2024届四川省叙永第一中学校高三年级上册入学考试数学（理科）试题【解析版】

2024届四川省叙永第一中学校高三上学期入学考试数学(理科)试题

【解析版】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={x∣∙√+2χ-3≤θ},B={x∣y=In(a+2)},则AB-()

A.(-2,-l]B.(-2,3JC.(-2,1]D.[-2,1]

2.命题"∀"wMj(")e"且/(")≤"的否定形式是()

A.V"∈N*/N*且/"(〃)>〃

B.Vn∈N*J(")任N*或〃〃)>〃

C.⅛⅛wN*j(%)任M且/(%)>%

D.m%eMj(%)任N*或〃

3.下列函数中，在(-∞,T)上是增函数的是()

A.y=-χ3B.y=-x2-4xC.y=~-~D.y=∖∣2-x

1+x

4.已知命题P：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题夕：空间中三个平面α,β,Y,

若Cy,βVγ,aβ=l,则/∙Ly.则下列命题为真命题的是()

A.PAqB.PATlc.PVrD.FAq

5.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的，即441个点，根据0和1的二进制

编码，一共有2却种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3x10"秒，那么大约可以用

(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.5)()

A.IO"’万年B.117万年C.10须万年D.205万年

6.已知4>0且α*l,“函数/(X)=优为增函数”是“函数g(x)=x"-∣在(O,+e)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知函数/(x)=f+]g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

4

B∙

C.y=∕(χ)g(χ)

8.如图是某三棱锥的三视图，己知网格纸的小正方形边长是1,则这个三棱锥中最长棱的长为（)

9.若函数/（χ）="，是奇函数，则使/（x）>3成立的X的取值范围为（）

2—Ct

A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”：

设XeR,用印表示不超过X的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[-3.7]=Y,

⑵3]=2.已知/*)=4-一1,则函数y="(刈的值域为()

e+12

A.{0}B.H,0)C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1)

11.已知〃刈=卜"整°,若关于X的方程尸(X)-W(X)+机—1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数加

[-XyX<0

的取值范围为()

A.(―,2)u(2,e)B.(―,1)C.(1,-+1)D.(―,e)

eeee

0.4

12.设α=ħιl.l,Z?=e°」一1,c=tan0.1,d=—,则()

π

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题纸上）

13.已知募函数万(加+优-1)式1在(0,+8)上单调递增，则实数机的值为.

14.已知圆锥的高为2,体积为8π,若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积

为.

15.已知函数"力=OreTr+lnx,若"x)Wl,则a的取值范围为.

16.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(x+l)是奇函I数，且/(1—x)+g(x)=2,/(x)+g(x-3)=2,

则下列结论正确的是.(只填序号)

①f(x)为偶函数；

②g(x)为奇函数；

20

③£/(我)=40；

*=1

2()

④2g(%)=40∙

⅛=1

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.

17.在“ABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知/+/—,2=".

⑴求CoSC；

⑵若c=3√∏,求.ABC外接圆的半径.

18.已知函数f(x)=2>∕2cosXSin(X+―).

4

⑴求/“)的最小正周期；

(2)现将f(χ)图象向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位长度得到g(x)的图象，若存在XCI-B,g］,

使得g(x)<“成立，求实数。的取值范围.

19.设/(X)为函数/(x)的导函数，已知f(x)=x+r(0)cos2x+4(αeR),且/*)的图像经过点(0,2).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵求函数/(χ)在［0,兀］上的单调区间.

20.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得

到的封闭图形.

(1)设8C=1,AB=2,求这个几何体的表面积；

(2)设G是弧。尸的中点，设P是弧CE上的一点，且APLBE.求异面直线AG与BP所成角的大小.

21.已知函数f(x)=J,其中x>0,«>0.

⑴当。=1时，求函数f(x)的极值;

(2)若方程3=x-αlnx恰有两个不相等的实数根，求。的取值范围.

e

选修4-4：坐标系与参数方程

fx=2+2coscr

22.在平面直角坐标系Xoy中，P为曲线G:1.(α为参数)上的动点，若将点尸的横坐标变

[y=sιnσ

为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点Q,记点。的轨迹为以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极

轴建立极坐标系.

(1)求C2的极坐标方程；

Jr

(2)设A,B是C?上异于极点的两点，且ZAo8=三，求AOB面积S的最大值.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数/(x)=∣x-4+∣x+3∣.

(1)当α=l时，求不等式/(x)≥6的解集；

⑵若/(x)<2α有解，求实数4的取值范围.

1.C

【分析】先化简集合A3,然后用交集的定义即可求解

【详解】因为A={x∣x2+2x-3≤θ}={x∣-3≤x≤',B={x∣y=ln(x+2)}={x∣x>-2},

所以A8=(-2,1］

故选：C

2.D

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“加€”,/(〃妹*且/(〃)金7的否定形式是

⅛⅞∈N*J(∕⅛)比N*或/(%)>%

故选D.

考点：命题的否定

3.C

【解析】对AB：直接判断其单调性；

Y1

对C：把y=--化为y=l-—,判断其单调性；

1+x1+x

对D：利用y=√7判断y=√Γ7的单调性.

【详解】本题考查函数的单调性.

A项中，函数y=-χ3在R上单调递减，故A错误；

B项中，二次函数y=-r-4x的图像开口向下，对称轴方程为x=-2,故该函数在(-∞,-2］上单调递增,

在(-2,+∞)上单调递减，故B错误；

C项中，函数y=微=1-占，在(-∞,T)和(1,+8)上分别单调递增，故C正确；

D项中，函数y=√Γ7在(-e,2］上单调递减，故D错误.

故选：C

【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.

4.D

【分析】根据直线与直线的位置关系定义、面面垂直的性质，结合与、或、非的真假性质逐一判断即可.

【详解】因为空间中两条直线没有公共点，两条直线可以是异面直线，所以命题。是假命题，

因此f是真命题，

由面面垂直的性质可知命题夕是真命题，F为假命题，

所以。人q为假命题，P为假命题，PVr为假命题，FPAq为真命题,

故选：D

5.A

【分析】由题意估算出可用的年限，然后转化为对数形式求解即可.

【详解】由题意大约能用万年,

3×10"×104

则Ig=4411g2-lg3-15≈441×0.3-0.5-15≈117,

3×1O15"

2441

所以≈10l17,

3×10"×104

故选：A.

6.C

【详解】函数"x)=α*为增函数,则,此时αT>0,故函数g(x)=XE在(。,+8)上单调递增;当

g(x)=x"-∣在(O,W)上单调递增时,，〃-1>0,所以α>l,故〃X)=优为增函数.

故选:C

7.D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=f(x)+g(x)-)=∕+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

y=/(x)-g(x)-；=f-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于B,

y=/(x)g(x)=∣^+ɪjsinx,则y,=2xsinx÷∣x2+ɪ∣cosx,

对于C,

当Xw时，^,=I×T+⅞+4×T>0'与图象不符，排除C

故选：D.

8.C

【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.

【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：

S

其中&1=4,AB=3fAC=5,且SAI平面ABC,ABlACf

所以BC=JAB2+3=用,SC=y∣SA2+AC2=√4l>SB=y∣SAi+AB2=5>

所以三棱锥中最长棱为SC=JZ.

故选：C

9.C

【解析】由f(X)为奇函数，根据奇函数的定义可求”，代入即可求解不等式.

ɔʌɪl

【详解】解：•・・/(M=土土ɪ是奇函数，

2-a

U)=∙√(χ),

l+2x

即U=泻，整理可得mF

a-2x

1—ci∙2Λ-Ci—2"，α=1,

2v+l

/(ɪ)=2'-l

2t+l

fM=>3,

2x-l

2A+1C4-2∙2Λ

----------3=------------>0,

2x-l2x-∖

2Λ^-2

整理可得

2Λ-1

.∙.1<2Λ<2,解可得OVXVL

故选：C.

【点睛】本题考查由奇偶性求参数，考查指数相关的不等式的求解，属于基础题.

10.B

1

+-

【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为/(%)=+2然后分析函数/(X的值域，再根据高斯

函数的含义确定y=[∕(χ)]的值域.

【详解】/(χ)=ι-----LJ—

eA+l22et+l

Illl

ev+1>1,-1<------<0,—<----------<—

22，+12

∙"∙——<fM<OΛ∙,fM<―，

.∙."(x)]=T或O,

.∙∙y=[f(χ)]的值域为｛-ι,0).

故选：B.

11.C

【分析】由方程严(X)-时(x)+%-l=O可解得/(x)=l或f(x)=/T,从而可得方程/(x)="I有3个

不是-1的根，利用导数研究函数f(x)的性质，作出图象，数形结合可得答案.

【详解】解方程>⑴-时(x)+m-I=0得f(x)=l或"x)=%T;

当x≥o时，/(χ)=4√,ω=-r-

ee

故/(χ)在(0,1)上单调递增，在(L”)上单调递减；

/(O)=0,/(1)=i,且x>0时，/(X)>0,所以OW∕(X)≤L

ee

当XVo时,/(x)=-x,在(一8,0)上是减函数，且/(x)>0;

若/(x)=l,可知x<0,从而/(%)=r=l,解得广-1,

故方程"力=机-1有3个不是-1的根.

作出〃工)的大致图象，

若使方程/(x)="Ll有3个不是-1的根,即〃x)的图象与直线y=1有3个交点,且交点横坐标不为-1,

由图可知0<〃?—1<一,BP1</Ti<1H—,

ee

故选：C.

12.B

【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑α(x)=ln(x+l),⅛(x)=ev-l,c(x)=tanx,d(x)=&x在

x=O∙l时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与O的大小关系即可.

【详解】设"(解=In(%+l),Z?(x)=eA-1,c(x)=tanx,d^x)=-x,易得α(0)=1(O)=C(0)=d(θ).

TT

设y=d(x)-A(X)=,x-e*+l,则令V=；-e，=0有X=In：,故y=d(x)-Z?(x)在[-8/ng)上单调递增.

0

小甲%(4丫°(4Y(5丫°「25丫/24丫(3丫日"4丫°.,.nι日山4、Cl..

⑺13.2；⑷U6jI16j⑴⑺兀兀

J(0∙l)-⅛(0.1)>J(0)-⅛(0)=0,即d>b.

②设y=。(X)-C(X)=e'-l—tanx,则y'=e*-----ɪ=ecosx-l设/(χ)=e'cos2χ-l,则

cosXcosX

∕z(x)=e"(cos?x-2sinx)=ev(-sin2x-2sinx+l).

设g(x)=X-Sin无，则F(X)=I-COSX≥0,故g(x)=%-sinx为增函数，故g(x)2g(θ)=θ,即x≥sinx.

故/'(x)≥e*(-χ2-2x+l)=e[-(x+l)2+2],当xc[0,0.1]时用x)>0,/(x)=e*cos2χ-1为增函数，故

/(x)>e0cos20-1=0,故当xw[0,0.1]时y=6(x)—c(x)为增函数，故6(0.1)—c(0.1)>b(0)-C(O)=0,故

b>c.

11γ-Leɪrɪ-γ

③设y=c(x)-α(x)=tanxTn(x+l),/=-j----------=；-----,易得当XW(0,0.1)时y'>0,故

c(0.1)-α(0.1)>c(0)-α(0)=0,即c>”.

综上d>b>c>"

故选：B

【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所给的信息判断出

需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得出函数值的大小即可.属于难题.

13.1

【分析】根据塞函数的概念以及基函数在(0,+8)上的单调性可得结果.

【详解】根据幕函数的定义可得病+m-l=l,解得〃?=-2或〃7=1,

当〃?=-2时，y=力在(0,+∞)上单调递减，不合题意；

当机=1时，y=χ2在(0,+∞)上单调递增，符合题意.

故答案为：1.

,,256

14.π

3

【分析】首先由已知求得圆锥底面半径，再设球的半径为R,根据圆锥的几何特征及球的性质列出关于R

的方程，解出R,则球的体积可求.

【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为人

因为圆锥的高为2,体积为8π,所以^πr%=8π,即《冲，*2=8兀，解得r=26,

33

当圆锥顶点与底面在球心。的两侧时，如图，

圆锥Sol的底面半径OM=2屿，高SQ=2,设球0的半径为凡

则(2-R)?+(26)2=尸，解得R=4,与R<2不符，故此种情况舍去,

当圆锥顶点与底面在球0的同侧时，如图，

圆锥S。的底面半径0∣A=2√L高5«=2,

设球。的半径为R,则(R-2)2+(2道V=K,解得R=4,符合题意.

综上，此球的半径为4,球的体积为V=gπR3="兀.

33

故答案为：--π.

15.(-∞,2e]

【分析】构造函数f=r+lnr,"力≤1等价于αe'+芯1，再构造函数g。)=Y，利用函数单调性求出

最小值，即可求出。的值.

1_I1

【详解】/(x)Wl等价于αe*hu+(-x+lnr)≤l,令，=τ+lnr,则「=-1+：=干r」.

当Xe(0,1)时，r'>O,f=-x+lnx单调递增；当Xe(I,+∞)时，/'<0,f=-x+lnx单调递减.

所以∕≤-l.

故/(x)Wl转化为“e'+r≤l,即α≤，恒成立.

1_f,/、-e'-e'(1-，)子＜贝∣上孕=因为恒

令g(,)=『「，则g")=-0,Jg(f)2g(-l)=2e,"≤9

成立，所以α≤g(f)min=g(-l)=2e.

故ɑ的取值范围为(y>,2e].

故答案为：(YO,2e].

16.①④

【分析】结合已知条件和/(χ+l)是奇函数求出函数/(χ)的周期，然后利用周期和已知条件得出“X)为

偶函数，进而判断选项A;根据函数/(x+l)是奇函数，周期为4即可判断选项B；根据/(x)的性质分析

可得/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,再根据f(x)的周期性即可判断选项C；结合函数g(x)的周期即可判断

选项D.

【详解】因为/(x)+g(x-3)=2,所以“x+3)+g(x)=2,

又因为“1—x)+g(x)=2,则有/(x+3)="lτ),

且/(x+l)是奇函数，K∣∣∕(χ+l)=-∕(l-χ),可得f(χ+3)=-f(χ+l),即"x+2)=-∕(x),

则“x+4)=-∕(x+2)=-[-/(切=,

即〃x+4)=/(x),所以“x)是周期为4的周期函数，

因为/(x+3)+g(x)=2,贝IJg(x)=2-/(x+3),

可得g(x+4)=2-∕(x+4+3)=2-∕(x+3)=g(x),

故g(x)也是周期为4的周期函数.

对于①：因为/(x+l)=-∕(l-x),则〃x+2)=—/(—力，即一/(x)=—/(—x),

所以"τ)=∕(x),所以F(X)为偶函数.故①正确;

对于②：∙.∙g(x)+g(-x)=[2-∕(x+3)]+[2-∕(-x+3)]=4-[∕(x+3)+∕(-x+3)]

=4-[∕(x-l)+∕(-x-l)]=4-[∕(l-x)+∕(x+l)]=4≠0,

.∙.g(x)/-g(-χ),故②错误；

对于③：因为/(χ+i)=-∕(i-χ),令X=0,即/(I)=-/。)，贝∣J∕(l)=0,

又因为/(x+2)=-∕(x),令χ=l,所以"3)=-/(1)=0,

令x=2,则/(4)=∙√⑵，即/(2)+∕(4)=0,

即"l)+"2)+f(3)+f(4)=0,

20

所以Sy(Z)=5[∕(l)+∕(2)+/⑶+/(4)]=0,所以③错误；

⅛=I

对于④：因为g(x)=2-∕(x+3),

所以g⑴+g⑵+g⑶+g(4)=[2-〃4)]+[2-〃5)]+[2-/(6)]+[2—『⑺]

=8-0⑴+/⑵+八3)+"4)]=8,

20

所以W)(%)=5[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]=40,所以④正确.

⅛=1

故答案为：①④.

【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中

根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

I

17.(1)—

10

(2)5

【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可;

(2)利用同角三角函数基本关系求出SinC,然后利用正弦定理求解即可.

【详解】(1)因为/+从—C2=(M,

1,

所以由余弦定理得a2+b2-c251.

cosC=-------------=------=—

2ab2ab10

3√H

(2)因为CoSC=记，C∈(0,π),所以SinC=

10

DR=—二3而

设JLBC外接圆的半径为R由正弦定理得SinC-3而一

10

解得R=5,即JlfiC外接圆的半径为5.

18.(l)π

(2)(一£,+8)

【分析】(I)利用三角恒等变换的知识化简/(x)的解析式，从而求得/(X)的最小正周期.

(2)利用三角函数图象变换的知识求得g(ι),根据三角函数最值的求法求得。的取值范围.

【详解】(1)f(Λ)=2Λ∕2cos%sin(x+-^)=2∖∕2cosʃ(-ɪsinx+ɪ-cosx)

=2cosxsinx+2cos2x=sin2x+cos2x+l=>∕2sin(2x+-)+1,

4

所以/(X)的最小正周期τ=g=n.

(2)由题意可得：

g(x)=应Sin(2(x+^)+3+l-l=∖∕∑sin(2x+马=近COS2x

842

、t,r兀TC_._712兀、

当“£[-∙τ*τ∙π]时，2x∈r[-―,—]，

6333

所以当2x=g,即Xq时，g*)而”g4)=&x(T)=一4，

ɔɔɔλλ

若存在X∈[-∙JTJ,T∙rJ],使得g(x)<α成立,只需g(∙‰<4,

031

所以一等，即实数”的取值范围为(一日,+8).

19.(l)x-y+2=0

(2)单调递增区间为啥和(涉；单调递减区间为信总

【分析】(1)求导，计算/'(())得到切线斜率，点斜式求切线方程.

(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.

【详解】(1)/(Λ)=X+∕,(0)cos2x+a{a∈R),则/'(x)=l—2r(0)sin2x,得/(0)=ι.

由题意/(0)=2,可得曲线y=f(x)在点(Oj(O))处的切线方程为y-2=x,即x-y+2=0.

(2)由已知得/(0)=∕'(0)+α=2.

又由(1)知/'(0)=1,所以a=l.

故/(x)=x+cos2x+l.

,

f(x)=1—2sin2X9X∈[0,π],

由广(X)>O,得O≤x<N,或fj<x≤π;由1(x)<0,W⅛<Λ<⅞.

故f(χ)在［0,兀］上的单调递增区间为°，1J和I三，兀fɪ缙

单调递减区间为,

∣k1212j

20.⑴4+2万

【分析】(I)将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出

后相加即可;

(2)先根据条件得到BEL面必β,通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可

【详解】(1)上下两个扇形的面积之和为：2×1×^×12=^

两个矩形面积之和为：4

244ττ

侧面圆弧段的面积为：y×2=y

乃

故这个几何体的表面积为：q2+=4T+T4=4+2乃

33

(2)如下图，将直线AG平移到下底面上为8G

由AP_L8£,且APAB=A,可得：BE_L面

则NPBE=生

2

而G是弧。尸的中点，则/融G=。

由于上下两个平面平行且全等，则直线AG与直线8尸的夹角等于直线Ba与直线BP的夹角，即NPBG为

所求，则NP8α=g-g=J

236

π

则直线AG与直线BP的夹角为J

21.(1)极小值为e,无极大值

⑵(0,D51,+∞)

【分析】Q)求导，结合函数单调性求解极值即可；

(2)先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简

化为方程e=∙⅛有两个不相等的实数解，方程化简后两边取对数，再构造函数，根据零点个数求参数的取

值范围.

【详解】(1)当α=l时，f(x)=~,((X)"(与D.

ɪX

x>O,当OVXVl时，f,M<0；当x>l时，f∖x)>0.

.∙.函数单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(l,+∞).

・・・/。)的极小值为了⑴=e,无极大值.

(2)x>O,。>0,由方程"'=x-αlnx,得J=IneX-Inx"=1。三，

eexX

令f=J>0,则'=Inr.

£e

令〃(/)=Inf—上，则

ete

・•・当O<rve时，h\t)>0；当，>e时，√(r)<0.

••・函数力⑺在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.

Me)=0,1.方程(=ln∕有唯一解f=e.

「・方程∙⅛=χ~lnχ有两个不等的实数解等价于方程e=与有两个不相等的实数解.

exχ"

等价于方程4lnx=x-l有两个不相等的实数解.

构造函数Za)=αlnx-x+l,则Na)=3-1.

X

a>0,「.当0<x<α时，kr(x)>0；当x>α时,kr(x)<0.

」•函数k(x)在(0,α)上单调递增，在3,+∞)上单调递减.

+

x→0,k(x)→-∞∙x→+∞,A(X)--O0.

/.只需要&(0)=0lnq-4+1>。，即In。+'-1>0.

a

构造函数见α)=lnα+'-1,则加(α)=L一_L

aaa~

当OVaVl时，m'(tz)<0；当α