高中数学同步讲义（人教A版必修二）第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理 （学生版）

第11讲6.4.3第2课时正弦定理课程标准学习目标①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力知识点01：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤④，，（可实现边到角的转化）⑥⑤，，（可实现角到边的转化）【即学即练1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）在中，角的对边分别为，，，．则．【答案】【详解】在中，，，，因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.知识点02：解决几何问题的常见公式三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).【即学即练2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为．【答案】【详解】由题意可得的面积为.故答案为：.题型01已知两角及任意一边解三角形【典例1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3【典例2】（2023下·河北邯郸·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则.【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则.【变式1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）在中，边长，则边长（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则；；．【变式3】（2023下·湖南邵阳·高三统考学业考试）中，角的对边分别为，已知，，，则.题型02已知两边和其中一边的对角解三角形【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（

）A． B．或 C． D．或【典例2】（2023上·甘肃平凉·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．(1)求的值；(2)求c的值．【典例3】（2023上·山西太原·高三统考期中）在中，，，，在上，且．(1)求的值；(2)求的面积．【变式1】（2023上·安徽·高二校联考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则C=（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则．【变式3】（2023上·江西·高二校联考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，.(1)求；(2)求的面积.题型03三角形解的个数【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【典例2】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例3】（多选）（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【典例4】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是.【变式1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（

）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在【变式2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（

）A． B．C． D．【变式3】（多选）（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（

）A．若，则有一个解B．若，则有两个解C．若，则为等腰三角形D．若，则为钝角三角形【变式4】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为.题型04判断三角形的形状【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【典例2】（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）在中，若，则该三角形的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形【典例3】（2023上·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考阶段练习）在中，有，试判断的形状（从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.【变式1】（2023上·北京海淀·高三统考期中）在中，，则（

）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角【变式2】（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式3】（2023上·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）在中，，则的形状为三角形．题型05利用正（余）弦定理求范围或最值【典例1】（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是.【典例2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．(1)证明：(2)若，求的取值范围．【典例3】（2024·陕西宝鸡·校考一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角A；(2)若的面积为1，求的最小值.【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面积；(2)若，求的值以及的取值范围．【变式2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为(1)求角A的大小；(2)当时，求的取值范围.【变式3】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直．(1)若，求的值；(2)若角的内角平分线与相交于点，求的最小值．题型06综合运用正弦定理、余弦定理解三角形【典例1】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则．【典例2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，，则的最小值为.【典例3】（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．【变式1】（2023上·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于.【变式2】（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长．【变式3】（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．题型07求三角形面积（定值）【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.【典例2】（2024上·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且.(1)求的值；(2)求的面积；【典例3】（2023·四川内江·统考一模）的内角、、所对的边分别为、、，，．(1)求角的大小；(2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．【变式1】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求：的值．(2)求：的值．(3)若，求：的面积．【变式2】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）在中，已知，，．(1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求的面积.题型08根据三角形面积求参数【典例1】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求角的角平分线的长.【典例2】（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）在中，角所对的边分别为且.(1)求的值；(2)若的面积为，求边上的高.【典例3】（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C；(2)若的面积为，求的周长．【变式1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．(1)求的值；(2)若的面积，求的值．【变式2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，(1)求角B的大小；(2)若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.【变式3】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，面积为，且.(1)求；(2)若为的中点，求的长.题型09三角形面积最值（范围）问题【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．【典例2】（2023·广东·统考二模）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.

(1)求的取值范围；(2)当变化时，求四边形面积的最大值.【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角C的大小；(2)若，求的面积S的取值范围．【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B；(2)若点D在边上，平分，且，求面积的最小值．【变式2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在中，，，分别为内角，，所对的边，.(1)求角A；(2)若，求面积的最大值.【变式3】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求面积的最大值．题型10求三角形周长（定值）【典例1】（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，，.(1)求的面积；(2)若，求的周长.【典例2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长．【变式1】（2023上·云南楚雄·高三统考期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B；(2)设BD是AC边上的高，且，，求的周长.【变式2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若，的面积为，求的周长．题型11三角形周长最值（范围）问题【典例1】（2024上·贵州·高三统考开学考试）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．

(1)求的面积；(2)求的周长的最大值．【典例2】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别是，已知，为在方向上的投影向量．(1)求；(2)若，求的周长的取值范围．【典例3】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若的中线，求的最大值．【典例4】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.【变式1】（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知锐角内角及对边，满足.(1)求的大小；(2)若，求周长的取值范围.【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．已知①；②；③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．(1)求角；(2)若．求的取值范围．【变式3】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．(1)求角；(2)求的取值范围．【变式4】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在单位圆上的三点A，B，C构成的锐角中，内角A，B，C所对的边分别为．(1)求a；(2)求的取值范围．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设的内角的对边分别为，若则的值可以为（

）A． B． C． D．或2．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考开学考试）在中，角的对边分别为，，则（

）A． B． C． D．3．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（）A． B． C． D．4．（2023上·全国·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定5．（2023上·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）在中，已知，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023上·北京大兴·高三统考期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·模拟预测）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差（

）（参考数据：，）

A．2.016米 B．2.232米 C．2.428米 D．2.614米二、多选题9．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．10．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（

）A． B． C．2 D．三、填空题11．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为.12．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为，若，的面积为，则的最小值为.四、解答题13．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为且．(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．14．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.B能力提升1．（2023上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（

）A． B． C．8 D．2．（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）在钝角中，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023上·山东泰安·高三统考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，求；(2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值.C综合素养1．（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高