高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第14讲 2.1.1倾斜角与斜率（教师版）

第01讲2.1.1倾斜角与斜率课程标准学习目标①理解直线的倾斜角与斜率的概念。②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。④会用两点坐标求直线的斜率。⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.知识点01：直线倾斜角的定义以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.知识点02：直线的斜率我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为直线的倾斜角是，所以此直线的斜率是.故选:C.知识点03：斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由图象可得，，故选：C知识点04：直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．（3）∵，∴直线的斜率不存在．题型01求直线的倾斜角【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设直线的倾斜角为，，则，.故选：D.【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，设直线的倾斜角是，故选：B.【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.【答案】/【详解】直线的斜率为所以直线的倾斜角为，直线与直线平行所以直线的倾斜角为.故答案为：题型02直线斜率的定义【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知：直线的斜率.故选：A.【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】k=tan120°=.故选：B．【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得直线l的斜率.故选：D题型03斜率与倾斜角变化关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且，所以，又在上单调递增，故，所以.故选：C【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.故选：.【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】直线倾斜角的取值范围是，又直线经过第二、四象限，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选：D.【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误.故选：ABC．题型04已知两点求斜率【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；(2)存在，斜率为，倾斜角为；(3)存在，斜率为，倾斜角为；(4)不存在.【详解】（1）解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为（2）解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.（3）解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.（4）解：因为，所以经过的直线斜率不存在，【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．【答案】，【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率，解得．所以的取值范围是，．故答案为：，．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知．(1)求直线和的斜率；(2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为(2)【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率，故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD的斜率的变化范围是．

题型05已知斜率求参数【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135°，∴，解得．故选：D【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【答案】D【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，所以，解得，故选：D【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为直线的倾斜角为，，可得直线的斜率为，可得.故选：C【变式2】（2023秋·高二课时练习）过，两点的直线的倾斜角为，求的值．【答案】.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，，不符合，当时，，符合，综上：.题型06利用直线斜率处理共线问题【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】D【详解】由题意可得，因为A，B，C三点共线，所以，即，解得或．所以的值为2或．故选：D．【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.【答案】【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，显然直线的斜率存在，故，即，解得，故答案为：4【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【详解】因为，又，所以，即.故选：C.【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5【答案】C【详解】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在，所以，解得或故选：C题型07求斜率或倾斜角的取值范围【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示：

若直线与线段相交，则或，因为，，所以直线的斜率取值范围是.故选：A.【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是__________．【答案】【详解】如图：

当直线l的斜率，直线l的倾斜角的取值范围为：.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是__________．【答案】【详解】解：如图，，，，，，则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为，，又直线倾斜角的范围是：，且直线l的倾斜角的范围为．故答案为：．【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(

)A． B． C． D．或【答案】D【详解】画出图像,如图:结合图像可知,要保证线段与直线相交需满足斜率的取值范围:或故选:D.【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：直线l的斜率为k，且，∴，.∴.故选：B.题型08斜率公式的几何意义的应用【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______【答案】【详解】如图，，，，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，，所以有.故答案为：.【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.【答案】【详解】由表示与点所成直线的斜率，又由是在部分图象上的动点，如图所示：可得，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为点在函数的图象上，所以时，；当时，；故设而可看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，故时，,而,所以故选：B.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°【答案】A【详解】因为两点的纵坐标相等，所以直线平行于轴，所以直线的倾斜角为0°．故选：A2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则有，又，所以.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（

）（结果保留两位有效数字）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，显然，，因此点，直线的斜率为，由对称性得直线的斜率为，所以最长拉索所在直线的斜率约为.故选：C5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【详解】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由直线的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，如图所示：由此可得.故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.故选：C二、多选题9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为【答案】ABCD【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误；对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.故选：ABCD10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【详解】由题可得，所以，结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，故选:ABC.三、填空题11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

【答案】【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，所以，，故．故答案为：.12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．【答案】【详解】设，，则点的坐标为，点的坐标为，点，，共线，，即，可得：，即，又，，故答案为：．四、解答题13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.【详解】解：（1）kAB=，因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.（2）kPQ=，因为kPQ<0，所以直线PQ的倾斜角是钝角.（3）因为xM=xN=3，所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．【答案】(1)．(2)．【详解】（1）因为，，所以因为直线与线段有公共点，所以由图可知直线的斜率满足或，所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，所以的取值范围是．B能力提升1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为点，是相异两点，，且，设直线的倾斜角为，则当，倾斜角的范围为．当，倾斜角的范围为