高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第36讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（教师版）

第11讲拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）一、知识点归纳在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题二、题型精讲题型01圆锥曲线中的定点问题【典例1】（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，右顶点．(1)求椭圆的标准方程；(2)、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由．【答案】(1)(2)直线经过定点,理由见解析【详解】（1）由题意可知，，，则，所以椭圆的标准方程为.（2）直线经过定点,理由如下，

若直线的斜率存在，设方程为，则将直线方程代入椭圆方程消去可得，，得，设、，则有，，，，，化简得，解得或，当时，方程为，过定点，不合题意，当时，方程为，过定点，若直线的斜率不存在，设方程为，设，，则，即，解得，此时方程为，显然过点综上，直线经过定点.【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知椭圆的左顶点为.椭圆的离心率为并且与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点（异于点），且.则直线是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】(1)(2)直线恒过定点.【详解】（1）由题意可得，可得，所以椭圆的方程为：，即，联立，整理可得：，由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为：；

（2）因为，可得，即，由（1）可得，由题意设直线的方程为：，，，，联立，整理可得：，，即，且，，所以，整理可得：，解得或（舍），即时，不论为何值都符合，所以直线的方程为，则直线恒过定点.

【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，且过．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点．【详解】（1）根据题意可得，解得，，所以双曲线的方程为．（2）设，，联立，得，，，，又所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点．【典例4】（2023春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为轴，，所以点的坐标为，所以，又，所以，所以抛物线方程为.（2）设的方程为，代入有，设，，则，，，直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，所以，由（1）可得，所以即，，所以，所以直线的方程为，即，令，解得，直线恒过点．

【变式1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为．(1)求C的标准方程．(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足，，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)(2)直线PQ过定点．【详解】（1）圆的方程可化为，故，半径，将代入椭圆方程得．设C的左焦点F的坐标为（－c，0），则，解得，所以，所以C的标准方程为．（2）直线PQ过定点，理由如下．由（1）知，因为，的斜率之积为－1，所以，易知，的斜率存在且不为0．由，，可知点P为线段AB的中点，点Q为线段MN的中点．设的方程为，，，由消去y，得，则，所以，所以点P的坐标为．将点P坐标中的k换成，可得当时，解得，此时直线PQ的方程为，恒过x轴上的点；当时，，，所以，即直线PQ过定点．综上所述，直线PQ过定点．【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.(1)求双曲线的方程.(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)直线过定点【详解】（1）由题意，取渐近线，右顶点到该渐近线的距离，又，，解得，，，的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，消去得，易知，由韦达定理得，则.因为，所以，用代替（显然此时），同理得，得，直线：，过定点.当时，直线的斜率不存在，易知直线的方程为，过左焦点.综上，直线过定点.

【变式3】（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若所在直线l的方程为．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足．试说明动直线是否过定点．【答案】(1)(2)过定点【详解】（1）解：设抛物线的方程为，联立方程组，可得，由，可得或，设，则，所以，设，由的重心为，则，所以，因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为，显然，因为，所以，设，所以，所以，联立方程组，整理得，所以，则，所以，因为，所以，所以动直线的方程为，此时动直线恒过定点.当动直线的斜率不存在时，显然轴，因为，所以为等腰直角三角形，由和，得到，此时直线也过定点，综上可得，动直线恒过定点.题型02圆锥曲线中的定值问题【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，0【详解】（1）因为椭圆过点，所以，设满足，则，又，则，所以椭圆的方程.（2）直线，代入椭圆，可得，由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.设，由于点与关于原点对称，所以，于是有，，又，于是有故直线的斜率与直线的斜率之和为0.

【典例2】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)【详解】（1）由可知，，因为线段的垂直平分线与直线交于点，，所以或，所以，所以，所以，所以由双曲线的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，所以点的方程为．

（2）设直线斜率为，设直线方程为，因为与直线，分别交于、两点，所以，联立方程组得，因为，所以，因为直线与曲线恰有一个公共点，所以直线与曲线相切，由，得，联立方程组得.不直线与的交点为，则.同理可求，所以.因为原点到直线的距离，所以，又因为，所以，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，此时，.故的面积为定值，且定值为.

【典例3】（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点为直线上的动点，过点作射线（点位于直线的右侧）使得，设线段的中点为，设直线与轴的交点为.(1)求动点的轨迹的方程.(2)设过点的两条射线分别与曲线交于点，设直线的斜率分别为，若，请判断直线的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.【答案】(1)(2)是，定值1；定点.【详解】（1）设点的坐标为，点，其中、的中点为，由此可得直线的方程为，可得点的坐标为，再结合可得，整理得，所以动点的轨迹的方程为：.（2）设直线的方程为，联立直线与的方程可得：，设点的坐标为，根据韦达定理可得，，其中，结合条件可得：，整理可得，结合直线的方程可化简为：，代入韦达定理可得，通过分解因式可得即可得或，当时，直线的斜率为定值；当时，直线恒过定点.【变式1】（2023春·湖南湘潭·高二校联考期末）已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程(2)设曲线与轴的交点分别为，，点关于直线的对称点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点.请判断的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，8【详解】（1）由题意得，圆：的圆心为，半径为,

因为为中点，且，所以是线段的垂直平分线，所以，所以，所以点的轨迹即曲线是以，为焦点的椭圆，设曲线：，其中，.则，，，故曲线：（2）的面积是定值，理由如下：

由题意易得，，且直线的斜率不为0，可设直线：，，，由,得，恒成立，所以，则.直线的方程为：，直线的方程为：，由，得.又，解得.故点在直线上，所以到的距离，因为点关于直线的对称点分别为，所以设，所以，解得，所以，同理可得因此的面积是定值，为.【变式2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，解得，又由，可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）解：由双曲线，可得，设点，则直线的方程为，即，由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，又由，可得，解得，即直线的方程为，设，由点共线，可得，即，得，即点，则点到直线的距离为.即点到直线的距离为定值.

【变式3】（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【详解】（1）抛物线C：的焦点，直线的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，因此，而，解得，所以抛物线C的方程为.

（2）存在，使得为定值.依题意，直线，直线，由消去y并整理得，设，则，，，设，同理，且有，由，得，即，而，则，所以存在，使得为定值0.题型03圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点M在定直线上【详解】（1）设椭圆E的方程为．则，解得，故椭圆E的方程为．（2）依题可设直线l的方程为，，，．联立方程组，整理得，则，直线AP的方程为，直线BQ的方程为，联立方程组，得由，得，得．所以.故点M在定直线上．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，焦点，，.所以，，故C：.（2）设l的方程为，则，故，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.与双曲线方程联立得：，由已知得，，设，，则，①由，得：，，消去得：，即②由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.【典例3】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件： ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点在直线上【详解】（1）即为，若选①，抛物线方程为，选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为.选③，代入，解得，所以弦长为，解得，所以抛物线方程为.（2）令，，，则，,，,即为，又即，同理，，，而过点即点在直线上【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，，解得，∴，∴，，，∴椭圆的方程为．（2）由题