七年级数学下册人教版9-2 一元一次不等式单元教学设计

9.2一元一次不等式(单元教学设计)

一、【单元目标】

通过与一元一次方程概念的对比，引出一元一次不等式的概念，加强学生对两个概念的

区别与联系，让学生能够明白一元一次不等式的要素，同时激发学生对概念的发散，锻炼学

生的思维能力；

(1)结合之前学习的一元一次方程的概念和解法，让学生归纳总结出一元一次不等式

的概念和解法，同时针对不等式的含参问题、数轴表示方式和不等式的特殊解有独到的解决

方法，提高自己的解题能力，同时激发学习的兴趣；

(2)通过小组合作探究，让学生参与教学过程，同时对一元一次不等式的应用问题加

深理解，在注重不等式解法的同时，关注范围的合理性；也提升了学生的数学抽象素养，进

一步发展了学生的类比推理素养；

(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑

推理素养;

(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转

化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养;

二、【单元知识结构框架】

1、一元一次不等式的概念

2、解一元一次不等式的基本步骤：

去分母

去括号

移项

合并同类项

系数化为1

3、应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:

找出不等关系结合实际问题

实际问题列不等式一解不等式

设确定答案

三、【学情分析】

i.认知基础

一元一次不等式的解法与应用，是相对比较基础的内容，但涉及到含参问题、特殊解和

应用里面的分配问题，需要学生在基础概念的理解上，升华自己对这一类问题的理解；一元

一次不等式的解法是基础，是为我们后面的学习做铺垫，故这一块一定要认真学习；

2.认知障碍

一元一次不等式的概念和解法是相等基础的内容，但涉及到含参问题、特殊解和应用里

面较难的分类问题时，往往会忽略取值范围，同时应用题里面的数量关系一般要求符合实际,

即要求是整数，所以分类讨论的时候一定注意取值的问题;

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：一元一次不等式的概念；一元一次不等式的解法；一元一次不等式的应用；

教学难点：一元一次不等式的含参问题；一元一次不等式的特殊解；

五、【教学问题诊断分析】

9.1.1一元一次不等式的概念与解法

问题1：（一元一次不等式的识别）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A.5x~2>0B.-3<2+-

X

C.6x—3j<-2D.y+l>2

【破解方法】如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知

数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式.

【解析】选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两

个未知数，选项D中未知数的次数是2,故选项B,C,D都不是一元一次不等式.故选A.

问题2：（根据一元一次不等式的概念确认字母的取值范围）已知一工声7+5>0是关

3

于x的一元一次不等式，则己的值是.

【解析】由一工产-+5>0是关于x的一元一次不等式得2a—1=1,则a=l.故答案为

3

问题3：（解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集）解下列不等式，并把解集

在数轴上表示出来：

⑴2x—3V士；⑵―――0.

336

【破解方法】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1,求出不等式的解

集，然后在数轴上表示出来即可.

【解析】（1）去分母，得3（2x—3）<x+l,

去括号，得6x—9<x+l,

移项，合并同类项，得5xV10,

系数化为1,得x<2.

不等式的解集在数轴上表示如下:

-4-3-2-101234

(2)去分母，得2(2x—1)—(9x+2)W6,

去括号，得4x—2—9x—2W6,

移项，得4x—9xW6+2+2,

合并同类项，得一5x<10,

系数化为1,得2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

II|||[||»

-4-3-2-101234

问题4：(根据不等式的解集求待定系数)已知不等式x+8>4x+勿(1是常数)的解集

是x<3,求必的值.

【破解方法】已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的

唯一性列方程求字母的值.解题过程体现了方程思想.

【解析】因为x+8>4x+/zz,所以x—4x>m—8,所以一3x>m—8,所以xV——(m—8).

3

因为其解集为xV3,

所以一工(以一8)=3,解得"=—1.

3

问题5：(求不等式的特殊解)y为何值时，代数式旦士4的值不大于代数式,一口的

683

值？并求出满足条件的最大整数.

【破解方法】求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解.在确

定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然.

【解析】依题意，得5匕二

683

去分母,得4(5y+4)W21—8(1—力，

去括号，得20y+16W21—8+8y,

移项，得20y-8j<21—8—16,

合并同类项，得12j<—3,

把y的系数化为1,得yW一±

4

yW—工在数轴上表示如下：

-4-3-2-l_101234

~4

由图可知，满足条件的最大整数是一1.

x—y=6,

问题6：（一元一次不等式与二元一次方程组结合）已知关于x、y的方程组・

2x+y=6a

的解满足不等式x+y<3,求实数a的取值范围.

【破解方法】

x=2a+l,

【解析】解方程组得•

y=2a,-2.

*.*x~\~3,24a+1+25—2<3,

A4a<4,：.a<l.

已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值

范围.

9.2.2一元一次不等式的应用

问题7：（商品销售问题）某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小.为了

促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品？

【破解方法】商品销售问题的基本关系是：售价一进价=利润.读懂题意列出不等关系

式求解是解题关键.

【解析】设可以打x折出售此商品，由题意得

X

180X——120^120X20%,

10

解得x28.

答：最多可以打8折出售此商品.

问题8：（积分问题）某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2

分.小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？

【破解方法】竞赛积分问题的基本关系是：得分一扣分=最后得分.本题涉及不等式的

整数解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等.

【解析】设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（25—x）道.根据他的得分要超

过80分，得

4x—2（25—x）>80,

9

解得^>21-.

3

因为X应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.

答：小明至少要答对22道题.

问题9：(分段计费问题)小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如

下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方

米，则超出部分每立方米收费2元.小明家每月用水量至少是多少？

【破解方法】分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的

费用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可.

【解析】设小明家每月用水x立方米.

♦5X1.8=9<15,

小明家每月用水超过5立方米.

则超出(x—5)立方米，按每立方米2元收费，

列出不等式为5X1.8+(x-5)X2215,

解得x>8.

答：小明家每月用水量至少是8立方米.

问题10：(分配问题)有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲

种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，

则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

【破解方法】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10—x)人.则种甲种蔬菜

亩，乙种蔬菜2(10—x)亩.再列出不等式求解即可.

【解析】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10—x)人.

根据题意得0.5X3x+0.8X2(10—x)215.6,

解得xW4.

答：最多只能安排4人种甲种蔬菜.

问题11：(方案问题)为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有4B

两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算，该企业购买

设备的资金不高于105万元.

/型8型

价格(万元/台)1210

处理污水量(吨/月)240200

年消耗费(万元/台)11

（1）该企业有几种购买方案？

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

【破解方法】此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定

最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小.

【解析】（1）设购买污水处理设备力型x台，则6型为（10—x）台.由题意得

12x+10（10—x）W105,解得xW2.5.

•.•x取非负整数，可取0,1,2.

有三种购买方案：购力型0台，6型10台；/型1台，6型9台；/型2台，夕型8台；

（2）由题意得240x+200（10—x）>2040,解得

所以x为1或2.

当x=l时，购买资金为12X1+10X9=102（万元）；

当x=2时，购买资金为12X2+10X8=104（万元）.

为了节约资金，应选购/型1台，8型9台.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.若点尸（3-九-3）在第三象限，则〃应满足的条件是（）

A.m<0B.m>3C.0<m<3D.加<0或加>3

【答案】B

【分析】根据第三象限内点的横坐标小于0,纵坐标小于0列出不等式组解答即可.

【详解】解：I•点尸（3-加,-3）在第三象限,

3-加<0,

解得m>3.

故选：B.

【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的

符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三

象限（一,-）；第四象限（+,-）.

a

2.若不等式（。-1）x4-3的解集为则〃的取值范围是（）

L-U

A.a>\B.a<1C.a>0D.a<1

【答案】B

【分析】根据已知解集得到为负数，即可确定出。的范围.

【详解】解：；不等式("l)xV-3的解集为

\-a

ci—1<0,

解得：a<1.

故选：B

【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键.

3.不等式3x+l>5x-l的解集是.

【答案】尤<1

【分析】根据解不等式的步骤，不等式的性质求解即可.

【详解】解：3x+l>5x-l,

移项，得3x-5x>-1-1,

合并同类项，得-2x>-2,

系数化成1,得尤<1,

故答案为：尤<1.

【点睛】本题考查了解不等式，掌握解不等式的性质是解题的关键.

4.某初中举行知识抢答赛，总共20道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错或不

抢答1题扣1分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于50分，那么小刚至少要答对

道题.

【答案】18

【分析】设小军答对x道题，由题意：总共20道抢答题，抢答对1题得3分，抢答错或不

抢答1题扣1分，使最后得分不少于50分，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【详解】解：设小军答对x道题，

依题意得：3x-(20-x)>50,

解得：x>171,

2

••・X为正整数，

••.X的最小正整数为18,

即小军至少要答对18道题，

故答案为：18.

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式是解题的关

键.

5.解下列不等式：

(1)3JC-1>2(X-1)

/2—19x+2

(2)---------<1

36

【答案】（1）X>-1

⑵x>-2

【分析】（1）先去括号、移项、合并同类项，把x的系数化为1即可；

（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可;

【详解】（1）解：3x-l>2（x-l）,

去括号得，3x-l>2x-2,

移项得，3x-2x>l-2,

化系数为1,%>-1;

去分母得，2（2x-l）-（9x+2）<6,

去括号得，4x—2—9x—2<6,

移项得，4x-9x<6+2+2,

合并同类项得，-5x<10,

化系数为1得，、>-2.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知①去分母；②去括号；③移项；④合并同类

项；⑤化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

【变式1】如果x=1.6是某不等式的解，那么该不等式可以是（）

A.x>3B.x>2C.x<1D.x<2

【答案】D

【分析】把x=1.6分别代入各选项，即可判定.

【详解】解：A.QL6<3,，x=L6不是不等式x>3的解，故该选项不符合题意；

B.•.,1.6<2,.』=1.6不是不等式x>2的解，故该选项不符合题意；

C.,.T.6>1,不是不等式x<l的解，故该选项不符合题意；

D.:1.6<2,.,.尤=1.6是不等式x<2的解，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，理解题意是解题的关键.

【变式2】如果不等式（a+l）x>a+1的解集为x<l,那么a满足的条件是（）

A.a>0B.a〈-2C.a〉-1D.a〈-1

【答案】D

【分析】根据所给的不等式的解集为X<1，可知X的系数为负，那么。+1<0,从而可得。满

足的条件.

【详解】解：；不等式（。+1及>。+1的解集为x<l

tz+1<0

即Q<-1

故选D

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是注意不等式性质3的使用.

【变式3】某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第三个月

起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元.这批电话

手表至少有（）

A.103块B.104块C.105块D.106块

【答案】C

【分析】设这批手表有x块，根据题意，列出不等式进行求解即可.

【详解】解：设这批手表有x块，由题意，得：

550x60+500（^-60）>55000,解得:x>104,

为整数，

的最小值为：1。5；

这批电话手表至少有105块；

故选C.

【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用.解题的关键是正确的列出不等式.

【变式4】不等式2x+9Z3（x+2）的非负整数解有个.

【答案】4

【分析】先求出不等式的解集，再找出其中的非负整数即可.

【详解】解：2x+9N3（x+2）,

去括号得，2x+923x+6,

移项得，2x-3x>6-9,

合并同类项得，-x>-3,

系数化为1得，x<3,

故其非负整数解为0,1,2,3.

不等式2x+923（x+2）的非负整数解有4个.

故答案为：4

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题

的关键.按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【变式5］已知关于x的不等式x-a>-3的解集中有且仅有3个负整数解，则a的取值

范围为•

【答案】-l<a<0

【分析】解不等式得根据3个负整数解只能是-3、-2、-1,求出。的取值范围

即可.

【详解】解：••・关于尤的一元一次不等式了-a>-3的解集中有且仅有3个负整数解，

，关于x的一元一次不等式x2。-3的3个负整数解只能是-3、-2、-1,

-4<Q—3W—3,

—1<Q«0.

的取值范围是

故答案为：-l<a<0.

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于

正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根

据得到的条件进而求得不等式的整数解.

【变式6】解不等式，并把解集在数轴上表示出来.

(1)2x+9>-3(x+2)；

/八\2x-15x-11

(2)----------<1.

24

【答案】(1)%>-3,数轴见解析

(2)无>-5,数轴见解析

【分析】(1)按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴

上表示出来即可；

(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，在将解集在数轴

上表示出来即可.

【详解】(1)解：2x+9>-3(x+2),

去括号，得2x+92-3x-6,

移项，得2x+3x>-6-9,

合并同类项，得5%>-15,

系数化为1,得x“3,

数轴表示如图所示：

-5-4-3-2-1012345

_..2x—15x—11

(z2)解：-.....—<l,

24

去分母，得2(2x-l)-(5x-l)<4,

去括号，得4x—2—5x+1<4,

移项，得4x-5x<4+2-l,

合并同类项，得r<5,

系数化为I,得x>-5,

数轴表示如图所示：

-5-4-3-2~l0I2345'

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不

等式的方法和步骤是解题关键.

【变式7】哈市欲购进甲、乙两种丁香进行绿化.若购进甲种2株，乙种3株，则共需成本170

元；若购进甲种3株，乙种I株，则共需成本150元.

(I)求甲、乙两种丁香每株的价格分别为多少元？

(2)若购进的乙种丁香的株数比甲种丁香的3倍还多90株，购进两种丁香的总费用不超过

15700元，求最多购进甲种丁香多少株？

【答案】(1)甲、乙两种丁香每株价格分别为40元、30元

(2)最多购进甲种丁香100株

【分析】(1)设甲、乙两种丁香每株的价格分别为x元和了元，根据题意列出二元一次方

程组，解方程组即可求解;

(2)设购进甲种丁香为。株，则购进乙种丁香为(3。+10)株，根据题意列出一元一次不等

式，解不等式即可求解.

【详解】(1)解：设甲、乙两种丁香每株的价格分别为尤元和V元.

2x+3y=170

由题意得:

3x+y=150

x=40

解得:

7=30

答：甲、乙两种丁香每株价格分别为40元、30元.

(2)设购进甲种丁香为。株，则购进乙种丁香为(3。+10)株.

40«+30(3«+90)<15700

解得a4100

答：最多购进甲种丁香100株.

【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等

式是解题的关键.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.若x是非负数，则用不等式可表示为（）

A.x<0B.x<0C.x>0D.x>0

【答案】D

【分析】根据非负数及大于等于0的数，列出不等式即可求解.

【详解】解：x是非负数，则用不等式可表示为xWO,

故选：D.

【点睛】本题考查了列不等式，抓住不等关系的关键词语是解题的关键.

2.不等式3尤-5<1+》的正整数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】先求出一元一次不等式的解集，再找出它的所有正整数解即可得.

【详解】解：3x-5<1+x,

移项得3x-x<l+5,

合并同类项得2尤<6,

解得x<3,

则这个不等式的所有正整数解为1和2,共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键.

3.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过100分,

他至少要答对的题的个数为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【分析】根据题意列不等式直接求解即可.

【详解】设答对的题的个数为X,则答错或不答的有（20-劝个，

由题可知：1Ox—5（20—无）2100,

解得港三40，

所以至少要答对14个题.

故选：B

【点睛】此题考查一元一次不等式，解题关键是理解题意直接列不等式即可.

4.“根的2倍与8的和不大于2与加的差”用不等式表示为.

【答案】2m+8<2-m

【分析】冽的2倍与8的和，2与加的差分别表示为：20+8,2-m,“不大于”用数学

符号表示为“4”，由此可得不等式2机+842-机.

【详解】解：由题意可列不等式为：2加+8V2-加.

故答案为：2m+8<2-m.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要

抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、

“最多”等等，正确选择不等号.

5.关于x的不等式X-3。4-2a（其中。为正整数）正整数解为1,2,3,则。的值是.

【答案】3

【分析】先求关于尤的不等式x-3aV-2a的解集为再根据不等式的正整数解为1,2,

3,确定。的取值范围，最后得出正整数。的值即可.

【详解】解：不等式尤-3aV-2a的解集为

•••不等式正整数解为1,2,3,

3<a<4,

・•・正整数。的值是3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了求不等式的正整数解，根据题意得出34a<4是解答本题的关键.

6.在数轴上，可以清晰的表达数的大小关系.请你在数轴上画出关于x的不等式。的解

集，如果解集中只有正整数解1,那么a的取值范围是.

【答案】1<«<2

【分析】根据不等式的解集即可确定a的取值