2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第27讲 数列的概念

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第27讲数列的概念(精讲)

题型目录一览

①数列的概念与通项公

式

②数列的性质

③。“与3的关系

、知识点梳理

一'数列的概念

1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在

数列中是第几项，一般记为数列{4}.

2.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，

这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列.

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别.

(3)数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N*和正整数集N*的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续

的曲线，而是一串孤立的点.

二'数列的分类

分类原则类型满足条件

有穷数列项数有限

按项数分类

无穷数列项数无限

a

递增数列4+1>n

按项与项间的大小

递减数列anl<an其中ndN+

关系分类+

常数列

a“+i=an

按其他标准分类有界数列存在正数M,使<M

摆动数列册的符号正负相间，如1，—1,1,—1,...

三'数列的通项公式

如果数列｛凡｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.即

an=f（n），不是每一个数列都有通项公式，也不是每一个数列都有一个个通项公式•

四'数列的递推公式

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项斯与它的前一项斯-1（或前几项）间的关系可

以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

五'a”与S”的关系

（）电（〃=1）

数列｛%｝的前〃项和S”和通项％的关系：则4=〈二。/〜

--------------------------------------------------------------------------------------------------\

二、题型分类精讲

题型一数列的概念与通项公式

畲策略方法数列的概念与通项公式

L根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规

律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可

用（-1）"或（-1）用来调整.

2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几

项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况,

分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中.哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变

化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

【典例1】将1,5,12,22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成

一个数列｛%｝,则该数列的第6项%=（）

【答案】C

【分析】根据图形找到五边形数的规律，即可得到通项，从而得解.

2

【详解】依题意五边形数的第一项为i=3x1y-1

2

第二项为5=干,第三项为123x32-3

2

则五边形数的第口项为a“=区展々〃eN*）.

所以4=3*6=51.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023.湖南长沙.长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的

形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，则第十层有（）

个球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.

【详解】由题意知：

4=1,

4=4+2=1+2,

。3=%+3=14-2+3,

=4-1+篦=1+2+3+.......+〃，

所以%)=1+2+3++10=55.

故选：c

2.(2023秋・山西大同•高三统考阶段练习)分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新

的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一

个树形图，记图2中第"行黑圈的个数为生,,白圈的个数为么，若。“=144,则4=()

・第1行

-第2行

0-o•<-第3行

A.34B.35C.88D.89

【答案】D

【分析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可

得递推式，然后由递推式可求得结果.

【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，

b

所以有4=24T+n-i，b,=an_x+b,i,

又因为4=0,4=1,

所以。2=1,瓦=I,%=3,4=2,a〈=8,bA=5,

a5=21,b5=13,%=55,%=34,%=144,Z?7=89,

故选：D.

3.(2023・河南・河南省内乡县高级中学校考模拟预测)“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名

叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲I,因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇

数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数旬，按照上述规则实施

第九次运算的结果为%(〃eN),若％=1，且4«=1,2,3,4)均不为1,则％=()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

【分析】根据“角谷猜想”的规则，由%=1倒推g的值.

3an+1,.为奇数

【详解】由题知%+i="j47%申耕，因为。5=1，则有：

方吗为偶数

若明为奇数，贝!|%=3%+1=1,得4=。，不合题意，所以应为偶数，则4=2%=2；

若心为奇数，则%=3%+1=2,得生=；，不合题意，所以的为偶数，%=2%=4；

若%为奇数，则%=34+1=4,得电=1,不合题意，所以出为偶数，且?=2%=8；

若4为奇数，则的=3%+1=8,得q=g,不合题意，所以可为偶数，且4=2/=16；

若旬为奇数，贝！］q=34+1=16,可得4=5；若劭为偶数，则％=2q=32.

综上所述：“0=5或32.

故选：B

4.（2023・全国•高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的

作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

89,L,即q=a2=l,%=4T+an-2（"N3,"eN*）,此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列也｝,则乙+4+仇++%23的值为（）.

A.2696B.2697C.2698D.2700

【答案】B

【分析】列举数列论,｝,得到数列的周期为6求解.

【详解】解：由题意得:数列圾｝为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,...

所以该数列的周期为6,

所以4+b2+F4O22+%23

=337（4+b?+4+…+d）+%23

=337x8+4

=2696+1=2697,

故选：B

5.（2023・安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列｛。“｝中，4=2,an+an+i=5,则数列｛%｝前11项的和

Su=（）

A.22B.27C.28D.55

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式求出数列的奇数项都等于2,偶数项都等于3,进而求解.

【详解】依题意4=2,an+an+l=5,

则。"+1+。"+2=5,两式相减得到=。"，又％=5—%=3,

所以数列的奇数项都等于2,偶数项都等于3,

所以k=5x（2+3）+2=27,

故选：B.

二、填空题

6.(2023•全国•高三专题练习)如图，第〃个图形由第〃+2边形“扩展”而来的.记第〃个图形的顶点数为风(1,2,3,■),

【分析】由题意写出生,«2>。3，%的值，即可得出4"=("+2)(〃+3),由此即可求出答案.

【详解】由图易知：6=12=3x4,々2=20=4x5,a3=30=5x6,a4=42=6x7,

从而易知=(〃+2)(〃+3)(“=1,2,3),

所以«2<X)5=2007x2008=4030056.

故答案为：4030056

7.(2023•云南昆明•统考模拟预测)Farey序列是指把在0至！j1之间的所有分母不超过eN*)的最简分数及。(视

为，)和i(视为:；)按从小到大的顺序排列起来所形成的数列,记作尸一小例如尸一4就是mm则

X-LXJJ1.

F—7的项数为.

【答案】19

【分析】根据Farey序列构成的数列｛尸-〃｝的性质，利用列举法，即可求解.

【详解】根据题意Farey序列构成的数列｛尸-〃｝,

二0111121231432534561

可得｛｝的各项为：T，7,6,5,4,7,3,5,7,2,7,5,3,7,4,5,6,7，r

共有19项，所以R-7的项数为19.

故答案为：19.

8.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)已知4=1,%=2,且%+2=%-为5为正整数)，则为⑵=.

【答案】1

【分析】利用已知关系式推导出｛4｝是以6为周期的数列，所以根据周期性即可求出结果.

【详解】因为4=1。=2,且。“+2，

所以=%-%=1,=/_=_1，

03=29。6~〃5—〃4=］，

a-j=ae-a5=1,as=ay-a6=2fL,

所以｛%｝是以6为周期的数列，

因为2023=6x337+1,

所以%023=%=1.

故答案为：1

9.（2023・全国•高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列

2222

称为“斐波那契数列”.那么%-+%+/-++%。/是斐波那契数列中的第项.

%015

【答案】2016

【分析】根据已知条件可以得到〃〃+2=%+1+〃〃，，则=%%，即af=%（〃3-6）=依次类推即可解得.

【详解】斐波那契数列总有%+2=〃向+。〃，则

=a2a1,即

6^2=（〃39

=Q3（〃4〃2）=Q2a3，

“2015="2015（“2016—^2014）=〃2015〃2016一〃2014〃20159

2.2.2..2_

%十%十”3十十”2015~^2015^20165

2222

・%+%+++-2015_

••一^2016,

“2015

2222

故aj+4+/++的。/是斐波那契数列中的第2016项.

〃2015

故答案为：2016

题型二数列的性质

⑨^策略方法

1.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

2.判断数列单调性的两种方法

⑴作差（或商）法.

⑵目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将

函数的单调性对应到数列中去.

3.求数列中最大（小）项的两种方法

（1）根据数列的单调性判断.

（2）在数列｛见｝中，若a.最大，则!,若a,最小，则产"""I

【典例1］若数列｛%｝中，4=3,a„+a„_i=4（«>2）,则电021的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】推导出对任意的〃eN*,an+2=an,可知数列｛〃“｝的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，即可求得的⑼

的值.

【详解】因为4=3,«„+«„„!=4（n>2）,可得。“+|+%=4,所以,%=%（"22）,

故对任意的“wN*,4+2=%，

所以，数列｛4｝的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，因此，/M=4=3.

故选：C.

【典例2］已知数列｛%｝的通项公式为a.=〃+2,〃eN*,且｛%｝为递增数列，则实数2的取值范围是（）

n

A.2>2B.A<2C.A>1D.2<1

【答案】B

【分析】根据数列｛4“｝为单调递增数列，可得到。向-%恒成立，即可求得答案.

【详解】•.•数列｛4｝的通项公式为a“=〃+4,数列｛巩｝是递增数列，

n

22_，2

/.a-a=n+\+--n=-—+1>0,〃wN*恒成立

n+xnn+1n几（〃+1）

即;〃EN*恒成立，而外+〃/£N*随n的增大而增大，

即当刀=1时,用+〃,〃wN*取得最小值2,则4<2,

所以实数2的取值范围是（-8,2）,

故选：B.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，已知q=2,%=3,当〃22时，〃用是。〃・%的个位数，则。2023=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】c

【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.

【详解】因为4=2,出=3,当"22时，4+1是4因1的个位数,

所以q=6，=8，=8，&=4，cij=2，67g—8,%=6，q。=8，=8，刍？=4，

可知数列｛4｝中，从第3项开始有%+6=a”，

即当“23时，。”的值以6为周期呈周期性变化,

又2023+6=337..」，

故%023=%=2.

故选：C.

2.（2023•内蒙古赤峰•校考模拟预测）若数列｛%｝满足%=2,-----------------------=1,贝|/。23=（）

anan+\anan+\

A.2B.—C.—3D.—

23

【答案】B

【分析】利用数列的周期性即可求得出。23的值.

【详解】因为工一111+«

——=1,所以%+i=1—〜又因为％=2,

an4+144+1「a.

.1,1

111H—

k-,1+21-31_2_1〃__3_

59

所以“2=■一~3，。4-1~3~-f-2,

i-Z1+31+-。1--

23

所以｛见｝是周期为4的数列，故的023="3

2

故选：B

1

3.（2023・四川宜宾・统考三模）已知数列的前〃项和为s〃，则使得s〃最小时的〃是（）

2n-U

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】分l<"V5（"eN*）与〃N6（〃eN*）讨论项的正负即可求解.

【详解】当lV〃V5（〃eN*）时，数列，五%，恒为负，

当〃26（weN*）时，数列］金石｝恒为正，

所以当〃=5时S”最小.

故选:B.

4.（2023・贵州铜仁•统考模拟预测）已知数列｛%｝的通项公式为前w项和为5“，则S”取最小值时〃的

值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由已知可推得当3W〃V8时，%<0.又名>0,即可得出答案.

【详解】解4=彳三2。可得，"W2或〃>?(〃eN*),即“W2或心9.

2n-172

所以，当时,an<0.

所以，当"=8时，S“取最小值.

故选：C.

5.(2023・北京•统考模拟预测)设｛4｝是等比数列，贝上。；>。任''是"｛%｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据数列单调性以及既不充分也不必要条件的定义可得答案.

【详解】当为<。时，由城>4%,得％<%,则｛%｝不为递增数列；

当｛%｝为递增数列时，4>%，若。2<°，则靖<%?，

所以“域>%%，，是，，｛a,,｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D

6.(2023・北京密云・统考三模)设数列｛叫的前w项和为S,,,则“对任意“cN*,%>。”是“数列设,｝为递增数列”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要

条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【详解】数列｛4｝中，对任意weN*,%>0,

贝!|S“=Si+a“>S,T，〃N2,

所以数列｛5„｝为递增数列，充分性成立；

当数列｛，｝为递增数列时,Sn>Sn_^n>2,

即+所以4>0,"22,

如数列-1,2,2,2,，不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意“eN*,«„>0”是“数列设,｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选:A

7.（2023•全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，％=7,%=24,对所有的正整数"都有%=%+%+2,贝应必=（）

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

【分析】由。用=%+6+2得氏+6=-%+3=%得到数列的周期，进而解决问题.

［详解］由4+1=%+4+2得％+2=%+1+4+3，

两式相加得4+3——，

an+6=~an+3=，

二｛q｝是以6为周期的数列，

而2024=337x6+2,

%024=%=24•

故选：B.

8.（2023・河南•校联考模拟预测）已知数列｛%｝的通项公式为4=2"-2023M〃eN*）,则当％最小时，"=（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】根据给定的通项公式，探讨数列｛%｝的单调性，求出。“最小时的n值作答.

【详解】数列｛%｝中，%=2"-2023”，贝!|。m-4=2"-2。23,而*<2023<2”，

于是当"410时，an+1-an<0,即。研小外,当“211时，an+l-an>0,gpan+i>an,

因此当时，数列｛%｝单调递减，当〃211时，数列｛qj单调递增，

所以当且仅当〃=11时，。“最小.

故选：C

9.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足q则下列结论成立的是（）

A.。2018<。2019<〃2020B.。2020<“2019<“2018

C.〃2019<“2018<“2020D.。2019<。2020<。2018

【答案】D

【分析】先求％，%，%的大小,又丫=（'"单调递减,可推出％，的，4的大小，再得到。2，。3，。4的大小，可得到％，生吗吗，

反复这个过程，可得到各项大小关系得出答案.

由指数函数y单调递减，得：«!<«3<«2.

又>[g）,即4>>。3，即a2>a4>a3>a｝,

再由4可得4<a5<a4<a2,gpax<a3<a5<aA<a29

反复。向=、『，则有4</<生<<“2019<“2020<“2018<<〃2・

故选：D.

10.（2023・全国•高三专题练习）数列｛4｝的通项公式是%=匕里，则该数列中的最大项和最小项依次为（）

〃一，98

A.。9，,10B.〃[0,〃9C.D.〃9,〃8

【答案】B

【分析】将数列｛凡｝的通项公式分离常数后，考虑项的正负结合函数的单调性即可判断.

…碗,"-屈〃-覆+项-质.X/98-A/97

【详解】因为4=—=—K—=1+不可'-N,

所以当"。10时。“>1,且随着〃增大，。“减小，故％。为最大项；

当“V9时见<1,且随着〃增大，"“减小，故的为最小项.

故选：B

11.（2023•北京通州•统考三模）数列｛凡｝中，4=2,a2=4,an_jan+l=an（n>2）,则%023=（）

A.-B.1C.2D.4

42

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得/，的，生，即可得到数列｛。“｝的周期，从而得到结果.

【详解】因为％=2,a2=4,an_xan+i=an（n>2）,令〃=2,贝！）。1%=出，求得%=2,

令〃=3,则出"4="3，求得%=/，令〃=4,则=“4，求得“5=7，

令〃=5,贝!）。4。6=%，求得&=g，令"=6,则a5a7=。6，求得%=2,

令〃=7,则a6a$=%，求得见=4,，

所以数列｛4｝的周期为6,则“2023=a\=2・

故选：C

12.(2023・全国•高三专题练习)已知等差数列｛4｝的公差为等，集合S=｛cosqj"eN*｝,若S=｛a,4，贝|而=()

A.-1B.——C.0D.二

22

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.

2兀2it2冗

【详解】依题意，等差数列｛%｝中，«„=fl1+(«-l)-y=y«+(«1-y),

2冗27r

显然函数。=8$[可〃+311)]的周期为3,而“eN*,即cosa“最多3个不同取值，又｛cos%|=N*｝=｛4,6｝,

贝!I在cosax,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

9jr27rjr

于是有cos0=cos(6+—),即有6+(6+—)=2fai,keZ,解得0=hi--,keZ9

,.,,.71,,71、4/C-71-2i7rl

所以左GZ,ab7=COS(K7l--)cosr[z(to-—)+—]=-cos(to--)cosKJI=-COSKTICOS—.

故选：B

13.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列｛4｝满足4=3,=1-',记数列｛%｝的前"

an

项和为S“，则()

兀=

c.anan+1an+2=-1D.20

【答案】c

【分析】根据首项和递推公式一

q=3,%=1，发现数列｛%｝是以3为周期的周期数列，然后逐项分析各选项;

12

【详解】；弓=3,a„i=l--,Aa=1--=1一§=§，故A错误；

+册2%

,111,1,1c

。3=1-----=1——=。4=1------=1------T=3=(

a2£2,%_

一3~2

・,・数列｛4｝是以3为周期的周期数列，・・・S3〃+「S=〃3〃+i=q=3,故B错误；

11%—11I1Q”%T―%=T

V4+1=1=,%+2=1=1

a„a„%a“T。〃-1〃,一]，

Cl—1—1

・・anan+ian+2~an1一1，故C正确；

ana〃T

S]9=(%+a2+43++%8)+%9=6(%+〃2+/)+&[9=6x(3+|-g]+3=22,故D错误.

故选：C.

14.(2023•江苏南京・南京市第一中学校考模拟预测)斐波那契数列｛凡｝可以用如下方法定义：an+2=an+l+an,且

%=%=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列出｝,则数列也｝的第100项为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由题意有4”2=。用+4,且％=%=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列出』，可得出」是

以6为周期的周期数列，然后求解即可.

【详解】由题意有%+2=4+1+4，且％=%=1，

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列电｝,

则4=1,瓦=1，4=2,b4=3,b5=l,b6=0,b7=l,bs=l,b9=2...,

则数列｛〃｝是以6为周期的周期数歹U，

贝!I2oo=46x6+4=d=3,

则数列g"的第100项为3,

故选：D.

1

15.（2023•全国•高三专题练习）在数列｛巩｝中，己知。“>0,弓=1,。什2尸，且为。〃96，贝U。2022+%=（）

、底

AB.D-1+

-1222

【答案】C

1Vs—11V5-1

【分析】根据可"+2-1，结合%00=。969得到嫉+。96-1=。'求得阳=,从而求得为8二

%+12佝6+12

1V5-1

〃ioo=,结合周期性，即可求解.

。98+12

11

1,可得、°°=雇工1=]+i，

【详解】由4+2

。〃+1

。96+1

1

因为%）0=%6，所以1।1"无，整理得晨+。96T=。，

一+1

V5-11A/5-11V5-1

由于4>。，解得%6=,从而为8二Z，Goo

2佝6+12〃98+12

A/5-I

可知%6=〃98=。100==〃2022=

2

11、后

因为％=]77=5，所以“2022+%=：-

故选：C.

16.（2023•全国•高三专题练习）己知数列｛4｝满足4=a>0,q,+i=-d+%（〃eN*）,若存在实数乙使｛4｝单调递

增，贝壮的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【分析】由｛%｝单调递增可得。例>%恒成立，贝V>%+l（〃eN*）,分析/>4+1和e的+1应用排除法确定正确

选项.

【详解】由｛%｝单调递增，得**由+%>4,

由q=〃>0,得%>0,

・••方>+1（MGN）.

〃=1时，得，〉a+1①，

〃=2时，^t>—a2+ta+lf即（a—l"<（Q+l）（a—l）②，

若，=1,②式不成立，不合题意；

若4>1,②式等价为/V1+1,与①式矛盾，不合题意.

综上，排除B,C,D.

故选：A

17.（2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）已知无穷实数列｛%｝的前〃项和为5,.若数列｛SJ既

有最大项，也有最小项，则在：①“4>。且数列｛寓|｝严格减”和②"4<。且数列｛寓|｝严格增”中，｛%｝可能满足的

条件是（）

A.不存在B.只有①

C.只有②D.①和②

【答案】B

【分析】若4>。且数列｛⑷｝严格减，则令｛«„｝满足a筋<0,>0,〃eN*,分〃为奇数和偶数可证得al+a2<Sn<ax,

所以数列电｝既有最大项，也有最小项，可判断①，同理若/<。且数列｛㈤｝严格增，则可利用反证法来判断②.

【详解】若％>。且数列｛㈤｝严格减，则令｛%｝满足均（0,%,T）0,〃eN*,

贝（J%+出〉0,%+。4>0，

a2+a3<0,a4+a5<0,,

当〃为偶数时，S“=（q+g）+（/+%）++（«,,-1+%）>%+%，

当〃=2时，⑸｝有最小值为S?=%+%,

当〃为奇数时，E,=%+（%+/）+（%+%）++（«„-i+a„）<«i

当〃=1时，6｝有最大值为风=色，

又因为4+为<4，所以％+%VS.V%，故数列｛5｝既有最大项，也有最小项，①正确；

若q<0且数列｛|。」｝严格增，因为数列｛5｝既有最大项，也有最小项，

设最大项为A,最小项为与，

故任意的〃eN*,有-max｛同，闻｝4s“Wmax｛闻,同｝,

设A=max｛s„J,|s.J｝,

因为｛⑷｝为严格递增数列且为无穷数列，故存在max｛%,4｝,使得|qJ>5A,

+a

若°M>。，则%=s%+4+1+。„0+2+M>5A+SM_1>5A-A=4A>SIIO,

这与最大项为为矛盾.

若。”<。，贝!）。”<-5A,

a

贝!I=S00+a%+i+a^+2++M<-5A+SM_t<-5A+A=-4A<S”,，

这与最小项为'矛盾.

综上，②不成立.

故选:B.

【点睛】思路点睛：数列中最值问题的讨论，往往和通项的符号相关，如果知道数列的前"项和有最值，则可判断

出数列通项的符号，再结合数列的无穷性质进行处理.

二、多选题

18.（2023•全国•高三专题练习）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，

那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列｛%｝是等积数列，且％=3,前7项的和为14,

则下列结论不正确的是（）

2

A.an+2=anB.a2=-C.公积为3D.anan+lan+2=12

【答案】CD

【分析】由题可知，对任意的“eN*,anan+l=c（c为常数），推导出exO,结合定义可得出。足=4，再结合已知

条件求出c的值，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题可知，对任意的〃eN*,anan+i=c（c为常数），

若c=0,贝!)％g=0，可得％=。，%的值未知，贝！|4+出+/++%的值不一定为14,故cwO,

aaCaa

则对任意的“eN*,产。，所以，nn+\—~n+in+2，故"〃+2—%，A对;

Q

因为4%=3%=c,贝！J出=§，

所以，％+的+/++%=4。］+3%=12+C=14,解得c=2,C错;

c2

B对;

6,〃为奇数

aaa2a“=44

nn+\n+2〃士〃为偶数D错.

13

故选：CD.

19.（2023・全国•高三专题练习）数列｛”“｝中，=0,a2=l,2an+2=an+l+an（neN*）.则下列结论中正确的是（）

31

A.｛q”「an｝是等比数列B.an=^

C.0<a„<lD.a8<a10<a9

【答案】AC

【分析】由已知递推关系式，可得2(a.+2-a,T)=-(4i-a”)，则可得到他用-为｝是等比数列，进而得到

再利用累加法得到%1-1,然后逐项判断.

【详解】因为数列｛4｝中，4=0,%=1,2%+2=。3+%(〃^),所以2&+「%+|)=-(%+「％),即产十

则｛4+「为｝是以%-%=1为首项，以-;为公比的等比数列，所以。用-4=1-gj，故A正确;

2n-1

所以%=§1-从而

勺=3兄41，故B不正确;

当"为奇数时，«„=11-[1]是递增数列，所以24=。,

当"为偶数时，«„=|1+Qj是递减数列，所以所以OVa“Vl,故C正确；

又如=1■l+'%°=gl+g]"kg1-G),所以。9<%0<。8，故D不正确.

故选：AC.

20.(2023秋•江苏常州•高三校考期末)斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题,它满足：耳=1,工+2=工+1+工,

人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果•某同学据此改编，研究如下问题：在数列｛%｝中，q=%=1,

an+l+a„,a“+/3k,

%+2=1°,(ZeZ),数列｛4｝的前〃项和为S“，则()

5a“+1,(+1=3后

A.a5=5B.47=%6+阳

、C•^an+5=an+1in0D.S2°22=8804

【答案】BC

【分析】根据数列的递推公式求出数列的前17项，得出数列为从第四项起为周期数列，且周期为5,再对各选项逐

项判定，即可求出结果.

a“+i+%，a"3k,

a

【详解】因为q=出=1，n+2=\1(%eZ)

-«,,+p%+i=3总

所以“3=。2+。1=2'〃4=。3+。2=3，%=3。4=1，

=。5+“4=4，47="6+”5=5，。8="7+”6=9,

="10+%=4,

%=%+阳=5,阳=牝+&=9,a=/=3,

—1,^16=^15+^14=4，^17=^16+^15=5,

所以数列从第四项起为周期数列，且周期为5,

所以"〃+5—"〃+10，故A错误，BC正确；

因为6t4+6t5++677+6Zg=3+1+4+5+9=22,

所以S2022=%+。2+/+403x22+%+a2+a3+a4=8877,故D错误.

故选:BC.

21.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足：4=0,an+l=ln^+l)-a„(neN*),前"项和为5“(参考数据:

为220.693,历321.099),则下列选项正确的是()

A.｛%.J是单调递增数列，｛/“｝是单调递减数列

B.。“+an+1„ln3

C.$2020<670

D.a2n-Va2n

【答案】ABD

【详解】

a

由an+l=ln｛e-+l)-a„,

可得4M=In©+1)-lnean,

滑+1,1

即有小-------=1+——

令么=j"，即为=她，

7I1

则2+1=1+丁，4=0,4=1,

bn

作出y=l+L和y=x的图像，

X

由图像可得，｛的”_｝是单调递增数列，｛的”｝是单调递减数列，故A正确;

因为勿£口，2],所以她+1=么（1+:）=2+1$[2,3],

“n

所以她+1=/d"£[2,3],贝!|%+4+1W[加2,M3],故3正确；

因为+"〃+1—历2,所以$2020=（4+生）+（。3+。4）+…+（“2019+。2020）

21010前2＞693,故C错误；

由不动点a。1，铝），可得1池,＜笄＜『