第二章 一元二次函数、方程和不等式-2023~2024学年高一数学人教A版期末复习敲重点

第二章一元二次函数、方程和不等式

2023〜2024学年高一数学人教A版(2019)

期末复习敲重点

学习目标整合

(1)理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

(2)了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求

不等式解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，

了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

(3)掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题.

(1)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实数根的

存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程

二次函数与一

根的关系.

元二次方程

(2)能借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应

函数、方程的联系.

思维导图回顾知识

重难知识易混易错

重难知识点

1.不等式的性质：

性质1如果那么如果/?<Q，那么.即

性质2如果a〉。，b>c，那么Q>c.即a>Z?,b>c=>a>c.

性质3如果〃>人，那么〃+c>b+c.

性质4如果〃>/?,c>0，那么如果。>人，c<0，那么QC<〃C.

性质5如果〃>/?,c>d，那么〃+c>Z?+d.

性质6如果〃>/?>(),c>d>0^那么仇/.

性质7如果〃>/?〉()，那么wN,2).

2.基本不等式：如果。>0,b>0,可得向“空2,当且仅当时，等号成

2

立.

3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系表:

△>o△=o△VO

1/义

y=aj-2+^r+c(a>0)

的图象飞W尸21

行两个相等的实数根

—丘+<,-0(a>0)行两个不相等的实数

h没有实数根

的根根八•八(J-|O：>NL,—一口

ajr'-b.r+c>0(a>0)等

l.iVq•或.r>.rK

的解集

ad-ZLT+CVO(a>0)

<«r|八VrVr?}00

的解集

易混易错例题

1.已知集合A={RV—3彳一4<0},8={T[,3,5},则AB=()

A.{T,l}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

答案：D

解析：由f一3%-4<0解得一1cx<4,所以A={x|-l<x<4}.

因为8={-4,1,3,5},所以AB={1,3}.故选D.

则」-+1

2.设/”，〃为正数，且加+〃=2,的最小值为（）

77Z+1〃+1

A.Uc.-D.-

4B745

答案：B

解析：因为加+〃=2,所以（加+1）+（〃+1）=4,即二里+”1

44

4141](m+1〃+1

所以，_+」_------+

"7+1〃+1Z77+1/1+1JI44

〃+1m+l5-/〃+1m+159n+1m+1

=------+---------+->2/-----------------+-=一，当且仅当----=------

m+14(n+l)4Rm+14(〃+l)44m+14(〃+l)

m=-,〃=■时等号成立.

33

3.设〃>Q>0,则下列不等关系正确的是()

11

—ba

-一B.O<-<1C.a+b>2bD.—<—

Q〃bah

A.翦

答B

解析：因为所以出?>0,BP—>0,则不等式人〉a两端同时乘以,得

ahab

故A错误；不等式〃>a>0同时乘以工得1>@>0,故B正确；

abbb

a+b<b+b=2b,故C错误；因为匕>a>0,所以。2>/>o,则不等式〃>/

两端同时乘以1"得故D错误.

abab

4.（多选）已知关于x的不等式a?+法+c>0的解集为{Rx<-2或%>3},则（）

A.a<0

B.不等式以+c>0的解集为{Rx>6}

C.Q+Z?+C>。

D.不等式ex之一/zx+a>0的解集为一g<x<；}

答案：BD

解析：因为关于x的不等式加+反+c>0的解集为{xlx<-2或x>3},所以-2

和3是方程加+bx+c=O的两个实根，且a>0,故A错误；-2+3=--,

a

-2x3=—,所以〃=一〃，c=-6a,所以不等式以+c>0可化为以一6〃>0,因

a

为〃>(),所以％>6,故B正确；因为a+b+c=a—Q—6〃=—&,又〃>0,所以

a+h+c<09故C错误；不等式CW-ZZY+QAO可化为一60¥2+以+。〉0,又〃>0,

所以一6X2+X+1>0,BP6X2-X-1<0,所以(3X+1)(2X—1)<0,解得一,<X<,，

32

故D正确.

71

5.设Q>0,b>0,—+—=2,若存在实数相，使得帆2。+2人成立，则实数机的

ab

取值范围为.

答案：[4,+co)

解析：因为a>0,b>0,-+-=2,所以

ab

a+2^=-(a+2^)[-+-1=-f4+—+-K-(4+2.H^)=4,当且仅当

2{ab)ab)2\ab

—,即a=2,b=l时取等号.若存在实数加，使得加2a+2Z>成立，则

ab

rn>(«+2&)min=4.

核心素养对接高考

考情分析

1.不等式的解法常在集合及函数的综合解答题中出现，是解决导数综合问题的必

选方法；不等式的应用是经常出现的考题；线性规划问题不再是必考内容，考题

难度也变得越来越简单；基本不等式常与其他知识综合考查，有一定难度.

2.在小题中，不等式可与集合、函数、三角函数、数列、解析几何结合考查；在

大题中，常与解析几何、导数、绝对值不等式相结合考查.

情境真题应用

1.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一

个重要参数，其值通常在(0,1)间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增

加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前相比()

A.“屏占比”不变B.“屏占比”变小

C.“屏占比”变大D.变化不确定

答案：C

解析：设升级前“屏占比”为J升级后“屏占比”为"％(a>>>0,m>0).

a。+

因为上也一2=成二2>0,所以该手机“屏占比”和升级前相比变大了.故选

a+maa{a-\-m)

C.

2.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元/件)之间的关系为

P=160-2x,生产x件所需成本为C(元)，其中C=(500+30x)元.若要求每天获

利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是()

A.{x|20<x<30,xeN*}B.{x|20<x<45,xeN*)

C.{疝5<x<30,xeN*|D.{x|l5<x<45,xeN*|

答案：B

解析：设该厂每天获得的利润为y元，

则y=(160—2x)x—(500+30x)=-2x2+130x-500(0<x<8(),xeN*).

根据题意可得一2月+130x-500>1300,解得20<x<45.

故当20WxW45,且xeN"时，每天获得的利润不低于1300元.故选B.

3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产九件，

则平均仓储时间为二天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为了使平均到每件

4

产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()

A.30件B.60件C.80件D.100件

答案：B

解析：根据题意，生产九件产品的生产准备费用与仓储费用之和为

900+x--=900+-x2,则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为

44

900+；*90()900x阿0x

/(%)=----------——=------F—(XGZ).由基本小寺式，衔----1■—>2J----------=30，

xx4x4\x4

当且仅当些=2,即x=60时，/(x)取得最小值，所以当尤=60时，每件产品

x4

的生产准备费用与仓储费用之和最小.故选B.

4.某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备

生产制作服装每月的成本《单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的

数量无关)2x105元；②生产所需材料成本为100X+J(单位：元)，X为每月生产

服装的件数.

(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件

的最低成本为多少？

⑵若每月生产x件服装，每件售价为360+输(单位：元)，假设每件服装都能够

售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？

答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成