2024年中考数学总复习第一章《数与式》第四节：二次根式（附答案解析）

2024年中考数学总复习第一章《数与式》第四节：二次根式

★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点

1.了解二次根式、最简二次根式的概念；

2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四

则运算；

3.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向

二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将

继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查

形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握.

★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养

二次根式的定二次根式的定义：一般地，我们把形如«(a20)的式子叫做二次根式.

义①“厂”称为二次根号

②a(a20)是一个非负数；

2KT-77•*'JKt

二次根式有意判断二次根式有意义的条件：

义的条件(1)二次根式的概念.形如4(a>0)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

(3)二次根式具有非负性.«(a20)是一个非负数.

二次根式的基1./7>0；a20(双重非负性).

本性质2.(<7)z=a(a>0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的

形式).

a(a>0)

3.H=EI=，0(a=0)(算术平方根的意义)

-a(0)

二次根式的化1.二次根式的化简：

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简（1）利用二次根式的基本性质进行化简；

（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=Va*Vb（a20,b20）（a^O,b>0）

VbVb

2.化简二次根式的步骤：

（1）把被开方数分解因式；

（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或

因式）都开出来；

（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都

小于根指数2.

最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含

能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

2.最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整

式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a20）、

x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、£、（x+y）

）x?+2xy+y2等.

二次根式的乘1.积的算术平方根性质：Va*b=Va*Vb（a20,b》0）

除法2.二次根式的乘法法则：（a20,b20）

3.商的算术平方根的性质：。=强（a2°，b>0）

4.二次根式的除法法则：亲=正（a>0,b>0）

规律方法总结：

在使用性质4•五司（aM,b20）时一定要注意ae0,b20的

条件限制，如果a<0,b<0,使用该性质会使二次根式无意义，如（口）

X（7^9）W-4X-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平

方根和二次根式的除法运算也是如此.

分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方

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差公式.

例如：①J_=4=五；②一1_=_____G瓜_____=

五八SaG皿（五侦）（五飞）

a-b

2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个

代数式成互为有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如：&-的有理化因式可以是加+遥，也可以是a（&+依），

这里的a可以是任意有理数.

同类二次根式1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，

如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

2.同类二次根式的理解：同类二次根式类似于整式中的同类项.几个同类

二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.判断两个二次根

式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开

方数是否相同.

2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开

方数和根指数不变.

二次根式的加1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被

减法开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

2步.骤：

（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

（3）合并被开方数相同的二次根式.

3合.并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

二次根式的化二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.

简求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运

算要与加减运算区分，避免互相干扰.

二次根式的应把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受

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用所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概

念、性质和运算的方法.

★方法导引★--------------总结思想方法，提升解题效率

1.二次根式有无意义的条件

①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方

数都必须是非负数.

②如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

2.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式

的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减,有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

③二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解

题途径，往往能事半功倍.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01二次根式的有关概念及其性质

1.（2022•贵阳）代数式正互在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>3B.x>3C.xW3D.x<3

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】直接利用二次根式的定义得出x-320,进而求出答案.

【解答】解：•••代数式正互在实数范围内有意义，

.'.X-320,

解得:x23,

.**x的取值范围是：x23.

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故选：A.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x-3的取值范围是解题关键.

2.（2022•雅安）使正工有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）

【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案.

【解答】解：立有意义，

；.x-220,

.,.x22,

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根

式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键.

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）

A.a>lB.aNlC.a<lD.aWl

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围.

【解答】解：由题意得：a-120,

Aa^l,

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握

二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.

2.（2022•广州）代数式’二有意义时，x应满足的条件为（)

A.xW-1B.x>-1C.x<-1D.xW-1

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.

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【专题】二次根式；符号意识.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

【解答】解:代数式有意义时,x+l>0,

解得：x>-1.

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关

定义是解题关键.

3.（2022•绥化）若式子Gri+x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>-1B.x2-1C.x》-1且xWOD.xW-1且xWO

【考点】二次根式有意义的条件；负整数指数基.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a”=」一（aWO）即可得出答案.

ap

【解答】解：,；x+l20,x#0,

；.x2-1且xHO,

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,负整数指数累，掌握二次根式的被开方数

是非负数，a“=」一（aWO）是解题的关键.

4.（2022•阳信县模拟）代数式3有意义，则X的取值范围在数轴上表示正确的是（)

V1-x

【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】二次根式；几何直观；运算能力.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出X的取值范围，进而

得出答案.

【解答】解：根据题意知，l-x>0,解得X<1,

x的取值范围在数轴上表示为：

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故选：I）.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件等知识点，正确得

出X的取值范围是解题关键.

★真题呈现★-------------直面中考考题，总结考法学法

考点02二次根式的运算

1.（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）

A.V2-H/3=V5B.4V3-3V3=1c.V124-2=V6I）.V2xV3=V6

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可.

【解答】解：A、&与我不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；

B、4«-3«=«，故B不符合题意；

C、V124-2=73,故C不符合题意；

D、V2xV3=V6，故D符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

2.（2022•虹口区二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.旧B.V074C.5/6D.V8

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；推理能力.

【分析】根据最简二次根式的条件，逐项判断即可.

【解答］解:；旧=冬

•••选项A不符合题意；

叵，

5

，选项B不符合题意；

・・・y另是最简二次根式，

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...选项c符合题意；

V78=272.

.•.选项D不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了最简二次根式的特征和判断，解答此题的关键是要明确最简二

次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不

含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

3.（2022•黄浦区二模）下列根式中，与&是同类二次根式的是（）

A.V3B.V6C.V8D.V12

【考点】同类二次根式.

【专题】二次根式；数感；运算能力.

【分析】将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可.

【解答】解：窝与&不是同类二次根式，所以选项A不符合题意：

加与&不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；

弧=2&,与&是同类二次根式，所以选项C符合题意；

/=2«,与企不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次

根式化成最简二次根式是正确判断的关键.

4.（2022•桂林）化简的结果是（）

A.2愿B.3C.2&D.2

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】实数；运算能力.

【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2,易知化简结果为

2M.

［解答］解：712=V4X3=722X>

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进

行化简.

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5.（2022•青岛）计算（V27-V12）X祗的结果是（）

A.近B.1C.V5D.3

3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减

法即可.

【解答】解：（扬-俄）xjl

-V4

=3-2

=1,

故选:B.

【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解

此题的关键.

6.（2022•柳州）计算：V2xV3=_V6_.

【考点】二次根式的乘除法.

【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.

【解答】解：&火北=戈；

故答案为：V6.

【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则4•企=

后是本题的关键，是一道基础题.

7.（2022•六盘水）计算：任-2源=0.

【考点】二次根式的加减法.

【专题】常规题型.

【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式.

【解答】解：V12-2V3-2V3-273=0.

故答案为0.

【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类

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二次根式.

8.（2022•天津）计算（W§+1）（5/19-1）的结果等于18.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据平方差公式即可求出答案.

【解答】解：原式=（丁商）2-I2

=19-1

=18,

故答案为：18.

【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公

式，本题属于基础题型.

9.（2022•未央区校级一模）计算：V4XA/12+（-）lV3-2l.

3

【考点】二次根式的混合运算；零指数累.

【专题】计算题；二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式的乘法，零指数募，绝对值的性质计算即可求解.

【解答】解：V4X^/12+（-）IV3-2

3

=4V5+1+V^-2

=5A/3-1.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

10.（2022•榆阳区一模）计算：|2-＞历|“历XA/1/+（-4）'

【考点】二次根式的混合运算：零指数幕.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先化简，然后合并同类二次根式即可.

【解答】解：|2-76|-V2XV12+（-4）°

-2-V24+I

=V6-2-2A/6+1

=-V6-1.

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【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数累，熟练掌握运算法则是解答本题的关

11.（2022•松江区二模）计算：（-』）T-J五+11-

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕；分母有理化.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先算负整数指数嘉，化简二次根式，去绝对值，分母有理化，再合并即可.

【解答】解：原式=-2-372+72-1+V2-1

=-4-

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键式掌握二次根式的混合运算的相关

法则.

12.（2022•兰陵县一模）计算：12f6|+^X技.

【考点】二次根式的乘除法.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算乘法，再算加减，即可解答.

【解答】解：|2-V5l+.fixV20

(2-5/5)+.

=-2+V5+V4

=-2+V5+2

=近.

【点评】本题考查了二次根式的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键.

【考点】二次根式的混合运算；零指数基：负整数指数基：分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先进行二次根式的化简，绝对值运算，零指数累，负整数指数累运算，再算加

减即可.

【解答】解：扬+』「|+（-2）°+心）T

=3«+愿+1-(2-V3)+1+2

=3代+遥+1-2+V3+1+2

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—5y13+2.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

14.（2022•梧州模拟）计算:V8XV2+（-3）2-|7-2|+（-25）4-5.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算二次根式的乘法，乘方，绝对值，有理数的除法，再算加减即可.

【解答】解：V8X/5+（-3）2-|7-2|+（-25）4-5

=4+9-5-5

=3.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

15.（2022•满桥区校级模拟）计算：-1）（加+1）-|1-3|+（愿）

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先利用平方差公式和二次根式的性质计算，然后去绝对值后合并即可.

【解答】解：原式=2-1-2+3

=2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

法则是解决问题的关键.

16.（2022•碑林区校级三模）计算：（/方）X/E-|«-2|-d）T-

3

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数累，再算加减即可.

【解答】解：（_^）xV^-|F-2|-c1）T

--2^3-（2-A/S）-3

=-273-2+V3-3

=-5-V3.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

17.（2022•雁塔区校级模拟）计算：（1）-2-泥X、历+|1r反

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【考点】二次根式的混合运算；负整数指数塞.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先利用负整数指数幕的意义、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后

合并即可.

]

【解答】解:原式=-V6X2-(1-V3)

v)2

=4-5/12-1+V3

=4-2愿-1+V3

=3-V3.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

法则和负整数指数塞的意义是解决问题的关键.

18.（2022•澄迈县校级模拟）计算:

⑴V48

⑵（2W2）2Wi8-（4）-1

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】计算题.

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可;

（2）先根据完全平方公式和负整数指数累的意义计算，然后化简后合并即可.

【解答】解：（1）原式=4愿+代

=4如;

（2）原式=4-4&+2+3&-3

=3-V2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

19.（2022•庐阳区校级三模）计算：（-&）xJE+|d§-2-（工）t.

2

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕.

【专题】常规题型.

【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数事的意义即可求出答案.

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【解答】解：原式=-V12+2-V3-2

=-2V3-V3

=-373

【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题

型.

20.(2022•祁阳县校级模拟)已知：x=l-&,y=l+&,求x'+y，-xy-2x+2y的值.

【考点】二次根式的化简求值；因式分解的应用.

【专题】计算题.

【分析】根据x、y的值，先求出x-y和xy,再化简原式，代入求值即可.

【解答】解：=y=l+&,

.\x-y=(1-V2)-(1+V2)=-2V2.

xy=(1-V2)(1+V2)=-1，

.\x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy

=(-2V2)2-2X(-2V2)+(-1)

=7+472.

【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完

全平方公式.

★变式训练★-------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.(2022•河北)下列正确的是()

A.74+9=2+3B.74X9=2X3C.7^=32D.^479=0.7

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据卜4+9=05判断A选项;根据*$/花=«•《(a》0,b>0)判断B选

项；根据值=1a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项.

【解答】解：A、原式=任，故该选项不符合题意；

B、原式=yxJ§=2X3,故该选项符合题意；

C、原式={(g2)2=92,故该选项不符合题意；

D、0.72=0.49,故该选项不符合题意；

故选：B.

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【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握后=4•五（a>0,b>0）是解

题的关键.

2.（2022•大连）下列计算正确的是（）

A.^^=2B..（-3）2=-3C.2遥+3«=5&D.（72+1）2=3

【考点】二次根式的混合运算；算术平方根；立方根；二次根式的加减法.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判

断即可解答.

【解答】解：A、牛耳=-2,故A不符合题意；

B、1（一3）2=3,故B不符合题意；

C、2遥+3代=5遥，故C符合题意；

D、（&+1）z=3+2&,故D不符合题意：

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准

确熟练地进行计算是解题的关键.

3.（2022•罗城县模拟）下列根式中，为最简二次根式的是（）

A.圾B.c.Z12D.V20

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据最简二次根式的概念即可得出答案.

【解答】解：A选项，原式=2加,故该选项不符合题意；

B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；

C选项，原式=2百，故该选项不符合题意；

D选项，原式=2遥，故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键.

4.（2022•宝山区二模）下列二次根式中，与&是同类二次根式的是（）

A.JiB.V6C.V8D.V12

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【考点】同类二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可.

【解答】解：y=2,因此y与我不是同类二次根式，所以选项A不符合题意；

戈与&不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；

弧=2加,与&是同类二次根式，所以选项C符合题意；

712=273.与血不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次

根式化成最简二次根式是正确判断的关键.

5.（2022•桥西区校级模拟）J而-VIA，那么/的值是（）

A.6B.9C.12D.27

【考点】二次根式的加减法.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则得出a,b的值，进而得出答案.

【解答］解：vV75-/12=573-273=3册=2五,

；.a=3,b=3,3^=27,

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键.

6.（2022•靖江市二模）若x=a,代数式又2+2乂+/^包的值为一1，则当x=-a时，代数

式x?+2x+后巧的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】由x=a,代数式x2+2x+后反的值为-1，可得（a+1）工=0,即得a

=-1,n=2,即可得到答案.

【解答】解：=代数式x2+2x+布点的值为-1，

，a"+2a+Jn-2=-1，

第16页共49页

（a+1）2+Vn-2=0,

Aa=-1,n=2,

当x=-a时，

x2+2x+Vn-2

=（-a）2-2a+Vn-2

=l2+2+0

=3.

故选：I）.

【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据非负数的性质求出a、n的值.

7.（2022•北硝区校级模拟）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有

二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如：（病-2）（V5+2）=1,

=a,（2A/3-V2）（2V3+V2）=10,通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互

为有理化因式.小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：

甲.13+75.

3-V54

乙：设有理数a,b满足：-=5-4——=-6①+中则a+b=6；

V2+1V2-1

丙：1==―1_->->=~

V2022-V2021V2020-V2019

T：已知443-xf/11-x=4,则443-x+V11-X=6；

戊：1।1।1।・・・・・・,]:33-711

3电5V3+3V5775+而99797+97V9966

以上结论正确的有（）

A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁

【考点】二次根式的混合运算；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断.

【解答】解：甲：1=故正确；

3-V59-54

乙：设有理数a,b满足：-=5—4-=^—=-6^历+4，

V2+1V2-1

••a+b

-V2+1V2-1

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=a(V2-l)+b(V2+l)

2-12-1

=(a+b)5/2+(-a+b),

(a+b)V2+(-a+b)=-6&+4,

Aa+b=-6,故错误;

丙：•:-=7^4^?=、淅+、*1=

____V2022-V20212022-2021V2020-V2019

V202QW2019

2020-2019

一,1：〉，1：，故正确；

V2022-V2021V2020-V2019

丁：：(V43-x-Vll-x)(V43-x+Vll-x)

=(43-x)-(11-x)

=32,

而443-x-Vll-x=4,

.,.V43-X+V11-X=8,故错误；

戊：1+1+1।……+1

・3-h/345V3+3V5'7V5+5V7++97西

=3-M,5«-3函+7屈-55++99V?7-97799

"130702X99X97

=1_V99

22X99

=1_7TT

22X33

=竺二/五,故正确；

66

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并

同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式

的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

8.(2022•山西)计算：JT§X祗的结果为3.

【考点】二次根式的乘除法.

【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可.

【解答】解：原式=«=3.

故答案为：3.

第18页共49页

【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算.二次根式的运算法则：乘法法则4•瓜

=Vab.

9.（2022•德州）-我=_&一

【考点】二次根式的加减法.

【专题】计算题；二次根式.

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得.

【解答】解：原式=3五-2&=&,

故答案为：V2.

【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和

法则.

10.（2022•泰安）计算：我•泥-3患=，依

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】计算题；二次根式；运算能力.

【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法.

【解答】解：原式=5/8X6-3x2^

3

=4代-273

=2代，

故答案为：2y.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解

题关键.

11.（2022•鼓楼区校级模拟）计算：V2xV6-|V3-2

【考点】二次根式的混合运算：负整数指数幕.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先算乘法和负整数指数累，去绝对值，再合并即可.

【解答】解：原式=2代-（2-V3）-2

=2代-2+代-2

=3代-4.

【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则.

12.（2022•蒲城县一模）计算：（病-2）（病+2）+1-历I啦.

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【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算平方差，绝对值，二次根式的化简，再算加减即可.

【解答】解：（遍-2）（遥+2）+|-A历I

=（遥）2-2、&+2&

=5-4+V2+2V2

=1+372.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

3

13.（2022•嘉定区二模）计算：（上）（1-V2）+-7J--（V2）.

2V2-1

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基；分母有理化.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先算负整数指数幕，二次根式的乘法，分母有理化和乘方运算，再合并即可.

【解答】解：原式=2+&-2+加+1-（泥）2义加

=2+&-2+V2+1-2&

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的相关

法则.

14.（2022•榆阳区二模）计算：亚+亚+（乃-1）2-（总产.

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先根据二次根式的除法法则、完全平方公式和负整数指数基的意义计算，然后

合并即可.

【解答】解：原式=衿24+2+3-273+1-4

=2向+3-273+1-4

=0.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

和除法法则和负整数指数基是解决问题的关键.

15.（2022•仙居县二模）计算：（-2）~2+（V3+y）（V3-y）-

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；负整数指数幕.

第20页共49页

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】直接利用负整数指数幕的性质以及平方差公式化简，进而计算得出答案.

【解答】解：原式=工+3-2

44

=3.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键.

16.（2022•莲湖区三模）计算：巧）|«-2患）」

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先进行二次根式的乘法运算，绝对值运算，负整数指数累运算，再进行加减运

算即可.

【解答】解：

=-6-（2-V3）-V3

=-6-2+V3-V3

--8.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

17.（2022•蓝田县二模）计算：板+料+|3-我|-每.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】直接利用二次根式的除法运算法则、绝对值的性质化简，再利用二次根式的加

减运算法则计算得出答案.

【解答】解：原式=2近+3-2亚-5

=-2.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键.

18.（2022•陕西一模）计算：V3x（V2-V3）-IV6-3|+（-4）-1.

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数基，再算加减即可.

【解答】解：V3X（V2-V3）-|V6-3|+（4）-1

第21页共49页

=瓜-3-（3-V6）+（-3）

=Vs-3-3+A/6-3

=276-9.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

19.（2022•云州区一模）计算：（工）°+（如+&）J

2

【考点】二次根式的混合运算；零指数幕.

【专题】计算题；二次根式；运算能力.

【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减.

【解答】解：原式=1+（3+2企+2）-A/24

=1+3+276+2-2戈

=6.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握零次累、完全平方公式及二次根式的运

算法则是解决本题的关键.

20.（2022•碑林区校级四模）计算：（工）|3-0/|+（旧+1）

3

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数基.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先算负整数指数幕，绝对值，二次根式的化简，完全平方公式，再进行加减运

算即可.

【解答】解：（工）T-I3-W/1+（愿+1）2

3

=3-（2愿-3）+3+2愿+1

=3-2V3+3+3+2V3+1

=10.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与

运用.

21.（2022•浦桥区校级四模）计算：（3-兀）3芯-3|+＞巧X

【考点】二次根式的混合运算；零指数幕.

【专题】计算题；二次根式；运算能力.

【分析】化简零指数累，绝对值，先算乘法，再算加减.

第22页共49页

【解答】解：原式=1-(372-3)+V3X6

=1-372+3+372

=4.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘法运算

法则是解题关键.

22.(2022•泉州模拟)计算：|2-&|-J孑义加+需•.

【考点】二次根式的混合运算；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】先去绝对值和计算二次根式的乘除法、然后合并同类二次根式即可.

【解答】解：得X&+疆

=2-&-^A^+A/2

=2-&-亚+衣

3

=2-叵.

3

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

23.(2022•泗洪县一模)已知：a=«+2,b=«-2,求(a+b)(a2+b2-ab)的值.

【考点】二次根式的化简求值；多项式乘多项式.

【专题】计算题；实数；运算能力.

【分析】首先把原式化为(a+b)[(a-b)2+ab],把a=^+2,-2代入原式计

算即可.

【解答】解：原式=(a+b)[(a-b)2+ab],

当a=«+2,b=V^-2时，

原式=2遥X(16+1)

=34代.

【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、多项式与多项式相乘，熟练掌握平方差

公式及配方法在整式中的应用是解题关键.

24.(2022•安徽模拟)解关于x的不等式：2x＞找x+4.

【考点】二次根式的应用；解一元一次不等式.

【专题】二次根式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

第23页共49页

【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1,分母有理化可解答.

【解答】解：2x>V6x+4,

移项得：2x-企x>4,

整理得：（2-&）x>4,

V2-娓<0,

解得：x<

2-V6_

分母有理化得：X<一—2版），

（2-V6）（2W6）

化简得：x<-4-2^/6•

【点评】本题主要考查了一元一次不等式解的求法和二次根式的分母有理化，解不等式

时要注意系数化为1时，利用不等式性质3时，两边同时除以负数不等号方向改变.

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选择题：

1.（2022•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

A.42_]B.42+]C.V3xD.Vx+1

【考点】二次根式的定义.

【专题】二次根式；符号意识.

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如五（a20）的式子叫做二次根式判

断即可.

【解答】解：A选项，当x=0.5时，x2-1<0,故该选项不符合题意；

B选项，；x220,

.,.x2+l>0,故该选项符合题意；

C选项，当xVO时，原式V0,故该选项不符合题意；

D选项，当x=-2时，x+l<0,故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如4（a20）的式子叫做

二次根式是解题的关键.

2.（2022•湘西州）要使二次根式5/3X-6有意义,则x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.xW2D.x22

第24页共49页

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：；3x-620,

，x22,

故选：D.

【点评】本题考查了二