2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 平面向量的数量积及其应用（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第24练平面向量的数量积及其应用(精练)

刷真题明导向

一、单选题

1.(2022.全国•统考高考真题)已知向量。=(2,1),6=(-2,4),则以-彳()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得然后求得:-才

【详解】因为=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以卜-g=,4?+(-3)2=5.

故选：D

2.(2023•全国•统考高考真题)已知向量£=(3,1),6=(2,2),贝I]cos(a+b,a-8)=()

R拒「小「2小

A.D.----L.U.---------

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得卜+斗卜--力，从而利用平面向量余弦的运算

公式即可得解.

【详解】因为”=(3,1),匕=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(l,-l),

贝[||=个守+3。=-\/34,|«—Z?|=A/1+1=A/2,(q+6),(。-匕)=5x]+3x(-1)=2,

,...la+bj-la-b)7后

所以cos(a+6,o-6)=\_V_.

'/卜+型/后17

故选:B.

3.(2022・全国•统考高考真题)已知向量风匕满足|々|=1,|切=道,|。-2>=3,则>2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：；|a-2bl2=|。|2-44力+4斤，

又••,|4|=1,防|=国a-2b|=3,

二9=1-4〃力+4x3=13U，

••a-b=1

故选：c.

4.（2023•全国•统考高考真题）已知向量“=。,1）/=（1,一1）,若（。+树，（。+闻，则（）

A.4+〃=1B.%+4=-1

C.即=1D.加=一1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出〃+劝，a+曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为1=(1,1),〃二(1,一1),所以a+4Z?=(l+41-4),〃+〃6=(1+"1—4),

由(a+_L(a+可得，(Q+44.(a+W)=0,

即(l+2)(l+〃)+(l—4)(1—=0,整理得：4〃=—1.

故选：D.

5.（2022・全国•统考高考真题）已知向量a=（3,4）/=（l,0）,c=a+历，若<a,c>=<b,c>,则仁（

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

,、,、,、9+3/+163+/

【详解】解：e=(3+t,4),cos〈a©=cos«,c),即一词—=讨，解得7=5,

故选：C

6.（2023•北京•统考高考真题）已知向量少。满足“+6=（2,3）,a-b=（-2,1）,则|a『_|6|2=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量且I满足a+6=（2,3）,a=（-2,1）,

所以|a『-|/?|2=(«+/?).(«-&)=2x(-2)+3x1=-].

故选：B

7.（2021・浙江•统考高考真题）已知非零向量。，42,则，.c=6c”是"“=6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，。4=a,O3=b,OC=c,BA=a-6,当ASLOC时，a一。与c垂直，。，所以“，八；

成立，此时

•••“「/；.；不是4=石的充分条件，

/Irrr

当q=b时，a—b=0，：.ya-byc=Q-c=Qa；•一八,成立，

・・・〃—是〃=6的必要条件，

8.(2023•全国•统考高考真题)已知向量兄儿。满足同=网=1,同=后，且Q+Z?+C=0，则cos〈a-c,b-c〉=()

、42-2

A.—B.—C.一D

555-?

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为+e=0,所以5+8W,

即。2+。2+2〃.b=右2,即］+1+25.匕=2,所以=0.

如图，设OA=a,O5=b,OC=c,

由题知,OA=OB=1,OC=V2,OAB是等腰直角三角形,

AB边上的高0。=克,A0=变，

22

所以。。=。。+0。=后+受=逑，

22

tanZACD=—=-,cosZACD=3

CD3W'

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZAC£)=2cos2ZACD-1

故选:D.

9.（2022.北京・统考高考真题）在ABC中，AC=3,5C=4,NC=90。.尸为ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则尸5的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸（cos。,sin。），表示出出,PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式

及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则。（0,0）,A（3,0）,5（0,4）,

因为PC=1,所以P在以。为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(cos3,sin夕)，夕£［。,2句,

所以PA=(3-cosa-sin9),PB=(-cos4-sin,

所以PA-PB=(^-cos6)x(3-cos。)+(4-sin6)x(-sin

=cos23cos^—4sin^+sin20

=l—3cos9—4sin，

=1—5sin(9+°),其中sino=。，cos^?=—,

因为一所以TW1—5sin（9+0）«6,即PA-PBE[-4,6]；

故选：D

二、填空题

10.（2022・全国•统考高考真题）已知向量。=（人3）1=（1,根+1）.若则加=.

3

【答案】-4

4

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

3

【详解】由题意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得加=一二.

4

、»3

故答案为：.

4

n.（2021•全国•统考高考真题）已知向量1=（1,3）力=（3,4）,若伍-协，8，贝ljx=.

【答案】|3

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为。―劝=（1,3）—4（3,4）=0—343—44，所以由（。-可得，

3（l-32）+4（3-4A）=0,解得2

3

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，=（/%）/=（%,%），

。_1人0〃为=00%%2+%%=。，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

12.（2021•全国•统考高考真题）已知向量a=（3,l）,Z?=（l,0）,c=a+H?.若a，c，贝!U=.

【答案】

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量。的坐标，利用向量的数量积为零求得上的值

【详解】。=（3,1）2=（l,o）,，e=d+防=（3+左,1）,

alc,.\a-c=3（3+Jc）+lxl=O,解得人=一?，

故答案为：-■.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量P=（占,*）应=（々，%）垂

直的充分必要条件是其数量积为多+%%=。.

13.（2021•全国•高考真题）若向量a,b满足卜|=3,卜-@=5,。・6=1,则"=.

【答案】3收

【分析】根据题目条件，利用a-万模的平方可以得出答案

【详解】••*-0=5

卜-@=a+b-2a-b=9+^-2=25

.•.忖=3夜.

故答案为：3亚.

14.（2022.全国.统考高考真题）设向量“，。的夹角的余弦值为:，且忖=1,1卜3,贝噌。+今6=.

【答案】11

【分析】设a与b的夹角为6,依题意可得cos0=g,再根据数量积的定义求出°山，最后根据数量积的运算律计

算可得.

【详解】解：设"与b的夹角为凡因为a与6的夹角的余弦值为g,即cos6=g,

又"=1,恸=3,所以am=„qcosd=lx3xg=l,

所以（2a+6）♦b=2a.6+b?=2a.b+"=2x1+3?=11.

故答案为：11.

15.（2023•全国•统考高考真题）已知向量a,b满足,一可=若，,+*W，则忖=.

【答案】V3

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令:=三-1，结合数量积的运算律运算求

解.

【详解】法一：因为上+司=忸一回,即,+42=（2”叫2,

则a+2a-b+b-4a-4a-b+b,整理得/-2a）=0，

又因为即（a-b『=3,

则？—2»+力2』2=3,所以忖=石.

1I.rirrrrrrrr

法二:^c=a-b，贝州=j3,a+Z?=c+2b,2a-b=2c+Z?,

/I*r\2/rr\2「rrr,r9rrr,

由题意可得:（c+2A）=（2c+6）,则0+4c-b+4b=4c+4c-b+b'

整理得：Un?,即M=1=G.

故答案为：V3.

16.(2021•全国•统考IWJ考真题)已知向量a+Z?+c=0,卜|=1，忖=，|=2,a-b+b-c+c-a=

【答案】-|

【分析】由已知可得(a+6+c『=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(Q+Z?+C)=〃2+/+°2+2(Q.b+Z?.C+C.Q)=9+2(〃・Z?+b・C+C・Q)=0,

9

因出S,a，b+b，c+c，a=—.

2

故答案为：-g.

三、双空题

17.(2021.天津.统考高考真题)在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，DE上AB且交AB于点

E.DF//AB且交AC于点£则|2BE+DF\的值为；(DE+DF).DA的最小值为.

11

【答案】

20

【分析】设BE=x，由(23E+Z)产了=43£2+43£.。尸+£)尸2可求出；将(OE+DF).ZM化为关于x的关系式即可求

出最值.

【详解】设3E=x,,ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

ZBDE=30,BD=2.x,DE=>j3x,DC=l-2x,

DF//AB,为边长为l-2x的等边三角形，DELDF,

.2，2

.*.(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)•DA=(DE+DF)•(DE+EA)=DE+DFEA

=(V3x)2+(1-2x)x(1-x)=5x2—3x+l=5(x—^)+[,

311

所以当％=而时，(。石+DBQ的最小值为云.

故答案为：1;1.

BD

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.（2023•河南•校联考模拟预测）已知向量d=（3,1）,6=（苍-2）,若aub，贝小+%卜（）

A.75B.5C.V10D.10

【答案】C

【分析】根据共线先求出心根据向量的模的坐标公式即可.

【详解】因为a〃b,所以3X（—2）-X=0,解得X=-6.

所以a+b=（3,l）+（_6,_2）=（_3,T）,

\a+b\=J（-3y+（-1）2=y/l（j.

故选：C.

2.（2023・河南•校联考模拟预测）设a也c都是单位向量，且a=b-c，则向量a力的夹角等于（

71_71_71_71

A.—B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根据等式将c移到另一端,两边同时平方，由a,b,c都是单位向量可求出a,b的夹角.

【详解】由a=6-c,可知c=b-a,故J=ci—2a•b+b9所以。

设“力的夹角为，，即cos0=：,又0W6W兀，所以6

故选：C.

3.（2023•江苏苏州•模拟预测）已知向量“在向量6上的投影向量是-58,且6=（1,1）,则。力=

A.一石B.班C.一逅D.如

22

【答案】A

【分析】根据向量“在向量6上的投影向量求出忖cos（a@,代入〃力的定义式即可.

【详解】因为向量“在向量让的投影向量是-46,所以Wcos(a®=-#W，

因此a.〃=Wos(a,6)=_1忖.忖=_今"2=_[x(l+l)=-G

故选：A.

4.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四中学校校考模拟预测)如图，已知C的半径为2,卜q=2,则Ag.AC=()

【答案】C

【分析】判断ABC形状可得/。然后根据数量积定义直接求解即可.

JTTT

【详解】由题知，ABC为正三角形，所以NCAB=W，所以A»AC=2x2cos§=2.

故选：C

5.(2023・四川•校联考模拟预测)已知向量a=(4,-2),6=(x-l,2),^alb，贝5」|=()

A.3拒B.2君C.3D.5

【答案】D

【分析】依题意可得0/=0,即可求出尤的值，在求出a-6的坐标，从而求出其模.

【详解】因为。=(4,一2),8=(x—1,2),Mal/,,所以a-6=4(x—l)—2x2=0,所以x=2,

所以6=(1,2),a-/7=(4,-2)-(1,2)=(3,-4),所以卜一0=击?+(-4.=5.

故选：D.

6.(2023•山东潍坊三模)已知平面向量a与b的夹角是60°,且问=2,6=(1,2),则今(2a-6)=()

A.8+2岔B.4-V5C.8-遂D.4+2百

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到忖=6,然后利用数量积的运算律即可得到答案

【详解】由6=(1,2)可得忖=君，

因为平面向量a与b的夹角是60。，且问=2,

所以〃.(2〃-/?)=2忖-a-b=2|a|-|a|•|/?|cos60°=8-A/5

故选：c

7.（2023•人大附中校考三模）已知向量a=（1,2）6=（3,x）,a与a+b共线，贝（）

A.6B.20C.275D.5

【答案】C

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，a+b=（4,2+x）

又。〃(a+。)，所以lx(2+x)=2x4,所以x=6,

所以》=（3,6）,所以。一》=（一2,-4）,

所以|a—61=7(-2)2+(-4)2=2下.

故选：C

8.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知单位向量满足％+6+e=0,其中e=（l,o）,则2a+6在e上的投影向量

是（）

"_3_y/3_

A.C.1°D.1°

【答案】D

【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.

【详解】因为单位向量〃力,。满足a+b+c=0,

2.2-2

所以一c=〃+/?=>(-c)=(a+bI=a+2a-b+b=l^a-b=--

29

由投影向量计算公式可知2a+6在。上的投影向量是|2。+6|•cos(2〃+Z?,c).白

（2〃+。）.0

22

即丁xc=-2a-3a-b-bxc

/-2233

故I—2ct—3ci,b~bxc=--c,而3=(1,0),故-]C=-r°•

故选：D

9.（2023•浙江宁波・镇海中学校考模拟预测）已知同=2,忖=1,卜-2可=25则向量a在向量6方向上的投影向

量为（）

A.bB.—bc.瓜D.-扬

【答案】B

【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.

【详解】因为,一2。卜2百，故『一船-Z?+4Z?2=12，

/、

a-bba-b..

Hx.।I,Iu=T~^b=~b»

(同x用忖W

故选：B.

10.(2023春・海南・高三海南中学校考阶段练习)已知向量满足|a|=2,g|=5,且d与6夹角的余弦值为:，则

(a+26)«3a_6)=()

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.

【详解】因为|°|=2,|勿=5,且a与b夹角的余弦值为：，

^T^(a+2Z?).(3a-Z?)=3|fl|2+5«-Z?-2|z?|2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故选：A.

11.(2023・重庆•校联考三模)在△ABC中，A8.AC=2，卜。=1且点。满足BD=DC,则,4=()

A.y/5B.aC.73D.—

【答案】D

【分析】根据向量线性运算和题干条件得到AB2+AC?=5，从而得到卜|.

【详解】由题意得A3-AC=C3,平方得AB?-2A3.AC+AC2=CB'=1，

22

故AB+AC=1+2ABAC=5，

因为点D满足血=OC,所以AO=；（AB+AC）,

平方得AD-=#B+2,AB-AC+AC）=-x（5+4）=1,

故网=:

故选：D

12.（2023・河南•校联考模拟预测）已知向量入万满足忖=3,,=8,^a-b=7,则夕％=（）

A.-24B.-12C.12D.24

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律即可求解.

2

【详解】由=-a2-—«•/7+Z>2=25--<7•&+64=49,

3933

所以a-6=12.

故选：C.

13.（2023•辽宁•校联考二模）已知向量力=（-2,1）,匕=（%2）,卜+可=卜-可，则实数机的值为（）.

A.—1B.——C.~D.1

【答案】D

【分析】先求得a+的坐标，再由卜+司=卜,求解.

【详解】解：因为向量。=（-2,1）,6=（私2）,

所:以a+Z?=(—2+m,3),Q=(―2—祖,—1),

又因为卜+可=卜_可,

所以J（-2+/篦）2+32=不（-2-mf>

解得m=l,

故选：D

14.（2023•全国•校联考模拟预测）若平面向量”，6满足|。|=0|加，且2a+应。与6垂直，贝Ua与b的夹角为（）

A,至-2兀71

B.——C.-D.

4334

【答案】B

【分析】利用垂直的向量表示求出a包的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.

【详解】因为20+近5与6垂直，贝！|（2a+VI»I=0,即2a为+0/=0，化简得人二-乎片，

_乌2…

而|°|=血|回，则cos〈.b）=。必=2=1.又〈a,b〉e[0,n],有〈a,6〉=T，

'\a\\b\0|邸2

所以a与万的夹角为市27r.

故选：B

15.（2023•甘肃•模拟预测）平行四边形ABCD中，AB=5,AD=3,ACBD=O,则ACBO等于（）

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】A

【分析】利用转化基底的方法进行平面向量数量积的运算即可求解.

【详解】由题意知平行四边形ABCD中，AB=5,AD=3,

得AC.8O=AC.gBO=：(A8+Ar»).(AO-A8)=g(M2-M|]=；x(9—25)=—8,

故选:A.

16.(2023•江西上饶•校联考模拟预测)在矩形ABCD中，AB^2,8C=石，P为A3边的中点，则CP8D=()

A.-IB.4C.1D.73

【答案】A

【分析】利用向量AB,AD表示CP,B。，结合数量积的定义求CPBD.

【详解】由已知3=。2+2尸=-">-gag,BD=AD-AB，

-I,-I[—uimuum

h2,|AD|=V3,AB-AD=O

所以CPB£>AB>(A£>-AB)=-A£).4£>+gAB.AB=-3+2=-1.

所以CP8D=-L.

故选：A.

1?

17.(2023・全国・高三专题练习)己知向量〃2=(1,4),〃=(26-1,3)(〃>0,6>0),若“〃=1，则一+丁的最小值为()

ab

A.7B.—F2A/3

2

C.7+4^3D.4^/3

【答案】B

【分析】由数量积的运算公式求得。。+6=1,化简工+/=4。+3(工+马=1+2+当+2,结合基本不等式，即可

2ab2ablab

求解.

【详解】因为向量m=(1,。),九=(2)一1,3)(°>0*>0),

,3

若加可得26-1+3a=1,即5。+/?=1,

贝!）!+2=（34+0）（工+2）

ab2ab

当且仅当2=当时，即6=耳=4-2后时，等号成立,

ab

所以，+］的最小值为:+26.

ab2

故选：B.

二、多选题

18.(2023•广东梅州•大埔县虎山中学校考模拟预测)已知平面向量4=(11)，b=(-3,4),则下列说法正确的是()

COS〈Q,b〉=

B.〃在a方向上的投影向量为立“

2

C.与6垂直的单位向量的坐标为

D.若向量4+与非零向量a-26共线，贝|4=0

【答案】AD

【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识,

一一验证即可.

【详解】由题意知|。|=5,3+4=1,

则cos〈d,，〉="也=空，因此A正确；

传1闻10

人在a方向上的投影向量为

,,,，八aa-baa-b1EU3、门

Ib|cos(a,b)----=-------=-一=~^,因此B错陕;

与b垂直的单位向量的坐标为

因此C错误;

因为a+例=(1-32,1+42),a-Ab=(1+32,1-4A),

若向量a+劝与向量”助共线，则(1-32)(1-44)=(1+34)(1+42),

解得4=0,因此D正确.

故选：AD.

19.(2023•广东广州•统考三模)已知向量a=(1,2),&=(-2,1),则()

A.(a-6)_L(a+6)B.(a-b)//(a+b)

C.\a-b\=^a+b\D.b-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【分析】根据与a+b的数量积为0可得A正确；根据向量平行的坐标表示可得B错误；根据模长公式可得C

正确；求出投影向量可得D错误.

【详解】因为a-b=(3,l),a+b=(-l,3),

所以(a-b).(a+b)=3x(-l)+lx3=0,(a-B)_L(a+。)，故A正确；

因为3x3-lx(-l)=10w0,故B错误;

|a-Z?|=Vi0,\a+b\=4l0,故C正确;

因为八°=（_3T）在°上的投影向量是号产《-a,故D错误.

故选：AC.

20.（2023・湖南•校联考二模）已知向量a=（2,-l）,〃/〃，恸=2卜，c=（l,2）,则（）

A.a-LcB.|a|=|c|C.6=（4,-2）D.b=a+c

【答案】AB

【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；

B选项根据模长公式计算；

C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；

D选项根据向量的加法进行判断.

【详解】因为小。=（2,-1）-（1,2）=0,所以au,则A正确；

|G|=|C|=V5,则B正确；

因为a〃6，所以设％=猫=4（2,-1）=（2；1,-孙因为|0=2口=2氐

所以）（2田2+（_田2=2际,解得几=±2,所以6=（4,-2）或b=（T,2）,故C错误；

a+c=（3』）wb,故D错误.

故选：AB

21.（2023•山东滨州•统考二模）已知向量。=（1,m），人=（2,T）,则下列说法正确的是（）

A.^|o+i>|=V10,则〃z=5B.若a〃b,贝!b〃=-2

C.若a/b，贝"?=TD.若加=1,则向量a，〃的夹角为钝角

【答案】BD

【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的

数量积判断D.

【详解】解：对于A,因为。b=（2,-4）,所以J+b=（3,/〃-4）,\a+b\=^9+（7?I-4）2=A/10»解得加=5

或机=3,故A错误；

对于B,因为♦〃/7,所以2根=-4,解得根=-2,故B正确；

r11

对于C,因为所以=2-4根=0,解得机=/,故C错误；

对于D,当机=1时，”（U）,。力=2-4=-2<0,又因为此时a,匕不共线，所以向量匕的夹角为钝角，故

D正确.

故选：BD.

22.(2023・全国•高三专题练习)已知向量i=(2,1),恸=剂，且“Lb，贝心=()

A.(2,T)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(2,4)

【答案】AC

【分析】设匕的坐标，利用向量模的坐标公式及a_16关系，建立方程组解出来即可.

【详解】设6=(x,y),

因为||=2口，a1b＞

..\b2=4a2[x2+y2=20

所以｛,n，

a-b=0[2x+y=0

"2-[x=-2

解得/或，,

b=-4[y=4

故1=(2,T)或力=(-2,4).

故选：AC.

23.(2023・全国•模拟预测)有关平面向量的说法，下列错误的是()

A.若aHb，bile＞则。〃。B.若a与〃共线且模长相等，贝！la=b

C.若且a与b方向相同，则】＞[D.恒成立

【答案】ABC

【分析】取6=0,可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用

平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，取〃=0,因为a//6，bile＞则“、c不一定共线，A错；

对于B选项，若“与方共线且模长相等，则0=6或。=-方，B错；

对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；

对于D选项，(彳a"=彳(°%)=(0)♦.恒成立,D对.

故选：ABC.

三、填空题

24.(2023・四川成某中学校考模拟预测)已知向量a=«-2,3),6=(3,-1),且(a+20)〃b,则向=.

【答案】3标

【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为&=Q-2,3),)=(3,-1),所以。+26=。+4,1),又(a+2b)〃b,

所以(f+4)x(—l)—3x1=0,解得仁-7,所以a=(-9,3),故同=3厢.

故答案为：3回.

25.(2023.四川巴中.南江中学校考模拟预测)已知向量°=(1,2),。=(-2,3),若(而+山仅-@,则口=

【答案】-7

4

【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.

【详解】由题意可得3+6=化一2,2左+3),0—6=(3,-1),

因为（fe«+6）_L（a-b）,

贝［］（3+6卜（。-6）=3（%—2）—（2左+3）=0,解得k=9.

故答案为：

4

26.(2023•河南濮阳・濮阳一高校考模拟预测)若同=1,W=2,aV(a-2b),贝山+b卜.

【答案】瓜

【分析】根据给定条件，求出如人再利用数量积的运算律求解作答.

【详解】因为卜|=1,卜|=2,a_L(a-26),则°.(。-26)=/—2"力=1一2。力=0，解得=

所以卜+0=J(a+b)2=yja+b+2,a-b=Jl?+22+2x-^-=底.

故答案为：V6

27.(2023・全国•高三专题练习)已知向量°,6满足a=6=2,若。““+2可，贝hos<6,a+2^>=

【答案】昱

2

【分析】根据平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】由2可可知a«a+26)=0,即卜［+2a-b=0,可得a.b=_2,

又b.(a+2b)=a.6+2W=6,1+20="|°|2+4|6『+4a/=J4+16-8=2叔

“,,"(a+26)6V3

故cos<b,a+2b>=-i—i—i------r=/==--.

瓦卜+2@2x2白2

故答案为：B

2

28.(2023•江西•统考模拟预测)已知单位向量a,满足|2〃-同=2瓦则”力=.

【答案

【分析】将悭-同=2忖两边平方，根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为入〃为单位向量且满足|2。-6卜2瓦

所以（2。一。了=仞2,即4/一4”0+万2=462,

即4同2-4a-6+W=4|]，解得

故答案为：—

4

29.（2023•全国•高三专题练习）已知非零向量°,6的夹角为60。，忖=1,a\a-2b）=-l,则（a+2b>6=

【答案】9

【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.

【详解】由>=1及a,b夹角为60。可知。力=忖,际60。=胴，

又a-（a-2b）=W-2分〃=1-忖=-1,解得忖=2,则4力=1，

故+=42+2忖=1+8=9,

故答案为：9

30.（2023・全国•高三专题练习）已知向量〃，A满足，=（-2,4）,〃电=_5，贝也在〃上的投影向量C=

【答案】1-1）

【分析】根据方在。上的投影向量C=1bICOS0.三即可求解.

\a\

【详解】设。与b的夹角为6,〃在a上的投影向量

c=\b\cos0■-=|a||b|cos0■—=---警-5-=--a=[—,-l|.

I«ll«|2|a|2（一2）2+4?4（2'）

故答案为：

31.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形防G”中，河-网=2,则HG.FH=

【答案】-2

【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.

【详解】设EG与F”交于。，则EG,9且。是线段F"的中点,

.'.IHF|=|EF-EH\=2,由平面向量数量积的几何意义知,

12

HGFH=-HGHF=-|HG|-|HF|COSZFHG=-\HF\.|HO|==-2.

故答案为：-2

32.（2023•陕西西安•校考模拟预测）若平面四边形ABC。满足AB+CD=O，（AB-AD）-AC=0,则该四边形一定

是.

【答案】菱形

【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.

【详解】AB+CD=0,:.AB=DC,

所以四边形ABCD为平行四边形，

（AB-AD）-AC=0,.-.DBAC=0,

所以DB垂直AC,所以四边形ABCD为菱形.

故答案为：菱形.

33.（2023・浙江温州•统考三模）在平行四边形ABCD中，若AB=（1,3）,AC=（2,4）,则48必£>=.

【答案】4

【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AD，然后由数量积的坐标表示可解.

【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AC-A3

又AB=（1,3）,AC=（2,4）

所以AD=（2,4）—（L3）=（1,1）

所以AB40=1x1+3x1=4

故答案为：4

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.（2023•山西朔州・怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2,S.ZBAD=^,则（A2+AC>AD

的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.

【详解】由条件可知/BA£>=m，所以=

在ABC中，由余弦定理AC2=4+4-2X2X2XCOS]=12,可得,。=26,

TTJT

ZBAD=-,菱形ABC。的对角线互相垂直，则向量AC与向量AD的夹角为1，

36

uunuumuunuimumnuumuuin冗冗

贝“zAB+AC〉xAr）=AB.Ar>+AC.AD=2x2xcosi+2x2j3xcosw=8.

故选：D.

2.（2023•河南郑州•三模）若向量〃、B满足M=W=|a+q,则向量b与向量a-b的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】已知式平方得平方求得"6=川a,两种方法计算b・（a-b）后可得结论.

【详解】口=忖=w+@,所以,+4=(a+b)2=W+2a-Z>+|i>|=二,「=|『，又Q.b=WWcos（a,。），所以Q・b=_g忖

|a—Z?|='(a-b¥=—2a-Z?+|z?|=y/3小

/?.(〃-»=cos(4=若卜|cos(b,〃-。),

3^,Z?•(q-b)=b•a-h=—-|(i|-=—-|tz|,

所以画《cos^,a-Z?^=--||a|,cos(b,a-b)=-[,

又0。4(6,a-6)4180。，所以佯-3=150。,

故选：D.

3.(2023・湖北•校联考三模)正，ABC的边长为2,BM=2MC，则ARAM=（）

c10

A.2B.-C.-D.—

333

【答案】c

【分析】根据BM=2MC,表示出向量BC,再利用向量基本运算法则表示出向量AM,再利用向量额数量积运算

即可.

【详解】设AB=a,AC=b,如图所示：

B

A

L

A-------、c

因为BM=2MC

r\0

所以AM=AB+§BC=AB+§（AC-A8）=a+|（。）=十

/.Ab•AM=a---------------=---------------------

\3J3

_4+2x2x2xcos60°_8

==-9

33

故选：C.

4.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，=8A+gAC,AE=AC+；C3,则£）石.A3=

（）

【答案】D

【分析】由BD=A4+gAC,AE=AC+^CB,用AB,AC表示。E，然后利用数量积的运算律和定义求解.

【详解】解：因为3O=BA+gAC,AE=AC+^CB,

所以DE=AE-AD=AE-AB-3。，

=AC+-CB-AB-BA--AC,

33

=-AB+-AC,

33

所以OE.AB=gAB+gAc}AB,

121

=-AB+-ACAB,

33

=|AB2+||AC|-|AB|-COS60=2,

故选：D

5.(2023・湖北武汉・统考三模)已知。=(1,2),%为单位向量，若。力+卜卜忖4。，则6=()

2耳(石2君］

A.彳,丁B.一丁，丁

。曲考•管明

【答