山东省泰安市2022-2023学年高三年级上册期末考试数学 含解析

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若（l+2oi）i=l一历,其中mGR,则|1+。+历|=（）

A.叵B.V5C.正D.V10

22

【答案】C

【解析】

【分析】通过复数的运算及复数相等，求得。力，计算复数的模可得结果.

【详解】「（l+2ai）i=—2a+i=l—阮.•.a=—；,0=—l,.1l+a+&=：T=*.

故选：C.

2.设集合A={x|x<2或x"},B={x|a«xWa+l},若低A）8=0,则。的取值范围是（）

A.或。>4B.aV1.或

C.a<1D.。>4

【答案】B

【解析】

【分析】先求出4A,根据（\A）3=0,可求得结果.

【详解】由集合A={x|x<2或x24},得\A={x|2«x<4},又集合3={x|aWxKa+1}且

A）B=0,则a+l<2或aN4,即a<1或。24.

故选：B.

3.p：sin8〉0,q:。是第一象限角或第二象限角，则P是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得sin6>0时。的范围，再根据充分必要条件的概念即得.

【详解】由sin6>0,可得。是第一象限角或第二象限角或终边在V轴非负半轴，

所以由P推不出9,而由。是第一象限角或第二象限角，可得sin6>0，

所以由q可推出p,

所以，是q的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且S4,邑，S,成等差数列，%+。3+4=-18,则为=()

A.-96B.-48C.48D.96

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由条件得到关于为与4的方程，即可得至从而得到结果.

【详解】设等比数列｛%｝公比为夕，

因为国,$2,S3成等差数列，

所以2s2=54+83,即2。3+。4=0，

又。2+。3=-18,

2Q闻2+4,3=0q=3

所以｛/2c解得

%(q+①+0)=T84=-2

所以织=a^q4=3x(—2『=48

故选:C

5.已知函数/(x)=2sinx+4cos%在x=0处取得最大值，则cose=()

275R石

A.£>.--cD..还

—5--f5

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sinacosS的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.

【详解】因为J'(x)=2sinx+4cosx=2石sin(x+6),

.八42八21

其中sin0=—7==—7=,cos0=—；==—；=,

2V5V52V5V5

当x=。时，取得最大值,

兀71

即*+6=5+2&兀,&£Z,所以*=万一B+2kit,keZ,

2_2yf5

所以cos(p=cosH—8+2kli)=sin8=

45=~T

故选：A

6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径

与圆锥的底面半径的比值为（）

AJLR&C-D逝

4422

【答案】D

【解析】

【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为，•，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.

【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r,R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为、历

hR—r

设圆柱高为〃，则一=——,h=R-r,

RR

由题，兀xRx正R=2兀r+2兀厂x（R-r）,得二=也.

R2

故选：D.

7.已知抛物线。：丁=4彳的焦点为尸，过点P（5,0）的直线/交。于两点，。为坐标原点，记

ABO与NAFO的面积分别为5,和5,,则S,+3S2的最小值为（）

A.8正B.2072C.24丘D.320

【答案】B

【解析】

【分析】设出直线/：x=5+my,联立。：丁=4%,得到两根之和，两根之积，得£=3（乂一%），

S，=1）^^+352=4^+—,利用基本不等式即可求出最值・

2X

【详解】由题意得：尸（1,0）,设直线/：兀=5+冲，联立C:y2=4x得：

/-4my-20=0,设4（司,凹）,3（工2，%），不妨令%＞。,必＜0,

贝|Jy+%=4X%=-20,

故5=4。叩y一%1=孤一％),

S2=^\0F\-M=^>

则$+3$2=-％)+Wy=4y-1%=4y+史z2鼠.”=200.

222%NX

.50

当且仅当4乂=一，即y=25A丝/2时，等号成立.

M12

故选：B

8.设Q=〈,0=ln费,c=sin(,贝ij()

A.a<b<cB.h<c<a

C.c<h<aD.c<a<h

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件构造函数/(x)=Inx—2("),%〉0,g(%)=%-sinx,x>0,再利用导数法研

究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.

【详解】令/(x)=lnx_2(x；),x〉0,

所以「⑴工I一4国=(品X-1V对在(。,+⑹上恒成立'

所以/(尤)在(0,+8)上单调递增,

又〃l)=lnl—空普0,所以若［〉川)=0,

所以InU——1^^>0,即lnU>,，所以a<b.

91+195

9

令g(x)=x-sinx,x>。，所以8'(》)=1-85%20在(0,+8)上恒成立,

所以g(x)在(0,+向上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0-sin0=0,

所以g[2]=!_sin!〉O,即」>sin，，所以c<a,

⑸5555

综上，c<a<b.

故选：D.

【点睛】解决此题的关键是构造函数〃x)=lnx—亚?l,x>0,g(x)=x—sinx,x>0,然后利用

导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若a>0>Z?>c,则下列结论正确的是()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>2J(a-b)(b-c)

a-ccv

【答案】ACD

【解析】

【分析】由不等式的性质判断.

【详解】a>0>b>c,则Z?-c>0,bc>0,；,巴-£=姓;——>0,即@>，，A正确；

cbbecb

例如a=l,b=—2,c=—3,b2a=(-2)2=4,=(-3)2=9,显然4<9,B错误；

ci—bhci(c-b)-a—hb

由Q>0>/?>C得c—bvO,a-c〉0,-------=—;----7>。，即----->一，C正确；

a-ccc(a—c)a—cc

易知。一c>0,a-b>0,b-c>0

ci—c—2J(a-/?)((-c)=(a-b)+3-c)-2J(a-b)(b-c)=(Ja—b—JZ?-c)~20,

a-c>2yJ(a_b)(t>_c),D正确；

故选：ACD.

10.已知A(—10,0),3(2,0),动点尸满足AP3尸=—20.设点P的轨迹为曲线C,直线/：

x-ay+l+a=0与曲线C交于D,E两点,则下列结论正确的是()

A.曲线C的方程为(x+4y+y2=i6区归4|的取值范围为[2,10]

C.当目最小时，a=-3D.当|£)目最大时，。=3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程判断A；再利用曲线C的性质计算判断B,C,D作答.

【详解】设点尸(x,y)，则AP=(x+10,y),BP=(x-2,y),由AP3P=-20得：

(x+10)(x-2)+/=-20,整理得：x2+y2+Sx=0,BP(x+4)2+/=16,

所以曲线C的方程为(x+4『+y2=i6,A正确；

显然曲线C是以点C(T,0)为圆心，4为半径的圆，IAC|=6,点A在圆C外，

IPA\min=|AC|-4=2,|PA京=|AC|+4=10，所以|酬的取值范围为［2,1()］，B正确；

直线/：(x+l)-a(y—1)=0恒过定点显然点M(—1,1)在圆C内，线段OE是经过点〃的圆

C的弦，

直线CM斜率后=；,由圆的性质知，当|£)£|最小时，CM〃则有5•女=—1,解得4=4,c错

误；

当目最大时，线段DE是经过点M的圆C的直径，则T+l+a=0,解得。=3,D正确.

故选：ABD

11.已知函数/(x)=2sin2x_3sin|x|+l,则()

A./(尤)是偶函数

B./(x)在区间，上单调递增

C./(X)在［一兀,可上有4个零点

D,“X)的值域是［0,6］

【答案】AB

【解析】

【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.

【详解】对于A,函数y=/(x)的定义域为R,

且/(-X)=2sin2(-%)-3sin|-x|+1=2sin2x—3sin|+1=/(x),

所以函数y=/(x)是偶函数，A正确；

对于B,当时，0<sinx<^',/(x)=2sin2x_3sinx+l=21inx-j]_

8

(3V1[v2

令/=sinx,由于函数y=2,—在f6[。，了)时单调递减,

函数1=sinx在xw0,：时单调递增，所以函数y=在区间0弓上单调递减,

故函数y=/(x)在区间上单调递增，B正确；

对于C,当xe[0,可时，由/(x)=2sin2x-3sinx+l=0,得siar=g或sinx=l,

1

7rTT5TT

所以x=/或尤=—或彳=H，所以偶函数y=/(x)在[一兀,兀]上有6个零点，C不正确;

626

/3、2]

对于D,当x«0,+oo)时，/(%)=2sin2x-3sinx+1=2sinx-———.

\4J8

31

6

因为一1WsiarWl,所以当sinx=一时，/(x),当sinx=-l时，f(^)max=-

4min8

由于函数y=/(x)是偶函数，因此，函数y=/(x)的值域为一),6,D不正确.

O

故选：AB.

12.如图所示，在长方体ABC。一4耳GR中，A4=4耳=2,AD=1,。是8a的中点，直线交

平面于点”，则()

A.A例三点共线

B.的长度为1

C.直线AO与平面所成角的正切值为亚

D.△AMO的面积为更

6

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,利用公理3,分别证明点同时在两个平面上即可；

对于B,利用长方体的性质，以及中位线定理，可得答案；

对于C,利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可得答案:

对于D,利用三角形之间的关系，可得答案.

【详解】对于A,连结AG，AC，则AG〃4,G，4c四点共面，

A|Cu平面ACC|A，〃€4。,二加・平面4。。14，

又MG平面ABR,;.M在平面ACC.A与平面ABR的交线上，

同理A。也在平面ACC,A,与平面ABtD,的交线上.

AM,。三点共线，故A正确：

对于B,设直线A。与平面的交点为N,

易证平面平面C/。，从而得到。M〃GN,

因为。为4G中点，所以M为4N中点，

同理可得N为CM的中点，所以4M=，4。=1,故B正确；

对于C,取4。中点后，连接A£,OE,

因为平面ADD,4平面BCC&1,

则NQ4E即为直线AO与平面BCCM所成角，

tan/Q4E="=冬叵，故C错误；

AE17

对于D,因为4。=；4G，4加=34。，

所以S.AQ”=^sAG=公X彳AC|,CG=~^，故D正确•

oo26

故选：ABD.

BA

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13已知函数/(力=［：**<0「则.

［log4x,x>0I14〃

【答案】-4

【解析】

【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果.

【详解】因为/(；］=k)g4；=—1，

则f|/(£|)=〃T)=4x(—1)=-4.

故答案为:T

14.已知向量<7=(-4,—3),。=(一2,加一1),若(a+2〃)_La,则加=,

475

【答案】—##7-

66

【解析】

【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.

【详解】解：因为£=(-4,-3)出=(-2,加一1),

所以a+力=(T,-3)+(T,2m—2)=(—8,2加一5),

因为(a+28)J_a,

所以(a+28)a=32-6/〃+15=0,解得m=*

47

故答案为：—

6

15.已知定义在R上的函数/（X）满足：对任意实数”，匕都有/（。+8）=/（。）+〃。）-1,且当犬>0

时，若”2）=3,则不等式/（f—X—1）<2的解集为.

【答案】（-1,2）

【解析】

【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行

转化求解即可.

详解】解：对任意实数。，6都有/'（4+。）=/'（4）+"。）-1,且当X>0时，/（X）>1.

设七>工2，则再一工2>0,/（X,-X2）>1.

所以/（%）一/（工2）=/［（办—％2）+工2］一/（工2）=/（百一工2）一1>。,

即"％）>『伍），

所以/（X）是增函数.

因为/（2）=3,即/（2）=/。）+/。）_1=3,所以/（1）=2.

所以原不等式化为了（召一x—1）<2等价为/（i—x—1）<41）,

则x—1<1，GP%2—%—2<0>则（x—2）（x+l）<0,得-l<x<2,

故不等式的解集是（-1,2）.

故答案为：（-1,2）

22

16.已知双曲线C:，-当=1（“>0,6>0）的右焦点为尸，虚轴的上端点为A",N是C上的两点，P是

abz

MN的中点，。为坐标原点，直线OP的斜率为-,，若AF〃MN,则C的两条浙近线的斜率之积为

2

_1-5/2

r【答案】

2

【解析】

讨x2b2

【分析】设。（%,%），知（不，乂），"（专,必），进而根据点差法得%/N=T*=一一F，再根据A尸〃MN

a%a

得/=2bc，进而得t=也二1,再求渐近线的斜率之积即可得答案.

a22

【详解】解：设尸（如%），”（凡，凹），）（%，％），

因为M,N是。上的两点，尸是MN的中点，。为坐标原点，直线0P的斜率为-

2

Vn1r2222

所以=一7①，—L-^~=1②,—y=1③,X+%=2九°,X+%=2%④,

%02/b2a2b2

所以，②一③得近了一比注=0,整理得互』■=；,《+々|=名区二"

ab-x2-x,《（乂+》2）2a%a-y0

b2x2b2

—_____0__——_____

所以女MV二2—2，

ayQa

因为双曲线C的右焦点为尸，虚轴的上端点为A,

所以A（0,b）,E（c,0）,如=_/，

因为A/〃MN,

所以&MN=%AF，即—整理得：a2=2hc>

CQ-

所以。4=4。2c2=仍2仅2+/）,整理得如4+4a2h2一/=0,

所以4//+4a2b2+，=2,，即（2b1+a2）2=2a4,

2

所以2〃+a=缶2,整理得=立二1,

因为。的两条浙近线分别为y=2x,y=-2x,

aa

所以，。的两条浙近线的斜率之积为-<=上史

a22

故答案为：上史

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2空cos±C=：2+泮sinC

abosmA

（1）求B；

（2）若。=8,。为边AC的中点，且BD=2血，求ABC的面积.

【答案】（1）—

3

(2)46

【解析】

【分析】(1)将条件中的角向边进行转化，然后由余弦定理可得答案；

(2)由85//4。8+85/或＞。=0可得/+。2=48,然后可得前值，然后可得答案.

【小问1详解】

_2cosC2sinC.2cosC2c一

因为------=-+------,所以-------=—+——，所以2/2・8sC=2a+c,

abOsinAabba

222

所以——=26Z+C,B|Ja+c-b=-acf

2ab

所以cos8=d■士《二Q

lac2

又640,兀)，所以8

【小问2详解】

因为。=8,。为边AC的中点，所以AD=C£)=4,且BD=2也，

BD-+AD--AB28+16-c224-?

在△A3。中,cosZBDA-

2BDAD2x20x4-160

24-a2

同理，在，一30c中，cosZBDC

1672

因为NA£>8+N8DC=7t,所以cosNAZM+cosNBOC=0,所以"+'2=48,

在“ABC中，b2=c2+a2—2«ccosB>即64=/+°2+4，所以ac=16,

所以ABC的面积S^ABC=gacsinB=gxl6xsin^=46.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=4,且甘•=工厂(neN*).

3〃2〃

(1)求｛%｝的通项公式；

2"s

(2)若。“=彳~7一，数列也｝的前"项和为7.，求证：Tn<—.

【答案】(1)氏=(〃+1)2”

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意，由4,与S“的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求得结

»+1

果;

（2）根据题意，由裂项相消法即可求得（，从而证明.

【小问1详解】

ann+1

由于=丁，得

S”2”

,…2(n-l}a,

当〃22时，S——人上，

n—\

n

所以为=幽一亚运1,所以亚运£=四二啊,

H+1nn及+1

由于〃22,所以江=2•也，

〃+1n

因为五=2,所以是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以卫=2X2"T,所以为=（〃+1）2”.

n+i

【小问2详解】

2"11_____L]

由（1）知，2=

(〃+3)4,(〃+1)(〃+3)2(〃+1n+3)

L

V+…+—-M+P-

247>n+2JI几+1〃+3

-一-q,

2(23n+2n+3)

122(〃+2〃+3)

因为〃eN*，所以《〈卷.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，平面H48_L平面ABC,PA=2夜，PB=4i，AB=G，ACVPC,

。是棱PC的中点.

c

（1）求证：BC±AC；

（2）若AC=g，求直线2C与平面AOB所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵反

7

【解析】

【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理证得P5_L平面ABC,再得到AC_L平面P8C,从而即可

得证；

（2）根据题意，以C为坐标原点，CB，CA-8P方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立空间直

角坐标系，再由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式，即可得到结果.

【小问1详解】

证明：在，中，PA=2夜，PB=C，AB=R，所以PA?=尸产+AB?,

所以PBLA3，

又平面平面ABC,平面PABc平面A6C=AB,P3u平面物8，

所以P8J_平面ABC,

又ACu平面A8C,所以PB_LAC,

又AC_LPC,PBcPC=P，PB,PCu平面尸BC,所以AC,平面P8C,

又BCu平面P8C,所以8C±AC.

【小问2详解】

在.一ABC中，BC1AC,AC=6AB=衣，所以BC=6.

以C为坐标原点，CB，C4，8P方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则C((),0,0),A(o,G,o),B(V3,o,o),P(百,0,0),

所以。(立,0,立],£>A=f-—,73,--],£>B=[—,0,-—\CB=(V3,0,0),

2

I2JI22JI22J''

=£+也y—显z=0

DAn

设平面ADB的一个法向量为。=(x,y,z),则<22

=旦占0

DBn

22

取X=0，则、=五,2=6,所以“=（夜,夜,6）.

设直线BC与平面AOB所成的角为。，则

sin6=|cos<CB,〃卜甲="+2+3=%

所以直线BC与平面AOB所成角的正弦值是恒.

7

20.如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A,8之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部。测得

44

另一座高塔底部8和顶部C的视角的正切值为一（即tan/BDC=-）,已知两座高塔的高AO为30m,

33

8c为60m,塔底4,8在同一水平面上，且AD_ZAB,BC1AB.

C

（1）求两座高塔底部A,B之间的距离；

（2）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰.政府部门为了方便市民

观赏这两个彩色灯饰，决定在A，8之间的点P处（点尸在线段48上）搭建一个水上观景台，为了达到

最佳的观赏效果，要求NOPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？

【答案】（1）60m（2）在距离A处（30J历-60）米处搭建，才能达到最佳的观赏效果

【解析】

【分析】（1）由二倍角的正切公式与三角比的定义求解；

（2）由两角和的正切公式表达为关于AP的函数后求解最值.

【小问1详解】

由题知，ADJ.AB,BCLAB,BC=60,AD=30,

如图，作OELBC,垂足为E,则四边形A8ED为矩形，所以8E=CE=30.

所以一BDE学一CDE,所以/CDE=NBDE,

设ZCDE=ZBDE=8,则tanZBDC=tan16=-之出工=

l-tan203

解得tan，=2或tan6=-2（舍去），

2

30

所以A3=OE=-----=60,

tan0

所以两座高塔底部A,B之间的距离为60m.

【小问2详解】

设AP=《0WfW60),则3P=60—八

所以tanN£>PA=^,tanABPC=

t60—z

所以tanZ.DPC=tan(%-Z.DPA-/BPC)

=-tan(ZDPA+ZBPC)tan/DPA+tanZ.BPC

-~1-tanADPA-tanABPC

3()60

t+60-1=3()*60

>0.

3060产一6()r+18(X)

1----------

t60-/

设/+6()=〃?(60K，〃W120),则/=加一60,

所以tanNDPC=30----------------------------

(加-60)~-60(加-60)+1800

30/30V10+3

=9000-f9000=-2-，

m+--------1l8o0n2Jm^^-180

m\m

当且仅当〃?=史四即加=30面时，等号成立.

m

又因为在锐角范围内，tan/DPC越大，ZDPC越大，

所以当用=30厢时，ZDPC取得最大值，此时AP=30而-60・

所以在距离4处卜。函-60)米处搭建，才能达到最佳的观赏效果.

21.已知椭圆E：鼻+方=l(a>0>0)过A[1,当■),B两点•

(1)求椭圆E的方程；

/、/\\MP\\MQ\

已知过尸的直线/与交于例，两点，求证：扁

(2)0(4,0),(1,0)EN阿

尤2V2

【答案】⑴—+^-=1

42

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)将两点坐标代入，求出椭圆方程;

(2)依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP平分NMQN,可得结

论.

【小问1详解】

(

由题知，椭圆E过A1,，B瓜

13,

~~-----=1

a22b2、

所以《3j，解得。=4，h~=29

[Ta2+―2b27=1

所以椭圆E的方程为二+匕=1.

42

【小问2详解】

证明：当直线/的斜率为0时，直线/的方程为y=o,所以"(2,0),N(—2,0)或M(—2,0),N(2,0).

所以网一幽

所以\NP\~\NQ\-

当直线/的斜率不为o时，设直线/的方程为工=加'+1,N(X2，%)，

由<4+2，得(根2+2),2+2切—3=0,

x=my+1

2m3

所以y+%=

m2+2nr+2

A=(2m)2+12(w2+2)=16m2+24>0,

所以3，⑥0=上7,所以《“+《业:一^+一^:一^+一^

x,-4x2-4v"x一4x2-4myt-3my2-3

:0(〃?%-3)+%(加X-3)_2加))%-3(乂+%)

(my-3)(〃?％一3)-3〃?(必+%)+9

=0,

卜儿i卜力)

\MP\sin/MQP加尸|sinNNQP

所以QP平分NMQN,因为二

\\nZMPQ'阿-sinNNPQ'

幽一出闻.幽

阿||NQ「伺|NQ「

22.已知函数/(x)=|xe*-4一ar(lnx+1)(“eR).

(1)若a=—l,证明：/(%)>x(e'+2)；

(2