专题10 圆锥曲线1（选填）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）原卷版

2/2专题10圆锥曲线1（选填）（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 21【基础考点一】圆锥曲线的定义 21【基础考点二】圆锥曲线的标准方程 28【基础考点三】椭圆与双曲线的离心率（求值） 32【基础考点四】椭圆与双曲线的焦点及焦距 35【基础考点五】椭圆与双曲线范围及对称性 38【基础考点六】椭圆与双曲线的顶点与轴 43【综合考点】 47【综合考点一】抛物线的几何性质 47【综合考点二】双曲线渐近线 52【培优考点】 56【培优考点一】椭圆与双曲线的焦点三角形 56【培优考点二】圆锥曲线的离心率（求范围） 63【总结提升】 70【专项检测】 71备考指南备考指南考点考情分析考频椭圆2023年新高考Ⅱ卷T52023年全国甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全国甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全国甲卷T152021年全国乙卷T113年8考双曲线2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全国乙卷T112022年全国甲卷T142022年全国乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全国甲卷T52021年全国乙卷T133年8考抛物线2023年新高考Ⅱ卷T102023年全国甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全国乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直线与圆锥曲线位置关系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全国甲卷T202022年全国乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全国甲卷T202021年全国乙卷T213年10考预测：圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.近几年全国卷是必考考点.建议在二轮复习时巩固好基础知识，强化基础知识训练的同时也行加强对思维能力的训练.平时训练的题型建议中档偏上.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．7．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．10．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形12．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．13．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．14．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．三、填空题15．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.16．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．17．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．18．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．19．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．20．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．基础基础考点【考点一】圆锥曲线的定义【典例精讲】（多选）（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，曲线C：的焦点为F，直线l与曲线C相切于点P（异于点O），且与x轴y轴分别相交于点E，T，过点P且与l垂直的直线交y轴于点G，过点P作准线及y轴的垂线，垂足分别是M，N，则下列说法正确的是（

）

A．当P的坐标为时，切线l的方程为B．无论点P（异于点O）在什么位置，FM都平分∠PFTC．无论点P（异于点O）在什么位置，都满足D．无论点P（异于点O）在什么位置，都有成立【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（

）A．6 B．5 C．7 D．92．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为．5．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线，点，点分别是抛物线、直线上的动点，若点在某个位置时，仅存在唯一的点使得，则满足条件的所有的值为．【考点二】圆锥曲线的标准方程【典例精讲】（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的标准方程为B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点．下列椭圆的方程中，能使得为正三角形的是（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程：．5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则.【考点三】椭圆与双曲线的离心率（求值）【典例精讲】（多选）（2023·广东汕头·统考二模）已知曲线，，则下列结论正确的是（

）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2021上·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（

）A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线三、填空题4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为.5．（2023·湖北武汉·武汉市第四十九中学校考模拟预测）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为．【考点四】椭圆与双曲线的焦点及焦距【典例精讲】（多选）（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【变式训练】一、单选题1．（2023上·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（

）A．2 B．3 C．6 D．72．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（

）A．4 B． C．6 D．8二、多选题3．（2023·湖南长沙·统考一模）已知双曲线的方程为，则（

）A．渐近线方程为 B．焦距为C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8三、填空题4．（2023·湖南郴州·统考一模）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为.5．（2023·海南·校联考模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距为.【考点五】椭圆与双曲线范围及对称性【典例精讲】（多选）（2022·河北保定·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个C．若，则 D．的取值范围为【变式训练】一、单选题1．（2023·江西南昌·统考模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且，若为的内心，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为.5．（2020上·山西·高二校联考阶段练习）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为.【考点六】椭圆与双曲线的顶点与轴【典例精讲】（多选）（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．， B．对称轴方程是C．实轴长为 D．离心率为【变式训练】一、单选题1．（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的实轴长为4，离心率为．若点是双曲线位于第一象限内的一点，则（

）A．2 B．1 C． D．二、多选题3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得三、填空题4．（2023·河北·统考模拟预测）已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为.5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为．综合考点综合考点【考点一】抛物线的几何性质【典例精讲】（多选）（2023·浙江金华·模拟预测）已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（

）A．线段BC的中点坐标为B．直线BC的方程为C．D．【变式训练】一、单选题1．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．32．（2023·河北沧州·统考模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为，为上的一个动点，则（

）A．的焦点坐标为B．若，则周长的最小值为C．若，则的最小值为D．在轴上不存在点，使得为钝角三、填空题4．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有.5．（2022上·安徽蚌埠·高二统考期末）抛物线的准线方程是，则实数.【考点二】双曲线渐近线【典例精讲】（多选）（2023·河北·统考模拟预测）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（

）A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直B．为定值C．若，则的离心率D．若，则的渐近线方程为【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知第一象限内的点在双曲线的渐近线上，为坐标原点，为的右焦点，则取得最小值时，的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的方程为C．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则D．点到两条渐近线的距离之积为三、填空题4．（2023上·湖南永州·高二校考期中）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为.5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为．培优考点培优考点【考点一】椭圆与双曲线的焦点三角形【典例精讲】（多选）（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【变式训练】一、单选题1．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（

）A．B．的离心率为C．存在，使得D．面积的最大值为三、填空题4．（2023·辽宁锦州·统考二模）椭圆的离心率为，分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则.5．（2023上·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为.【考点二】圆锥曲线的离心率（求范围）【典例精讲】（多选）（2022·湖南·统考二模）已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（

）A．若，则B．若，则双曲线的离心率C．周长的最小值为8D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值【变式训练】一、单选题1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆：于，两点，下列结论正确的是（

）A．椭圆离心率的取值范围是B．若，且，则C．的最小值为D．若，则三、填空题4．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为.5．（2024·四川成都·成都七中校考一模）双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为．总结提升总结提升1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.3.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)，双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.4.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq\f(c,a)的值或范围.6.求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.7.抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－eq\f(p,2)相切.8.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.专项专项检测一、单选题1．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆上存在点，使得曲线关于点对称.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，则椭圆的长轴长的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·模拟预测）已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离