山东省日照市2022-2023学年高二年级上册期末校际联合考试数学 含解析

2021级高二上学期期末校际联合考试

数学试题

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（2厂1）,则1z+N=（）

A.2B.V5C.272D.V13

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数z在复平面内对应的点的坐标，得出复数的表达式，进而求出M+2的表达式，即可得

到|近+2|的值.

【详解】解：由题意，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2,-1）,

z=2-i，

・・.iz+2=i（2-i）+2=3+2i,

二|iz+2|=V32+22=V13.

故选：D.

2.已知直线x+ay—1=0和直线方+4y+2=0互相平行，则〃的值是（）

A.OB.2C.-2D.±2

【答案】B

【解析】

【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.

【详解】由题意可知。

因为直线工+政-1=0和直线ac+4y+2=0互相平行，

1a—1

所以一=—W—，解得a=2,

a42

故选：B

3.已知随机变量XN。,"），且尸（X〉-2）=0.8,则尸（-2<X<4）=（）

A.0.6B.0.4C.0.2D.0.9

【答案】A

【解析】

【分析】先根据尸（X>—2）=0.8,求P（XW—2）,再根据正态密度曲线的对称性求尸（-2<X<4）的

值.

【详解】因为尸（X>-2）=0.8,所以尸（XW-2）=1—P（X>—2）=02,

所以尸（—2<X<4）=1—2P（XK_2）=0.6,

故选:A.

4,若直线/过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且|A8|=16,则线段A3的中点尸到

V轴的距离为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线的定义可得IAB|=%+X2+4,再由中点坐标公式即可得解.

【详解】由题意，抛物线的准线为了=-2,

设4（%,%）,3（工2，%），所以|48|=芯+々+4=16,即玉+々=12,

所以点P的横坐标为五普=6,所以点P到y轴的距离为6.

故选：A.

22

5.已知椭圆0+与=1（。>。〉0）的左右焦点为1，B，以|耳马|为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭

ab~

圆离心率的范围为（

（正甫

A.—~,1

I2）

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得c>/?,据此可求出椭圆的离心率.

【详解】因为以|耳尾|为直径的圆与椭圆有四个交点，所以〃<c,

即。2<。2，cr-c2<c2>a2<2c2，所以/>二,即e〉变，

22

又因为0<e<l,所以椭圆离心率的取值范围为

故选：A.

6.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路A%或AA?运送到形状为四边形区域

AaA3At的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬

菜较近，而另一侧的点沿道路A4运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）

A\b---------------------------------7^2

A

A.圆B.椭圆C.双曲线D.直线

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的定义判断.

【详解】设M是界限上的一点，贝!+14^=1^1+14421，

所以411TM4j=|A421TA4,|,即—=||A421TA4tli（定值），

在中，||A421TMi

所以点M的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.

故选：C.

2023

二项式（3-/）的展开式通项为Tr+]=Q023-323"（T）r,

则a,=Q023•32°23f-（-ly（0<r<2023且reN）.

当「为奇数时，可<0,当『为偶数时，可>0,因此，

1aol+M+EI++|。2021|=4一4+。2一，一〃2023=（3+1）-℃=2*"6•

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的是（）

A.已知向量；〃力，则存在向量与〃，构成空间向量的一组基底

B.两个不同平面a,7?的法向量分别是“，v，〃=（1,2,—2）,v=（2,l,2）,则

C.已知三棱锥O—A3C,点P为平面ABC上一点，OP=；OA+mOB-〃OC（，〃,〃eR）,则

1

m-n=—

2

D.已知A（0,l,0）,3（1,2,0）,则与A8方向相同的单位向量是（1,1,0）

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量的性质判断各选项即可.

【详解】对于A,温b，所以其它向量与a，匕一定共面，所以不能构成基底，故A选项错误；

对于B,因为“3=2+2-4=0,所以故B选项正确；

对于C,因为点P为平面A8C上的一点，所以'+加一〃=1,所以故c选项正确；

22

对于D,设c=（l,l,0）,则口=夜，所以该向量不是单位向量，故D选项错误.

故选：BC.

10.设复数4=G+i,Z2eR）,Z1,Z2对应的向量分别为OZpOZ?,（。为坐标原点），则

（）

A.卜|=2

B.若OZ；〃OZ2，则百x+y=0

C.若0Z|J_0Z2，则Z|Z2=0

D.若匕—Z2|=G，则㈤的最大值为2+6

【答案】AD

【解析】

【分析】根据复数模的计算求得|zj=2,判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐

标表示可得y=-Gx,化简ZE2,根据其结果判断C;确定|Z|—Z2|=G的几何意义是表示圆

(x—G)2+(y—1)2=3,利用|z21的几何意义求得其最大值，判断D.

【详解】因为4=百+「所以万&7=2,A正确；

由题意可知，若OZ|=(6,l),QZ2=(x,y),若OZ1〃OZ2，则6丁一工=0,.・.*一6丁=0,B错误；

若OZi^QZ2,则氐+y=0,即、=—百方，

故平2=(G+i)(x+yi)=(6x-y)+(x+6y)i=26x—2jd，

即仅当x=0时，Z|Z2=0,xwO时，z,z2^0,C错误；

22

|zI—z2|=V3,故I(x+yi)-(百+i)|=G,HP(x-V3)+(y-l)=3)

则㈤表示圆(x—6)2+。-1)2=3上的点到原点的距离，

故上|最大值为亚豆丁+6=2+6，D正确，

故选：AD.

11.如图A(2,0),8(1,1),C(-l,l),0(—2,0),CO是以为直径的圆上一段圆弧，CB是以BC为

直径的圆上一段圆弧，BA是以。4为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W,则下述正确的是().

A,曲线W与x轴围成的面积等于2"

B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)

c.CB所在圆的方程为：Y+(yT)2=i

D.CB与84的公切线方程为：x+y=y[2+\

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误：根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确

圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误.

【详解】由题意，连接BC，过点C作CK_Lx轴于K，轴于L，如图所示：

C选项：CB所在圆圆心为(°』)，半径为1，故圆的方程为：x2+(y-l)2=1,故C正确，

\k+b\\l-b\

D选项：设与84的公切线方程为：y=^+b,根据图像知攵<0,则।=1,■'''=1,

yjl+k2Jl+公

解得左=—1,b=V2+1>即*+^=拒+1,故D正确.

故选：BCD.

12.已知平面上的线段/及点P，任取/上一点。，称线段P。长度的最小值为点P到线段/的距离，记作

d(P,l).已知线段/x=-l(-2<y<2),/2：x=l(-2<y<0),点p为平面上一点，且满足

d(P，G=d(P,»若点尸的轨迹为曲线C,A5是第一象限内曲线C上两点，点/(1,0)且|4刊=(,

忸口则()

A.曲线。关于x轴对称B.点A的坐标为(；/)

19

C.直线A3的方程为12x-10y+7=0D.二£4g的面积为；7

16

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题中定义，结合抛物线的定义、直线斜率公式逐一判断即可.

【详解】/，:x=-1(-24y42)为线段S0,3x=1(—2Wy<0)为线段网,

又d(P，4)=d(P，4),

设P(x,y),

①当-2<y<0时，由题意可得，点p的轨迹x=0(-2WyW0)；

②当y<-2时，d(PJ)=PQ,△(只4)=蹬，点P的轨迹x=0(y<-2)；

③当0<y«2时，”(P,4)为点P到户一1的距离，d(p，k)=PF,

此时点尸的轨迹是一条抛物线，准线方程为广-1,

所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x(0WyW2)；

④当y>2时，d(P1J=PS,d(P,%)=PF,此时点P在Sf的中垂线上，

2

而S(—l,2),/(1,0),中点坐标(0,1),所以——-=-1,

-1-1

所以点p在y=x+i(y>2)上，故选项A错误；

s1

故选项正确;

设T(l,2),又4尸=：<|口|,所以4+1=*,解得XA=Z，故点A的坐标为：4)，B

+1,即12x-10y+7=0.

24

故选项C正确；则直线AB与x=1的交点坐标为,

11Q(1\1IQ/Q、1Q

所以s-=SAfCA+5AfCB=-x-x1--+-X-X：一1卜故选项D正确.

ZIU\4)21UV2)10

故选：BCD

【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合解方程组法是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.(X一一y的二项展开式中f项的系数为.

X

【答案】60

【解析】

【分析】先写出二项展开式的通项，加=。。6-(-2)”-「=。；(-2),产2，，令6-2r=2,进而可求出结

果.

6rrrr62r

【详解】因为(X--)的二项展开式的通项为：Tr+i=C；/-(-2)x-=C；(-2)x-,

X

令6—2厂=2,则厂=2,

所以X2项的系数为C；(-2)2=6().

故答案为60

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

14.已知6=(2,1,3),b=(-4,2,x),且a/./?,则,一可=.

【答案】V38

【解析】

【分析】利用数量积公式求x,再利用数量积的坐标表示求模.

【详解】因为“18,所以—8+2+3x=0,解得x=2

所以卜-W=，36+l+l=底.

故答案为：^38

15.甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙

两人分别站在洞内如图所示的人B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在8处听得很清

晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦

22

点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：。：上-+二=1上一点用，过点/作切线/,A,B

10036

两点为左右焦点，cosZAM*三，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心。到切线/

的距离为.

【答案】标

2

【解析】

【分析】过M作M处切线的垂线交A8于N,过A,O,8分别作切线的垂线交切线于点％,O,,B,,

由光学性质和几何位置关系得到幺AM=乙AMN=NBMN=NB&M,求出sinZAMA,=乎，利

用中位线的性质、椭圆的定义求出10Gl.

【详解】如图，过〃作M处切线的垂线交A8于N,过A,O,B分别作切线的垂线交切线于点4,

,由光学性质可知MN平分NAMB,NB^MB=N^MA,

则NAAM=ZAMN=NBMN=NBQM,

因为cos/AM3=——，

4

\_

故cos(1-NAWB)=cos2NAMA]=l-2sin2ZAM\

4

作HM±BB、交SB】于M,连接PM，贝U_LPM

作PN1cq交C£于N,则PN即为点P到平面CDDG距离.

设P(x,4,z),则尸(L4,3),M(4,4,3),N(0,4,z)(0WxW4,0WzW4)

•.•点P到平面CDDG距离等于线段PF的长

PN=PF

由两点间距离公式可得X=,y(x-l)2+(z-3)2，化简得2x—1=(z—3)2,则2X-120解不等式可得

1

x>-

2

综上可得

2

则在RtMMP中HP2=HM?+MP2=42+(x-4)2+(z-3)2=42+(x-4)2+2x-l=(x-3)2+22

如一)

「113'

所以922,—

_4_

'113'

故答案为：22,—

_4_

【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难

题.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知圆C上有两个点4(2,3),8(4,9),且AB为直径.

(1)求圆C的方程；

(2)已知P(0,5),求过点尸且与圆C相切的直线方程.

【答案】(1)(X—3)2+0—6)2=10

(2)y=-3x+5

【解析】

【分析】(1)由中点坐标公式求出圆心C坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；

（2）先判断点P在圆C上，再求得直线PC的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.

【小问1详解】

因为圆C的直径为48,故其圆心为C（3,6）,

其半径为J；J（4-2）2+（9-3丫=710,

故圆C的方程为：（x—3）2+（y—6）2=10.

【小问2详解】

因为（0—3y+（5—6）2=10,故P在圆C上，连接PC,

而直线PC的斜率：Zpc=*=L,故圆C在P处的切线的斜率为左=一3,

0-33

故所求切线的方程为：y=—3x+5.

18.若位于y轴右侧的动点M到尸］；,0）的距离比它到y轴距离大；.

（1）求动点M的轨迹方程D

（2）过轨迹。上一点A（4,2）作倾斜角互补的两条直线A6,AC,交轨迹。于两点，求证：直线

8c的斜率是定值.

【答案】（1）y2=x（x>。）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设出M（x,y）,x>0,利用题目条件列出方程，化简后得到轨迹方程；

（2）设出3（石,,）,。（%,%），得到必2=罚，乂2=x2,相减后得到"B=」—，再根据直线AB,AC

的倾斜角互补，两直线斜率之和为0,求出X+%=-4,从而得到直线6c的斜率是定值-1

4

【小问1详解】

设M(x,y),x>0,则即|=+r,

故-x=L化简得：/=x(x>0),

故动点M的轨迹方程。为V=>0卜

【小问2详解】

设5(%,%),。(％2，%),王。0,赴HO,玉HX2，X+y2H°，

则y「=%，%=x2,

,,y.-v,,1

两式相减得：y；-%=西一%，，即4^=砥8=--------

x+必

因为直线AB,AC的倾斜角互补，且玉n4,乙。4,

所以3-2产-2_3-2।—1।1_X+X+4_0

x-22

玉一424J,-4y2-4X+2>2+2(>i+2)(%+2)

故M+必=-4,

,1

所以原B=——“

M+%4

故直线BC的斜率是定值.

19.某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》，经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的

学习后学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了200名高一学生进行调查，得到统计数据如下：

对数学兴趣浓厚对数学兴趣薄弱合计

选学了《中国数学史》10020120

未选学《中国数学史》Xyn

合计160m200

(1)求2x2列联表中的数据x,y,m,〃的值，并确定能否有85%的把握认为对数学兴趣浓厚与选学

《中国数学史》课程有关；

(2)在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取12人,

再从12人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人对数学兴趣薄弱

减1分，每有一人对数学兴趣浓厚加2分.设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望.

附：K2=--------"(ad-he)-------,〃=。+h+。+

(a+b){a+c)(c+d)(b+d)

P(K2>k)0.1500.1000.0500.0250.010

k（）2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】（l）x=60,y=20,〃?=40,〃=80,有85%的把握认为对数学兴趣浓厚与选学数学史课程

有关

29

（2）分布列见解析；期望为一

2

【解析】

【分析】（1）根据列联表，直接填写表格，再根据参考公式求K?，即可判断；

（2）首先确定X=10,13,16,再利用超几何分布求概率.

【小问1详解】

由题意得：x=6O,y=20,m=40,〃=80.

则K?_200X(100X20-20X60)225

=—«2.083>2.072;

'160x40x120x8012

所以，有85%的把握认为对数学兴趣浓厚与选学数学史课程有关

【小问2详解】

在选学了数学史的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取12人，可知其中对数

学兴趣浓厚有10人，对数学兴趣薄弱有2人，再从12人中抽取3人，当这3人中恰有2人对数学兴趣薄

弱时，X=10；当这3人中恰有1人对数学兴趣薄弱时，X=13;当这3人都对数学兴趣浓厚时，X=16；

故：P（X=10）=昏g,P（X=13）=昏4P（X=16）=等4

乙乙^12乙乙,211

所以X的分布列为:

X101316

m-BP=-2x+z=0

则《,取x=l,可得加=(1,2,2),

m-BD=-2x+y=0

AB-m2

AB=（2,0,0）,所以，点A到平面P8D的距离为，?1=£.

\>n\3

【小问2详解】

解：设点。(0/0),其中0W/W2,5P=(-2,0,1),80=(—210),

々•BP=-2玉+Z]=0

设平面PBD的法向量为勺=（%,y,zj，则

马•BD=-2^+ty]=0

in

取％=/,可得“=（/,2,2。，易知平面尸AO的一个法向量为“=（1,0,0），

I..I勺司t1

由已知可得cos<>=]■—||-r=]:=—,解得，=1,

一|叶闷折+43

An1

此时点。为AC的中点，故"=上.

AC2

21.某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比

赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3

个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完

后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.

（1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

（2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第

三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率.

3

【答案】（D-

7

7

（2）—

12

【解析】

【分析】（1）设4表示“第i次从乙箱中取到填空题"，i=l,2,再根据条件概率和全概率公式求解即可；

（2）设事件A为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件印为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择

题”，事件为为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件层为“第二支部从甲箱中取出2个

题都是填空题“，再根据用、82、层彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解.

【小问1详解】

设A表示“第i次从乙箱中取到填空题”，i=1,2,

P(A)=],P(4IA)=d=§,P(4IA)=H,

由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：

「(4)=尸(4)*2(414)+尸伍卜尸(&同=》|+%|4

【小问2详解】

设事件A为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，

事件片为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件当为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件名为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则四、鸟、鸟彼此互斥，且耳BJB3=Q,

A252A23

/523

员

4-用-

(15一

一

=---=-=一

-一

\A2A2

81428828

654

PA员=

9-9-9-

P（A）=JP（B1）xJP（A|B1）+P（B2）xP（A|B2）+P（B3）xJP（A|B3）

56155347

=—x—d---x—H----X—=一

22

22.椭圆C：0+方=1(。＞。＞0)的左右焦点分别为£,鸟，左右顶点为A,6,。为椭圆C的上顶点,

。耳的延长线与椭圆相交于G,以访的周长为8,|。制=3|64|,p为椭圆C上一点.圆0以原点。

为圆心且过椭圆上顶点。.

D

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点P的直线与圆。切于。，(。位于第一象限)，求使得^OPQ面积最大时的直线尸。的方

程;

(3)若直线AR6P与y轴的交点分别为瓦尸，以Eb