式.

【解答】解：(1)图②中的阴影部分的面积为(〃?-〃)2,

故答案为：(m-n)2；

(2)(.m+n)2-4"]”=(m-")^,

故答案为：(m+n)2-4WI=Cm-n)2；

(3)(χ-y)2=(X+y)2-4xy=25,

贝!k-y=+5:

(4)(2m+n)(m+n)—2m(m+n)+n(m+n)-2m2+3mn+n2.

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图

形的面积是关键.

三.完全平方式(共5小题)

13.(2021春•长兴县月考)已知4/+4(〃L2)x+,n是一个关于X的完全平方式，则常数，”的值是

()

A.4或9B.1或4C.1或9D.1或16

【分析】根据完全平方公式的结构特征列方程求解即可.

【解答】解：*.'4Λ2+4(m-2)x+(m-2)2=[2x+(nz-2)]2=4x2+4x+m,

(W-2)2-m,

即利2-5/71+4=0,

.∙.∕n=l或m=4,

故选:B.

【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提.

14.(2021秋•顺城区期末)若Λ2+∕≡+9是一个完全平方式，则的值是±6.

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出，〃的值.

【解答】解：∙∙∙χ2+"ir+9是一个完全平方式，

Λm=±6,

故答案为：±6.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

15.(2021秋•庐江县期末)若7+2(/«-1)x+16是完全平方式，则机的值为()

A.+8B.-3或5C.-3D.5

【分析】由于7+2(/»-1)x+16是完全平方式，而16=42,然后根据完全平方公式即可得到关

于加的方程，解方程即可求解.

【解答】解：；f+2Cm-1)x+16是完全平方式,而16=42,

.,.m-1=4或m-1=-4,

.∙.nι=5或-3.

故选:B.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2

倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.

16.（2021秋•荣昌区期末）当α=-4或6时,多项式x2-2Ca-1）x+25是一个完全平方式.

【分析】根据完全平方公式的结构/±2曲+廿，即可求解.

【解答】解：因为%2-2（α-1）X+25=X2-2（α-1）x+5?是完全平方式，

属于-2（。-1）x=+2∙x∙5,

解得：a=-4或6.

故答案为：-4或6.

【点评】本题考查了完全平方公式.解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上

或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.

17.（2021秋•河东区期末）若4）2+wjy+9是一个完全平方式，那么机的值应为±12.

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【解答】解：∙.∙4∕+"ir+9=（2x）2+ww+32是一个完全平方式，

ΛMJ=+2×2×3=+12.

故答案为：±12.

【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，完全平方公

式的结构为：（α±0）2=a2+lab+b2.

四.平方差公式（共5小题）

18.（2021∙江干区模拟）（3+2y）（3-2y）=（）

A.9+4y2B.9-4√C.9+2y2D.9-2√

【分析】根据平方差公式计算即可.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两

个数的平方差.

【解答】解：（3+2y）（3-2y）

=32-（2y）2

=9-4y2.

故选：B.

【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.

19.（2021•临安区模拟）（2-χ）（2+jc）=（）

A.4+x2B.-4+Λ2C.4-X2D.-4-X2

【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果.

【解答】解：原式=22-x2=4-f.

故选：C.

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

20.（2021春•越城区期末）下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（）

A.(2x+3y)(2y-3x)B.(-2x-3y)(2x+3y)

C.(-2x+3y)(2χ-3y)D.⑵-3y)(-2χ-3y)

【分析】能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相

同，另一项互为相反数.相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去

相反项的平方).

【解答】解：能利用平方差公式计算的多项式的特点是：两个两项式相乘，有一项相同，另一

项互为相反数.

4、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

8、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意：

C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

。、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式.平方差公式的特征：(1)两个二项式相乘；(2)有一项相

同，另一项互为相反数，熟记公式结构特征是解题的关键.

21.(2021秋•台州期末)计算：(2x-y)2-(χ-2y)2.

【分析】用平方差公式计算.

【解答】解：原式=[(2χ-y)+(X-2y)][(2χ-y)-(x-2y')]

=(3χ-3y)(X+y)

=3(ɪ-y)(X+y)

=3(7-y2)

=3X2-3yi.

【点评】本题考查整式的混合运算，根据整式特征，用平方差公式计算是求解本题的关键.

22.(2021秋•温岭市期末)学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非

常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：(。+〃)(a2-ah+b2)

=ai+b∖他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决

以下问题:

(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子.

①化简：(a-b)(a2+ab+b2)-a3-⅛3；

②计算：(993+1)÷(992-99+1)=100；

2

(2)【公式运用】已知：-L+X=5,求［J-)4+1：的值;

XXX

(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为〃、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成

一个高为“52的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，α与b应满足什

2

么关系？若不可能，说明理由.

【分析】(1)根据立方差公式计算.

(2)根据完全平方公式计算.

(3)根据体积找到α,6关系.

【解答】解：(1)①原式=/+(-〃)3=.3-必

②原式=(99+1)(992-99×l+l2)÷(992-99+1)=100.

故答案为:α3-⅛3,100.

1

(2)•.”+—=5,

X

1ι+1

；♦原式=(---Kr)÷-----------

3.1

-æ+ɪy

X2æ+1

=------------------------------------X------------

X2l+1

χ2-X-∖-∖1.

X

1

=x+——-1

X

=5-1

=4.

(3)假设长方体可能为正方体，由题意：a3+b3=(fl-l^b)

3

(α+b)

.β.(a+b)(a?9-ah+b91)=---------------.

8

.∙.8Q2-Sab+Sb2=a2+2ah+b2.

：门2-106⅛+7⅛2=0.

aa

Λ7×1O×—+7=0.

b2b

β.∙Δ=100-4×7×7<0,

方程无解，该等式不成立.

该长方体不可能是边长为色土2的正方体.

2

【点评】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键.

五.平方差公式的几何背景(共5小题)

23.(2021秋•博白县期末)如图1,在边长为α的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),

把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()

bb

A.a1+b2-Ca+b)(α-b)B.a2-b1=(α+Z?)(a-b)

C.(α+⅛)2-a1+2ab+IrD.(a-b)2-a2-2ab+b1

1

【分析】根据左图中阴影部分的面积是J-X,右图中梯形的面积是一(2a+2b)(〃-))=

2

(α+⅛)(a-b),利用面积相等即可解答.

1

【解答】解：；左图中阴影部分的面积是次-下,右图中梯形的面积是一(2α+2⅛)(a-b)

2

=(α+b)QLb),

.,.a2-b2=(α+⅛)(a-b).

故选：B.

【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的

关键.

24.(2021秋•宁波期末)如图，将长方形48CZ)分成2个长方形与2个正方形，其中③、④为正方

形，记长方形①的周长为Ci,长方形②的周长为C2,则Cl与C2的大小为()

D

A①lI④I

③②

BC

A.C∣>C2B.C∣=C2C.C∣<C2D.不确定

【分析】根据图形中正方形、长方形边长之间的关系，设两个正方形的边长分别为。、，〃，NP

=b,由长方形的周长的计算方法分别用代数式表示其周长。，C2,比较即可.

【解答】解：如图，设MN=a,NP=b,PQ=In,即正方形③的边长为“，正方形④的边长布,

所以长方形Q)的长为α+Z>,宽为机，因此周长Cl=(a+b+ιn)×2—2Λ+2⅛+2∕H»

长方形②的长为"|+〃，宽为。，因此周长C2=(m+b+a)×2=2a+2b+2nι,

所以C1=C2,

【点评】本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中正方形、长方形边长之间的关系是解决

问题的前提，用代数式表示两个长方形的周长是解决问题的关键.

25.(2021秋•淇县期末)如图，在边长为〃的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把

剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是

()

A.(a-⅛)2-a^-2ab+b2B.(α+⅛)2-a2+2ab+b^

C.a2-b1=(α+b)Ca-b^)D.a(a-b)=a2-ab

【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=。2-y=

(α+⅛)(a-b).

【解答】解：阴影部分的面积=/-庐=(“+〃)(a-b).

故选：C.

【点评】此题主要考查了平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方

差，这个公式就叫做平方差公式.

26.(2021秋•正阳县期末)如图，阴影部分是边长为“的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形

后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够

验证平方差公式的是()

a

D.①②③

【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式.

【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=J右边图形中阴影部分的面积=

(α+⅛)(α→),故可得：廿一/=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式；

1

在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=J-/?,右边阴影部分面积=-(2H24)

2

•(a-b)=(α+⅛)(a-b),可得：a2-b2=(a+⅛)(a-b),可以验证平方差公式；

在图③中，阴影部分的而积相等，左边阴影部分的面积=。2-必，右边阴影部分而积=(a+b)

•(α-⅛),可得：OI-铲=(α+⅛)(a-b),可以验证平方差公式.

故选：D.

【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.本题主

要利用面积公式求证明平方差公式.

27.(2021秋•庐江县期末)如图，从边长为α的正方形纸片中剪掉一个边长为6的正方形纸片(如

图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

(1)探究：上述操作能验证的等式是a2-序=(.a+b)(a-b).

11111

(2)应用：利用(1)中得出的等式,计算：(1——)(1——)(1——)...(1——)(1----

234910

【分析】(1)分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；

(2)逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案.

【解答】解：(1)第一个图形中阴影部分的面积是J-层,

第二个图形的面积是(.+0)QLb),

则02-贬=(α+⅛)Ca-b).

故答案为：a?-庐=(.a+b)(<J^b)；

Illl11

(2)原式=(I-—)(1+—)(1-—)(1+——)-(1-——)(1+——)

22331010

1324911

=——X——X——X——×∙∙×——X——

22331010

n_

~2Q^

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握J-序=(α+⅛)(α→)是解题的关键.

「能力提升

M分层提分

题组A基础过关练

一.选择题(共8小题)

1.(2021秋•凉州区校级期末)如果(“L1)X+1是一个完全平方式，则机的值为()

A.-1B.1C.-1或3D.1或3

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出，〃的值.

【解答】解：∙∙∙χ2-("L1)X+1是一个完全平方式，

.*.m-1=±2,

解得：加=-1或3,

故选：C.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

2.(2021秋•武汉期末)下列计算正确的是()

A.〃2・〃3=〃6B.(2。)3=6a3

C.Ca+b)2=a1+b2D.(-/)3=一〃6

【分析】分别根据同底数暴的乘法法则，塞的乘方与积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判

断即可.

235

【解答】解：小α∙α=a,故本选项不合题意；

B、(24)3=8。3,故本选项不合题意；

222

C、(tz+⅛)=a+2ah+bf故本选项不合题意；

D、(-J)3=-06,故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了同底数界的乘法，完全平方公式以及累的乘方与积的乘方，熟记相关

公式与运算法则是解答本题的关键.

3.(2021•余杭区二模)(I-X)2=()

A.1-χ2B.l+x2C.1-2X+X2D.l+2x+x2

【分析】完全平方公式：(α±⅛)2=a1±2ab+b1,依此即可求解.

2

【解答】解：(I-X)2=1-2Λ+X.

故选：C.

【点评】本题考查了完全平方公式，可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

4.(2021•宁波模拟)(2-χ)(X-2)的结果为()

A.4-X2B.X2-4C.-4-4x-X2D.-4+4x-X2

【分析】根据完全平方公式求解判断即可.

【解答】解：(2-x)(χ-2)

=-(x-2)2

=-(XZ-4x+4)

=-AΓ÷4X-4.

故选：

【点评】此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键.

5.(2021春•镇海区期中)已知〃Z?=8,a-b=7t则ɑ2+/的值是()

A.66B.65C.64D.63

【分析】原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：∙.Z-6=7,<⅛=8,(«-b)2=a2+b2-2ab,

.∖a2+b1^(α-b)2+2αft=72+2×8=65,

故选：B.

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

6.(2021春•拱墅区校级期中)己知χ-y=8,xy=l,则/+9的值是()

A.64B.71C.78D.57

【分析】由(x-y)2=7-2移+/，给等式两边同时加上2xy,再根据已知条件即可得出答案.

【解答】解：Vx2+√=(χ-y)2+2xy,

把X-y=8,Xy=7,代入上式，

Λx2+y2=82+2×7=78.

故选：C.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式的变式进行计算是

解决本题的关键.

7.（2021春•鹿城区校级期中）若（ax-γ）2=4x1-4xy+by2,则α,b的值分别为（）

A.a—2,b—\B.a--2,b—1C.a=-2,b--1D.α=4,b=l

【分析】现根据完全平方公式得（Or-y）2=A2-2axy+y2,再由等式的性质得/=4,-2a

=-4,b=∖,求解即可得出答案.

【解答】解：因为（ax-y）2-（Γx1-2axy+y2,

所以“2=4,-2a—-4,h=∖,

解得α=2,b—1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的

关键.

8.（2021•顺义区一模）将一个长为24,宽为劫的矩形纸片（a>b）,用剪刀沿图1中的虚线剪开，

分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方

形的面积为（）

D.(α-⅛)2

【分析】由图1得，一个小长方形的长为α,宽为乩由图2得：中间空的部分的面积=大正方形

的面积-4个小长方形的面积，代入计算.

【解答】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，

—（a+b）2-4ab,

-a~+2ab+b~-Aab,

=（α-b）2；

故选：D.

【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行

计算.

二.填空题（共8小题）

9.（2021秋•广水市期末）若多项式f-〃a+9是一个完全平方式，那么1=±6.

【分析】根据首末两项是X和3的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍.

【解答】解：Y多项式Λ2-mx+9是一个完全平方式，

.*.nιx=±2∙x∙3,

m=±6.

【点评】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特点并灵活运用是解题的关键，注意

不要漏解.

10.(2021•拱墅区二模)己知α+b=3,a-b=∖,则/-[?=3.

【分析】根据平方差公式解答即可.

【解答】解：∙∙∙α+6=3,a-b=∖,

.".a2-b2=(a+b)(a-⅛)=3×1=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.

11.(2021•宁波模拟)已知(2x+y)2=58,(2χ-y)2=18,则XV=5.

【分析】由(2x+y)2-(2x-y)2=4X2Xy进行解答.

【解答】解：：(2x+y)2=58,(2χ-y)2=18,

(2x+>,)2-(2x-y)2=4×2X)>,

Λ58-18=8Λ>½

∙∖xy=5.

故答案是：5.

【点评】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用.

12.(2021春•上城区期末)计算(-s+f)(-5-/)=Z2.

【分析】直接利用平方差公式进行运算即可.

【解答】解：(-S+f)(-5-/)

=(-5)2-Γ2

=S2-t2.

故答案为：J-/2.

【点评】本题主要考查平方差公式，解答的关键是对平方差公式的掌握.

13.(2021•上城区校级一模)若χ-y=5,xy—2,则f+y2=29.

【分析】根据完全平方公式求解即可.

【解答】解：∙.”-y=5,Xy=2,

.∙.x2+y2=(x-γ)2+2xy=52+2×2=25+4=29.

故答案为：29.

【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键.

14.(2020秋•研口区期末)计算(X+2y-z)(X-2y+z)=x2-4y2+4yz-W.

【分析】根据平方差公式和完全平方公式即可求解.

【解答】解：(x+2y-z)(X-2y+z)

=X2-(2y-z)2

=X2-4y2+4yz-z2.

故答案是：x2-4y2+4yz-z2.

【点评】考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键.注意整体思想的运

用.

15.(2020秋•二道区期末)计算：2019×2021-20202=-1.

【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即(“+%)

(a-b)=/-庐，据此化简计算即可.

【解答】解：2019×202I-20202

=(2000-1)×(2000+1)-20202

=202()2-1-20202

=-1.

故答案为：-1.

【点评】此题考查了平方差公式，熟记公式是解决问题的关键.

16.(2021春•奉化区校级期末)如图是边长为的大正方形，通过两种不同的方法计并该大正

方形的面积，聪明的你可以得到一个乘法公式,请你用含有α"的等式表达出来,结果是(。+为

【分析】用不同的方法表示大正方形的面积，即可得出等式.

【解答】解：如图,

用不同的方法表示大正方形的面积可得(a+b)2=a2+2cιh+h2,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

【点评】考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示大正方形的面积是得出等式的前提.

Ξ.解答题(共5小题)

17.(2021•槐荫区二模)化简(0+3)2-(α-3)(α+3).

【分析】根据完全平方公式以及平方差公式化简即可.

【解答】解：原式=J+6α+9-(Ω2-9)

=a2+6a+9-a2+9

=6o+18.

【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记乘法公式是解答本题的关键.完全平方公式:

(a±⅛)2=a1±2ab+b1↑平方差公式：(α+b)(a-。)=a1-b2.

18.(2021秋•浦东新区期中)化简：(a-2⅛)(a+2b)-(a-2b)2+8⅛2.

【分析】先用平方差、完全平方公式去掉括号，再合并同类项就可得结果.

【解答】解：原式=/-4序-/+4a/,-4⅛2+8⅛2

=4ab.

【点评】本题考查了平方差、完全平方公式，掌握这两个公式的熟练应用，括号前面是负号去

括号时注意每一项都变号是解题易出错的地方.

19.(2020秋•椒江区期末)已知(X+y)2=5,Cχ-y)2=3,求与，与7+/的值.

【分析】分别展开完全平方公式，发现(x+y)2比(χ-y)2多4χy,据此求出肛的值，进而求

出/+)2的值.

【解答】解：∙.∙(x+y)2=x2+2xy+y2,(X-y)2=x2-2xy+yi,

111

Λxy=—[(x+v)2-(X-y)2]=—X(5-3)=—；

442

.∙.x2+y2=(x+y)2-2xy=5-2×-i-=5-1=4.

2

【点评】本题考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式的结构特点是解题的关键.

20.(2021春•萧山区期中)两个边长分别为a和匕的正方形如图放置，其未叠合部分(阴影)面积

为S,若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为人的小正方形(如图2),两个小正方形叠

合部分(阴影)面积S2.

(1)用含a,b的代数式分别表示Si,S2；

(2)若a+b=15,ab=5,求S1+S2的值；

【分析】(1)根据面积公式的和差关系可得答案;

(2)利用整式的运算法则计算即可得到答案；

(3)根据面积公式的和差关系可得答案.

【解答】(1)由图可得，Sl=OI-/

-a(a-b)-h(.a-b)-h(a-b)=2b2-ah.

(2)Sι+S2=a2-b1+2b2-ab=a2+b2-ab.

*∙*a+b=15rab=5>

Λ5ι÷S2=α2+⅛2-ab=(«+/?)2-3«⅛=225-3×5=210.

(3)由图可得，s=α+b——Lb(Q+b)——LQ=」-(a+b—Qb)

222

∖*S∖+S2=a2+b2-ab=M.

ʌS=-5-×64=32.

2

【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握整式的运算法则是解决此题关键.

21.(2021春•奉化区校级期末)【阅读材料】

我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，

而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片

是边长为X的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y,宽为X的长方形，并用

甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.

【理解应用】

(1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；

【拓展升华】

(2)利用(1)中的等式解决下列问题.

①已知/+庐=20,a+b=6,求必的值；

②已知(2021-C)(C-2019)=1,求(2021-C)2+(c-2019)2的值.

【分析】(1)图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为X2+/,从另外一个角度,

也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即=(x+y)2-2xy,可得等式；

222

(2)①将(0+b)2^a2+b1+2ab,进行变形为O='°+∙)TQ十』),再整体代入即可；

2

②利用完全平方公式，进行变形可求答案.

【解答】解：(1)x2+y2=(x+y)2-2xy.

(2)①由题意得：ab=(Q+b)~(a+b).,

2

把/+/=20,a+%=6代入上式得，ab=------=8-

2

②由题意得：(2021-C)2+(c-2019)2=(2021-c+c-2019)2-2(2021-C∙)(c-2019)

=22-2X1=2.

【点评】考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进

行适当变形求出答案.

题组B能力提升练

选择题(共3小题)

1.(2021春•西湖区校级月考)若X满足(2021-x)2+(x-2020)2=2019,则(2021-χ)(X

-2020)的值是()

A.-1006B.-1007C.-1008D.-1009

【分析】设2021-χ=a,X-2020=⅛,根据题意可得，a2+b2=2020,a+b=(2021-ɪ)+(ɪ

I

-2020)=1,将功化成一[(a+⅛)2-(a2+⅛2)]的形式，代入求值即可.

2

【解答】解：设2021-χ=a,X-2020=6,则(2021-χ)2+(χ-2020)2=a2+⅛2=2019,a+b

=(2021-χ)+(X-2020)=1,

11

所以，(2021-χ)(X-2020)=ab=—[(a+b)2-(a⅛2)]=—X(I2-2019)=-1009；