测量误差分析与误差处理

关于测量误差分析与误差处理第一单元介绍的是根据一组等精度观测值的真误差，求观测值的中误差问题。但是在实际测量工作中，有些未知量往往是由观测值，通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量时，高差h=a（后视读数）-b（前视读数），h是a、b的函数。又如坐标增量△x=S·cosα，△y=S·sinα，△x及△y是距离S和坐标方位角的函数。由于直接观测值有误差，故它的函数也必然会有误差。研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系又称误差传播定律。第2页,共18页，2024年2月25日，星期天（一）倍数函数的中误差设有函数Z=KX用△X与△Z分别表示X和Z的真误差，则Z+△Z=K（X+△X）即△Z=K△X

这就是函数真误差与观测值真误差的关系式第3页,共18页，2024年2月25日，星期天设对X进行了n次观测，则有△Z1=K△X1△Z2=K△X2……△ZN=K△XN得△2Z1=K2△2X1△2Z2=K2△2X2……△2ZN=K2△2XN[△2Z]=K2[△2X]按中误差定义，上式可表示为m2Z=K2m2X或mZ=KmX

可见，倍数函数的中误差等于倍数（常数）与观测值中误差的乘积。

第4页,共18页，2024年2月25日，星期天用比例尺在1：1000的图上量得长度L=168mm，并已知其中误差mi=±0.2mm，求相应地面上的水平距离S及中误差mS。

解：相应地面上的水平距离S=1000L=168m中误差mS=1000mi=±0.2m最后写成S=168±0.2m第5页,共18页，2024年2月25日，星期天（二）和、差函数的中误差

设有函数Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=X±YX、Y为独立观测值，所谓“独立”，是指观测值之间相互无影响，即任何一个观测值产生的误差，都不影响其他观测值误差的大小。一般来说，直接观测的值就是独立观测值。令函数Z及X、Y的真误差分别为△Z、△X、△Y。显然Z+△Z=（X±△X）±（Y+△Y）第6页,共18页，2024年2月25日，星期天和差函数的中误差△Z=△X±△Y

观测n次，则有△Z1=△X1±△Y1△Z2=△X2±△Y2……△Zn=△Xn±△Yn将上列各式两边平方并求和，得[△2Z]=[△2X]+[△2Y]±2[△X△Y]第7页,共18页，2024年2月25日，星期天第8页,共18页，2024年2月25日，星期天例题第9页,共18页，2024年2月25日，星期天例题第10页,共18页，2024年2月25日，星期天习题1：如图所示的测站点O，观测了α、β、γ三个角度，已知它们的中误差分别为±12、±24、±24秒，求由此而得圆周角不符值ε的中误差。如果用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为12秒，请问计算角的中误差是多少？第11页,共18页，2024年2月25日，星期天（三）线性函数中误差设有函数

Z=K1x1±K2x2±…±Knxn式中K1、K2、…、Kn为常数；x1、x2…、xn均为独立观测值，它们的中误差分别为m1、m2、…、mn函数Z与各观测值x1、x2、…、xn的真误差关系式为根据中误差的定义公式可得：第12页,共18页，2024年2月25日，星期天例题：例4：对某一直线作等精度观测。往测距离为L1，返测距离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误差。

解；最后结果L为

设L的中误差为mL，有

即第13页,共18页，2024年2月25日，星期天（四）一般函数的中误差设有一般函数Z=f（X1，X2，…，Xn）；式中，X1，X2，…，Xn为具有中误差，mX1，mX2，…，mXn的独立观测值。各观测值的真误差分别为△X1、△X2、…、△Xn，其函数Z也将产生真误差Δz.。

)取全微分,得则有式中，，…，为函数对各个变量所取得的偏导数则函数的中误差为：或者：，，…，

第14页,共18页，2024年2月25日，星期天例题设沿倾斜地面丈量A、B两点，得倾斜距离L=29.992m，测得A、B两点间高差h=2.05m，若测量L、h的中误差分别为±0.003m和±0.05m，求水平距离S及其中误差ms。解：水平距离为水平距离的中误差为式中则有：第15页,共18页，2024年2月25日，星期天（五）若干独立误差综合影响的中误差一个观测值的中误差，往往受许多独立误差的综合影响。例如，经纬仪观测一个方向时，就受目标偏心、仪器偏心（仪器未真正对中）、照准、读数等误差的综合影响。这些独立误差都属于偶然误差。可以认为各独立真误差△1、△2、…、△n的代数和就是综合影响的真误差△F，△F=△1+△2+…+△n

第16页,共18页，2024年2月25日，星期天例题：已知使用某一经纬仪观测一个方向的读数中误差为±10〞，照准中误差为±3