高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第32讲 拓展一：中点弦问题（学生版）

第07讲拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.(1)求的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为．题型04确定参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．(1)求的方程；(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．(1)求曲线的标准方程；(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，