重庆市重点学校2023-2024学年高三年级上册十二月月考数学试卷（含答案）

重庆重点学校2023-2024第年度（上）高2024届12月月考

数学试题

（满分150分，120分钟完成）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须傥用0.5毫米的黑色签字笔书

写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.

3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|lWxW3},B={x|2<x<4},则AB=（）

A.{x|l<x<4}B.{X|1<X<4}

C.{x|2<x<3}D.{X|2WxW3}

2.已知复数z满足z（2+i）+i=2（i为虚数单位），则z的虚部为（）

3.已知向量a,〃满足同=2,网=1,（a+b>（a—2b）=l,则a在b上的投影向量为（）

A.-bB.bC.-3bD.3b

4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打

压，为突破西方的技术封锁和打压，找国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域

取得了骄人的成绩。我国某科技公司为突破“我片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的

研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的

研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元约年份是（）

参考数据：lgl.09»0.0374,lg2ao.3010,lg3-0.4771.

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

5.已知sin。-cos/?=g,cos6z+sin/?=；,则sin(1一P)=(

)

255959

A.—B.----C.—D.——

72727272

6.在数列{4}中，…，31，端要,则{/}的前2。项和邑。=（

A.621B.622C.1133D.1134

1

7.已知是直线/:氐—y+4=0上一点，过点P作圆。：必+,2=1的两条切线，切点分别为A,

B,当直线AB与/平行时，［A@=（）

715730

A3B.------C.------D.4

22

21

—a—尤----x<0

29

8.已知函数/（%）=<%，若方程=Q有4个不同实根芭，x2,x3,

|log3x|-2,x>0

x4<x2<x<x4），则的取值范围是（）

%元2%2%4

A.（2,V6）B.卜8,C.（0,2）D.^6,—2^

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若x,y〉0,x+y=2f则2%+2、的最大值为4

B.x,y>0,—+—=1,则尤+y的最小值是4

%》

3

C.当0vxvl,x（3-3x）取得最大值］

Y2+55

D.y=:十’的最小值为二

10.已知函数/（x）=sinxcosx+岑cos2x,则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）的最小正周期为冗

B.函数”力的图象关于点I，。］对称

C.函数/（%）的图象可由y=sin的图象上所有点横坐标缩短为原来的|,纵坐标不变得到

D.函数〃％）的图象可由y=sin2x的图象上所有点向左平移2个单位得到

11.如图所示，正方体ABC。—AgG。的棱长为2,CM=2CB1（O<2<1）,则（)

2

z>.C,

A.MA+MC1的最小樵为V6+72

B.存在一点M,使得A"与平面所成角为45°

C.存在一点"，使得A"与BQ所成的角为60°

D.当;1=；时，三棱锥M-AC。的外接球的表面积为n»

12.已知当%>0时，--<In|Id—|<—，则()

1+XIX)X

A.eH.11

B.1+—+-++->ln8

7237

「0「1「8

11

C.—+-++-<ln8D—^--1-------+------<e

238,8°8188

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100

分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否

相互之间没有影响，则这名周学得300分的概率为.

14.杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同

品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备

种不同的素菜.

15.函数y(x)=ln---为奇函数，且g(%)=e2e—+/(%)+«,若g(m)=2,则g(-"2)=

1+X

16.函数/(x)=(sinx+cosx)-sin2x的极小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.其中，17题10分，18,19,20,21,22各12分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin(A+8)=csin0.

(1)求A；

(2)已知c=3,b=\,边3C上有一点。满足，求AD.

3

18.在数列｛%｝中，4=1,2an+1-an=n+2.

⑴证明：数列｛a„+1-4—1｝为常数列.

（2）若a=含，求数列也｝的前〃项和却

19.长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞

赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组［40,50）,第2

组［50,60）,第3组［60,70）,第4组［70,80）,第5组［80,90）,第6组［90,100］,得到频率分布直方图（如

图），观察图中信息，回答下列问题：

，频率

A___

0.030组织...T—1

0.026.......T—।

0.020.......-I—i

o405060708090100成绩（分）

（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）；

（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在

第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

20.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面A5CD是边长为2的菱形，ZABC=6Q°,ARAB为正三角形，平

面平面A3CD,E为线段的中点，M是线段（不含端点）上的一个动点.

（1）记平面3cM交于点N,求证：MN，平面P3C；

（2）是否存在点使得二面角P-5C-"的正弦值为巫，若存在，确定点M的位置；若不存在，请

10

说明理由，

22

21.已知点为椭圆C：5r+｝=1（。〉6〉0）内一点，过点P的直线/与C交于A,8两点.当直线/经

过C的右焦点鸟（3,0）时，点P恰好为线段A3的中点.

4

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射会经过椭圆的另一个焦点.设从椭圆

C的左焦点及出发的一束光线经过点尸，被直线/反射，反射后的光线经过椭圆二次反射后恰好经过点及，

由此形成的三角形称之为“光线三角形”.求此时直线/的方程，并计算“光线三角形”的周长.

22.已知函数/（%）=2ex-x.

（1）求〃力的最值；

（2）若方程/（力=。片—ae2”有两个不同的解，求实数a的取值范围.

参考答案：

1.C【详解】集合A={x|lWxW3},B={x|2<x<4},则AB={x|2<%<3}.

/、2-i（2-i）24i2-4；3-4；34;

2.B【详解】由z（2+i）+i=2可得z=/（、:、=+「二土3=.丝,所以可得z的虚

''2+i（2+i）（2-i）4-i2555

4

部为—■

5

3.B【详解】解:因为同=2,W=l,仅+4仅-2可=1,

所以（a+匕）•（「一2匕）=「2—a•。-2匕2=4—a•。-2=1,解得。为=1,所以a在匕上的投影向量为

a-bb

0

4.D【详解】设2020年后第〃年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由

120x（1+9%）”〉200得（1.09）"2之，两边同取常用对数，得“〉「5_人3=1_t2_:3「5.93,所以

3lgl.09lgl.09

n>6,所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.

5.C【详解】由题意得（sincif-cos/?）2=sin2cr+cos2y5-2sinacos/3=,

（cos。+sin尸）2=cos2cir+sin2/?+2cosasin/?二；,

131359

两式相加得2-2（sinocos/-cosasin/）=—,即2—2sin（a—/）=—,解得sin（a-/）=—.

363672

6.C【详解】设勿=。2〃-19Cn=b2n，则4=1=2,。%1•由已知可得,。21+1-。2〃-1=1，即2+1-2=2,

所以也}为以2为首项，2为公差的等差数列，bn=2+2（n-l）=2n.a2n+2=2a2n,即所以{g}

为以1为首项，2为公比的等比数列，G=1X2〃T=2〃T.所以，{an}的前20项和

5

512()=(4+a++4o)+(q+，2++，io)=(2+4++20)+(1+2++2，)

=10X(2+2Q)+1X(1-2'Q)=II33

21-2

7.A【详解】连接Q4,OB,OP,由B4,PB切圆。于A,5知，OA±PA,OB±PB,OP±AB,

4

因为直线AB与/平行，则OPL/,\OP\=,------=2,而圆。半径为1,于是

J(后+(-1)2

|PA|=7lOP|2-I2=73,由四边形Q4M面积S=2SMPA，得;=2x；|。4Mp|,所以

11\OP\2

1Q2fl_)

8.D【详解】当尤＜0时，/(%)=~a-x2,则/''(X)=-2X+F=—^~~---

令/''(x)〉。，即1一/<。，解得大<—1,

所以在(—8,—1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，且/(—1)=—a—2；

当x>0时，/(x)=|log^|-2,则/(%)>—2；

若方程/(%)=。有4个不同实根，则—2<a<—a—2,解得—2<a<—1；

当x<0时，易知王，马是方程一"好—一7=a(x<0)的两个不同实根，

即方程■/+2改2+1=0(元<0)的两个不同实根，所以％；+月=_2〃，d君=1,

所以玉/=1，菁+/=-J+%；+2=-J-2a+2,

因为一2va<—1,所以一y/6<石+々<—2；

当%>0时,因为％3,44是|1。83%|-2=4的两个不同实根，所以|隆3%31二〔1。83工41

6

XX

易知0<%3<1<%4，所以一log3%3=1°§3%4，得34=1，

E、lX+X

所以--——2—二玉+%，所以

玉工2%3%4x1x2x3x4

9.BCD【详解】对于A中：由2工+2,22,2工-2'=2yf^=2庄=4,

当且仅当x=y=l时，等号成立，所以2、+2丫的最小值为4,所以A不正确;

对于B中：满足,+工=1,可得(11)

—+—(x+y)=l+—+—+1>4,所以B正确;

%yUy)'y》

对于C中：当0<x<l,可得x(3—3x)=3x(l—x)K31—丁二J=1,

当且仅当x=l—x时，即》=工，等号成立，所以C正确；

2

对于D中：由丁=，+$=J2+4+^X^22,当且仅当J>+4=」—取等号,

6+46+46+4

即/+4=1,显然该方程无实根，对勾函数最小值取+4=2,代入可得最小为：，所以D正确.

10.ACD【详解】因为/'(x)=sinxcosx+^^cos2x=；sin2x+《<os2x=sin(2x+q),

2乃

对于A选项，函数/(X)的最小正周期为5-=〃，A对；

对于B选项，bsing/O,所以，函数八”的图象不关于点仁,。］对称，B错；

对于C选项，函数/(%)的图象可由y=sin(x+g)的图象上所有点横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变得

到，C对；

对于D选项，因为〃x)=sin

所以，函数八力的图象可由y=sin2尤的图象上所有点向左平移?■个单位得到，D对.

11.ABD【详解】A：将下图中面AC耳绕C耳翻折至与面CBCi共一个平面，而C4=C4=A4=20,

eq=4G=2,

所以A,M,G共线时，MA+MG最小，此时〃为Cg中点，则M4+MC］最小值为应+太，对;

7

构建如下图示的空间直角坐标系,A（2,0,0）,5（2,2,0）,D1（0,0,2）,M（22,2,22）,

所以匹=（0,0,2）,丽=（2,2,0）,AM=（2（2-1）,2,22）,

HZ,DD—2z—0

若根=（x;y,z）为面一个法向量，则＜1,令％=1,则沅=（1,一1,0）,

m-DB=2x+2y=0

TT

若40与平面6与〃。所成角为况且。£0,-,

m•AM4—222-2

所以sin8=cos（m,AM

|m||AM|V2x27（2-l）2+l+2225-X+l

令1=2-2£[1,2],则丸=2一人故sin6二—/,

L」2〃-3f+3

7C7C

由上知：—e一,1,故sin6e—,1即

t22彳'5

所以，存在一点M,使得A4与平面3与2。所成角为45°,B对；

由上知：西=（—2,—2,2）,则而•西=T（X—1）—4+44=0,即C错;

由4=；,则/为C5]中点，且。0=应，根据A分析知：AM±CBl,AM=46,

又△（7耳。为等边三角形，则LVWLCB],即1=屈,

由AMDXM=M,AM,'Mu面AMD],则面AMD],

将M-AC。补全为如下直棱柱，则三棱锥M-AC，的外接球，即为棱柱的外接球，

8

5

AAMD,中，AD；=272，则cosZAMD.=6+6-8故sinZAMD.=

1112x63,3

故外接球半径平方“2=/+［空］=—,则其表面积

所以△AMR外接圆半径为r=

2sinNAM'2I2J4

为4TTR2=11乃，D对.

12.BCD【详解】因为<1口[1+!]<L，令％=7,—^―=-<ln|1+—j=ln—,

1+xIxx1+78I7j7

1o/1Ar+11931Q1

则e8<2,故A错误；因为In1+—=ln——<-,则In—<l,ln—<—,…,ln—<一,

7Lxjxx12277

以上各式相加有ln8<l+^+，+工，B正确；

27

因为----<In|1H—|=In——,则工<ln2,』<In。，,—<In—,以上各式相加有‘+』++—<ln8,

1+xxjx213287238

C正确；

X

由In|1H—|<—得xlnH+—<1即1111+1\<e因此

Ix)x(LHI

c°c1c8f1Y

看+=++==i+_L<e,所以D正确.

8°8'88I8J

13.0.228/——【详解】记“这名同学答对第，个问题”为事件4［=1,2,3),

250

则p(4)=0.8,尸(4)=0.7,「(4)=0.6这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题

目，二是答对第二和第三两个题目，这两种情况是互斥的，

所以尸=尸(444)+尸/(A)尸(五)尸(4)+尸(4)尸(4)尸(4)

=0.8x0.3x0.6+0.2x0.7x0.6=0.228.

14.7【详解】设还需准备22,"eN*)种不同的素菜，

由题意得C；C；〉200,解得n>1±^H或〃<

又因〃22,ZZGN",所以〃的最小值为7,

9

所以餐厅至少还需要准备7种不同的素菜.

15.0【详解】因为函数/■(;(:)=In巴士为奇函数,

1+X

所以/(r)+/(%)=ln交三+ln匕=ln1—•匕

=0,

1—X1+X(1—X1+X

所以史三.七三=1,即/一/=1—解得：。=1或。=—1(舍去)，故〃回二皿三,

l-x1+X')1+X

xxxx

e_e-e-_e

因为g(x)=---+f(x)+a,g(-x)=---+f(-x)+a,

则g(x)+g(-X)=e-e++/(%)+/(t)+2〃=2。

所以g(加)+g(-机)=2〃，又g(加)=2,所以g(-加)=2Q-2=0.

16.———【详角军】设/=5]11%+(：05元=拒51111%+£),贝U%£,

由t2=(sinx+cos%)2=1+sin2x,得sin2x=/一l.令且("=',2一])=/一％,,则

婷(，)=3"1,

当”一¥书时,/⑺<o；当d也.用U管同时，回)>。；

所以g⑺在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增,所以g”)的

极小值为=—#=-孚，即“X)的极小值为—乎，

17.(1)A=-(2)AD=^-

34

【详解】(1)V«sin(A+B)=csin'；°，由正弦定理，有sinAsin(A+3)=sinCsin'；°，即

一A

sinAsinC=sinCcos一,

2

AAAA

又sinCwO,即有sinA=cos-,2sin—cos—=cos—,

2222

AA八LLtI.A1A71...TC

'/一e0,1Lcos一wO,所以sin—=———，故人=一.

2222~263

10

A

C

D

B

(2)设N5ZM=tz,ZADC=7i-a,由(1)知A=工，在AABC中，由余弦定理〃=/+。2-2匕ccosA,

3

可知5。2=9+1-2x3xlxg,:.BC=y[j又屋ABD=3S"DC'可知5D=3DC=乎

/TOOpl

在AAB£>中，AB~=BD~+AD2-2BDADcosa,即9=—+A£>2—--ADcosa,①

162

在AACD中，1=1+4。2—且AD-cos(〃一a),即1=工+公。2+立AD-cose,②联立①②解得

162,7162

AD.

4

18.(1)证明见解析

⑵叵叱4

【详解】(1)令〃=1,得2%-4=1+2,则%=2.因为2〃九+i=〃+2①，所

〃994〃[-1

以2%—a,—=n+l(n>2)@.

①-②得2an+i-an~(2an-an_^=1,即2(a〃+i—%—1)=为-41T—1.因为g-6T=。,所以数列

{4用_%_1}为常数列・

(2)由(1)可得a.—4—1=0,所以｛q,｝是公差为1的等差数列，所以为=〃.

Lt、-n123IF123n

因为2=不二，所以<=不+不+#++/③，w(=不+不+不++不④.

日311111n

③一④传一T——X-H—rH—7H—r+'H-----;-------

44°4142434〃T4〃

43〃+4所叱.3zz+4

3-3-4H9.4〃T

19.(1)平均分约为66.8；第71百分位数为75；(2)

7

11

【详解】（1）%=45x0.1+55x0.26+65x0.2+75x0.3+85x0.08+95x0.06=66.8,

所以本次考试成绩的平均分约为66.8；

因为成绩在［40,70）的频率为（0.01+0.026+0.02）x10=0.56,成绩在［40,80）的频率为

0.56+0.03x10=0.86,

所以第71百分位数位于［70,80）,设其为x,则0.56+（x—70）x0.03=0.71,解得x=75,所以第71百分

位数为75；

（2）第5组的人数为：50x0.008x10=4人，可记为A,B,C,D-

第6组的人数为：50x0.006x10=3人，可记为a,b,c；

则从中任取2人，有（AB）,（AC）,（AD）,（A。），（A。），（Ac），（B,C）,（B,D）,

（B,a）,,（B,c）,（C,D）,（C,a）,（C,/?）,（C,c）,{D,a）,（D,b）,（D,c）,

（a,b）,（a,c）,（b,c）,共21种情况，

其中至少有1人成绩优秀的情况有（Aa），（A,b）,（Ac），（B,a）,（B,b）,

（C,a）,（C,b）,（C,c）,（D,a），（D,b）＞（D,c）,（a,c）,（A,c）,共15种情况.

所以至少有1人成绩优秀的概率P=15=-.

217

20.（1）证明见解析

（2）存在，点M为线段尸。上靠近点P的三等分点，理由见解析

【详解】（1）证明：因为四边形A3CD为菱形，则AD,

因为平面？AD,ADu平面K4D,所以，BC，平面PAD,

因为3Cu平面5cM,平面BCM'平面a4Z）=A/N,则A/NBC,

因为ANCu平面P3C,5Cu平面P3C,因此，MN平面P5c.

（2）解：连接？E、CE、AC,

因为△R43为等边三角形，E为的中点，则？E_LA5,

因为平面平面ABCD,平面PAB’平面ABCD=AB,PEu平面

所以，尸石，平面A3CD,

因为四边形A3CD是边长为2的菱形，则A3=3C=2,

又因为NABC=60°,则"BC为等边三角形，则CELA5,

以点E为坐标原点，EB、EC、母所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

12

则5(1,0,0)、C(0,石,0卜£>(-2,73,0)>尸(0,0,⑹,

设==其中0<2<1,

设平面me的法向量为加=(/%,zJ,BC=(-I,AO),BP=(-1,0,^),

m-BC=-x+v3y,=0r~/l\

则(勺厂，取％=g，可得加二百」,1,

m-BP-一玉+yJ3zl=0

设平面5cM的法向量为〃=(%2，%，22)，

=BP+PM=卜1,0,G)+卜24,6九=(-22-1,A/32,后—四)，

n-BC=-x?+g必=0

则,LL，

n-BM=-(2A+l)x2+yl3y2+43(l-A)z2=0

取*2=6—Gx，则%=1—%，22=2+1,所以，〃=(君—耳,1—42+1),

m-n15-3213^/10

cos(m,n

10

整理可得27^2+6/1—5=0,即(34—1)(94+5)=。，因为0<4<1,解得％=；,

故当点M为线段P。上靠近点P的三等分点时，二面角P-3C-"的正弦值为画.

10

22

21.(1)—+^=1

189

(2)当直线/为y=9+,(x_(+］时,周长为6亚+J万—百；当直线/为y=2昔5(x—1)+1时,

周长为60+J17+«

【详解】(1)解：设点A,8的坐标为(wx),(%,%)•将其代入椭圆方程可得W+乌=1，4+当=1；

aI)at)

13

两式相减可得受m+%二％=o,

ab

整理可得-4+（，一"—十中）=0.其中“一%为直线的斜率，

a（占一工2）。+%2）〃X\~X2

可利用点P（l,l）及点月（3,0）计算可得七三=

X>2

其中息±三=3比=1,代入上式可得士——L=o,即可得/=2〃，

西+%2Xpa2b

根据椭圆三个参数间的关系：C2=a2-b2=b2=9,可得/=18.

22

综上可得椭圆C的方程为—+^=1.

189

（2）解:设直线/的方程为y=依-左+1,设点及关于直线/的对称点为耳'，从椭圆C的左焦点可发射一

束光线经过直线I进行反射后的反射光线必经过点.设过点耳（-3,0）且与直线I垂直的直线为/'：

x=-ky-3.直线/与直线/'的交点为T,，从而可得点发的坐标为

k2+lk2+lj

'5E-2k-32-81、

、F+i-'-+i）

为了保证经过椭圆反射后再回到点K，根据椭圆的光学性质可知上述反射光线会经过椭圆的右焦点区（3,0）,

综上可知点P（L1），耳（3,0）,6'三点共线.

9±7§5

即可知女?玛=号在2即有左2—9Z—1=0,经计算可得.符合条件的直线方程为