第七章立体几何与空间向量专题5异面直线间的距离 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习（新高考新教材）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题5

异面直线间的距离【山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题】右图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为1的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线AB与DE的距离为______．还原几何体，求出半径，进而求出球的表面积，由面ABC面EFD，将异面直线AB与DE的距离d转化为O到面DEF距离的两倍，利用等体积法得出所求距离.如图：该几何体为正八面体球表面最小即八面体的八个顶点在球面上，即球心O在ABCD中心O半径，∴，∵面ABC面EFD，∴异面直线AB与DE的距离d转化为面ABC与面EFD的距离又O到面ABC距离等于O到面DEF距离相等记作，则∵，∴，∴，∴，∴1．已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是cm.2．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．法一：建系，利用向量法得出，再由距离公式求出异面直线的距离；法二：建系，设，，根据向量的运算，得出的坐标，由模长公式以及不等式的性质得出异面直线的距离.法一：建立坐标系，用公式算OF、OC、OB分别为x、y、z轴，则∴设AB与DE距离为d，设且，则令得，∴法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则设分别为AB，DE上两点，设则，所以，所以，所以，所以当时，取到最小值．3．四面体中，，，，则异面直线与的距离为．4．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为.

通过空间想象还原几何体，并将其补成正方体，再由正方体的棱长得出正八面体外接圆直径，进而求出表面积，由BA平面将异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离，连结，由平面，结合中位线定理得出所求距离.还原理由：正八面体相邻两个三角形仅有一条公共边，所以原图中AB还原必与重合，如图1，此时图中1，2，3，4四个三角形可还原为以B为顶点无底面的四棱锥，如图2．同理，DE还原后与重合，可得以E为顶点的四棱锥，最后形成正八面体，如图3．构造正方体，及各面中心形成正八面体（图4）取M为正方体棱中点，则∴正方体棱长为，即为正八面体外接圆直径，即，∴，如图（5）正方体，其中B、A、D、E分别为正方体中心，连接，可得，且平面易证：BA平面，∴异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离，连结，则平面，且点Q到平面距离为（如图6），则点B到平面距离.5．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为.6．若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为．7．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（

）

A． B． C． D．8．正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离是1，那么，正方体的体积为（

）A．1 B．C．1或 D．或9．已知正方体的棱长为1，则直线到直线BD的距离为．10．长方体中，和的公垂线段是，和的公垂线段是．11．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为．12．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．4【分析】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可．【详解】由题意画出长方体，如图：由图形可知：异面直线与之间的距离是：，故答案为4．【点睛】本题主要考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力，作图能力，属于基础题.2．##【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得．【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形，∴，同理，分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，平面，平面，∴平面，同理平面，又，平面，∴平面平面，由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，因此，正方体棱长为4，则对角线，，平面，是在平面内的射影，，平面，∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，∴平面与平面的距离为，而平面，平面，且与是异面直线，所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，故答案为：．3．【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解.【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，则、分别为、的中点，由已知可得，可得，因为且，故四边形为平行四边形，则且，又因为、分别为、的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，故且，平面，平面，，即，同理可得，故异面直线与的距离为.故答案为：.4．【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果.【详解】

平面，平面

又

异面直线与之间距离为故答案为【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.5．.【分析】画出草图，先证明BD是异面直线和的公垂线，再求出BD的长即可。【详解】画出草图，，

又，所以BD是异面直线和的公垂线所以异面直线和的距离为BD是直角三角形。故答案为：【点睛】此题考查异面直线间的距离，关键点找到两条异面直线的公垂线，属于较易题目。6．2【分析】连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果.【详解】连接

，，

，又

平面，又平面

即为异面直线与之间的距离又

本题正确结果：【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段.7．C【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解.【详解】

如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意得，则.设异面直线与的公垂线的方向向量，则，即，令，得，，所以异面直线与之间的距离.故选：C.8．C【详解】设正方体的棱长为，若异面直线与的距离为1，则，从而体积.若异面直线与的距离为1，则，，.即正方体的体积为1或.选C.9．【分析】作图，找到与BD的公垂线，计算出公垂线的长度即可.【详解】连接BD，取BD的中点O，连接OC，根据正方形的性质，显然，又因为底面ABCD，所以，，，即OC是BD与的公垂线，.故答案为：.10．####【分析】利用公垂线的定义可得出结果.【详解】如下图所示：在长方体中，，，故和的公垂线段是，平面，平面，，又因为，则和的公垂线段是.故答案为：；.11．##0.5【分析】说明是二面角的平面角，过作于，证明是异面直线和的公垂线，求出线段的长即可．【详解】如图，由，知是二面角的平面角，因此，且因为