2023-2024学年陕西省西安市重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年陕西省西安市重点大学附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中一定是一元二次方程的是（）

A.x2—4=0B.ax2+bx+c=0C.x2—y+l=0D.^+x-1=0

2.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球,摸到黄

球的概率是（）

32

C

--

A.45

3.下列关系式中的两个量成反比例的是（）

A.圆的面积与它的半径B,正方形的周长与它的边长

C.路程一定时，速度与时间D.长方形一条边确定时，周长与另一边

.如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如果舞台的

44BB

长为10米，一名主持人现在站在4处，则她至少走多少米才最理想（）

A.5>f5-5B.15-5<5

C.5V-5+5D.15-5c或5c-5

5•若户泊］/则卷箭的值为（）

A.1B.1C.1.5D.3

6.函数y=*（k手0）与函数y-kx-k在同一坐标系中的图象可能是（）

7.若点4（一1,%）、8（2,%）、。（兀,乃）在反比例函数y=的图象上，则为、丫2、丫3的大小关系是（）

A.y3<72<yiB.y2<y3<yiC.yr<y3<y2D.yr<y2<y3

8.如图，一次函数y=3+匕与反比例函数丁=：(/£>0)的图象交于点4(1,2),则关于x的不等式

ax+b>：的解集是()

A.%<-2或0<%V1

B.x<-1或0V%V2

C.-2<%<0或%>1

D.-1<%<0或%>2

9.如图，在下列四个条件：①jC,②jADB=^AEC,@AD：AC=AE：AB,@PE：

PD=PB：PC中，随机抽取一个能使ABPE〜ACP。的概率是()

A.0.25

B.0.5

C.0.75

D.1

10.已知：如图1,在平行四边形48co中，AB=3cm,BC=5cm,ACLABf△4CD沿4c的方向以速度为

lcm/s匀速平移得到APM/V；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动速度为lcm/s,当△「"可停止平移

时，点Q也停止运动,如图2,设运动时间为t(s)(0<t<4),则t的值为s时,SAQMC：S四边形ABQP=1：3.()

A.t=1B.t=4C.t=5D.t不存在

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（-2,3）,以原点。为位

似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△04B放大，则点8的对应点夕的

坐标为.

12.已知实数与，不满足久1+久2=7,%!%2=12.则以右，为根的一元二次方程是

13.如图，RM4BC的直角顶点4在反比例函数y=3他＜0）的图象上，顶点

B在％轴负半轴上，顶点C在反比例函数y=§（幻＞0）的图象上，斜边BC交y轴

于点D,若4B〃y轴，BD=2DC,△4BC面积为6,则备+七的值为.

14.如图，在A4BC中，。为BC上的一点，E为40上的一点，BE的延长线交4c于点尸.

已知界熊=如"为不小于2的整数），则寝的值是—

15.如图，△ABC中，AB=5,AC=3,以BC为斜边按B、C、0顺时针

方向排列，构造RtaBCD,iL^BCD=60°,连接AD,则线段力。的最大

值为.

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

用合适的方法解下列方程：

①2--3x+1=0

@x(x-1)=2(1—x)

17.（本小题8.0分）

在△力BC中，“=90。.请用尺规作图，在边4B上求作一点D,连接CD,使得CD将△4BC分为两个相似三角

形.（保留作图痕迹，不写作法）

18.（本小题8.0分）

一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1,4,2,3.这些小球除标有的

数字外都相同，先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出

一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之

积是奇数的概率.

19.（本小题8.0分）

某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，

则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？

20.（本小题8.0分）

雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关。则量物体的高度少的知识，测量路灯的高度力艮如图

所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小

水潭中看到了路灯点4的影子.己知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度48.

21.（本小题8.0分）

如图，动点M在函数y=^（x>0）的图象，过点M分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数y=|（x>0）的图

象于点B、C,作直线BC,设直线BC的函数表达式为丫=/^+〃/£彳0).

(1)若点M的坐标为(1,4),

①求直线8c的函数解析式；

②点。在x轴上，点E在y轴上，且以点8、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点。、E的坐

标；

(2)连接B。、CO,试探究点M在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说

明理由.

22.(本小题8.0分)

已知四边形ABCD是菱形，/.ABC=60°,AB=2.

(1)如图1,P是BO上一点，连接4P并延长，交BC的延长线于点E,交CD于点F,若CE=4,

①求CF的长；

②求PF的长；

(2)如图2,M是AD的中点，连接过点M作MN，交BC的延长线于点N,点Q在BC上，连接MQ,分

别过点B,N作直线MQ的垂线，垂足分别为C,H,若BG=1,求GH的长；

(3)如图3,/为48上一点，L为BC上一点，BJ=BL,分别过点/,L作BC,48的平行线，两条直线交于点K,

如图4,直线可交直线。K于点R,求黑的值及乙4R。的度数.

将四边形B/KL绕点B顺时针旋转,UK

AD

AMnA________D/\j/

D

BcE

GR

图1图2图3ffl4

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

。、未知数次数为1,不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：A.

利用一元二次方程定义进行解答即可.

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：

“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

2.【答案】D

【解析】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是击=卷，

故选：D.

直接由概率公式求解即可.

本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.熟记概率公式是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、圆的面积=7TX半径2,不是反比例函数，故本选项不符合题意；

8、正方形的周长=边长x4,不是反比例函数，故本选项不符合题意；

C、路程s一定时，速度"和时间t的关系s=",是反比例函数，故本选项符合题意；

D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s=2x（a+b）,不是反比例关系，故本选项不符合题

意.

故选：C.

根据反比例函数的定义解答即可.

本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.要注意：反比例函数的判断：判断一

个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，

其形式为y=g（k为常数，k40）或丫=kxT（/c为常数，k手0）.

4.【答案】B

【解析】解：设C点为4B的黄金分割点，

当AC>BC时，AC=^^-AB=x10=5V-5-5;

当AC<BC时，BC=^^-AB=x10=5y/~5-5，则AC=10-（5门-5）=15-5门，

所以她至少走（15-5，石）米才最理想.

故选：B.

设C点为4B的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当AC>BC时，AC=5<5-5;当AC<BC时，BC=

5c-5，贝露。=15-5门，从而确定她至少走的路程.

本题考查了黄金分割：把线段4B分成两条线段AC和BCG4c>BC）,且使AC是48和BC的比例中项（即4B：

AC^AC：BC）,叫做把线段4B黄金分割，点C叫做线段4B的黄金分割点.其中AC=g匚48々0.6184B，

并且线段4B的黄金分割点有两个.

5.【答案】A

【解析】解：士*鸿,

.3a_—2c_e_1

3b-2df3'

.3Q—2c+e_1

•’3b-2d+f=3*

故选：A.

利用等比性质，进行计算即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查反比例函数和一次函数图象的特征：（1）反比例函数y=§当上>0,图象过第一、三象限；当k<0,

图象过第二、四象限；（2）一次函数、=卜X+6：当k>0,图象必过第一、三象限，当k<0,图象必过第

二、四象限.当b>0,图象与y轴交于正半轴，当b=0,图象经过原点，当b<0,图象与y轴交于负半轴.根

据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限.

【解答】

解：当k>0时，反比例函数图象经过一、三象限；一次函数图象经过第一、三、四象限，故A正确；

。错误；

当k<0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第一、二、四象限，故C,。错误.

故选A.

7.【答案】C

【解析】解：•••点4(一1/1)，BQ/?)，。(3,丫3)在反比例函数y=：的图象上，

555

■-yi=—=-5r>y2=2'、3=§，

又—5<!

•••yi<y3<yz-

故选：c.

根据反比例函数图象上点的坐标特征求出力、丫2、丫3的值，比较后即可得出结论.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出yI、丫2、丫3的值是

解题的关键.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键.

先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可.

【解答】

解：v4(1,2)在反比例函数y=£(k>0)的图象上，

・•・k=1x2=2,

・••反比例函数解析式为y=j

・・・—1)在反比例函数y=:图象上，

2。

••m=―――2,

*'•B(—2,—1),

由题意得关于x的不等式ax+b>X的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，

X

二关于x的不等式ax+b>乙的解集为一2<x<0或x>1,

X

故选：C.

9.【答案】C

【解析】解：由题意得:

乙DPC=4EPB,

①NB=4C,根据两角相等的两个三角形相似可得：ABPEFCPD,

②Z.ADB=Z.AEC>

■■■/.PDC=乙PEB,

所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：4BPEFCPD,

（3）vAD：AC=AE：AB,Z.A=L.A,

••・△40B和A4EC不相似，

乙B手4C,

故③不能使△BPEfCPD,

④PE：PD=PB：PC,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：ABPEfCPD,

••・在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPESACP。的概率是：0.75,

故选：C.

根据相似三角形的判定方法判断即可.

本题考查了相似三角形的判定，概率公式，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：过点P作PE1BC,如图：

CPE~二CBA,

.PE_AB

•••而=丽’

由题意知4c=4,AP=t,QC=t,

*，•PC-4—tf

PE3

,-----——.

4-t5

3

・・.PE=（4-t）,

xxx:=-

SAQCM=|t(4-t)|

■:S*QMC：S四边形ABQP='：3,

SAQMC：S&ABC=1：4.

SMBC=5、3*4=6，

(一得/+|t)：6=1：4,

化简得产-牝+5=0,方程无解，

不存在t使得SAQMC：S四边形ABQP=1：3.

故选：D.

先表示出AQMC的面积，根据SAQMC：S四边形ABQP='：3得出工。“。：ShABC~1：4.而△ABC的面积为6,

从而可求解.

本题考查相似三角形的性质和判定，三角形的面积，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识是解题关键.

11.【答案】(6,-9)

【解析】解：•••以原点。为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△048放大，B的坐标为(—2,3),

•••点B的对应点夕的坐标为(-2X(-3),3X(-3)),即(6,-9),

故答案为:(6,-9).

根据位似变换的性质解答即可.

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

12.【答案】x2-7%+12=0

【解析】解：•：+%2=7,%1%2=12,

•••以Xi，X2为根的一元二次方程可为％2-7x+12=0.

故答案为/—7x+12=0.

直接利用根与系数的关系求解.

本题考查了根与系数的关系：若与，&是一元二次方程谣+版+。=0(30)的两根时，X1+X2=-^,

13.【答案】-4

【解析】解：如图，设AC与y轴交于点E,过C作以'1》轴为于点F,

则S矩砌HFC=2s&ABC=12，

**•S矩形ABOE+S矩形E0FC=也|+隹1=-卜1+七=12①-

,:AC”BF,

.EC_DC

OBDB2

・•・OB=2EC,

•••可设C(x,§),则4(一2/一第,

v4C〃x轴，

.”=

"%—2xf

・•,kI=-2k2②，

把②代入①，得2k2+k2=12,

•*•k2=4,

Afcx=—8,

:.七+々2=—8+4=—4.

故答案为：-4.

设4c与y轴交于点E,过C作CF1x轴为于点尸，根据矩形的性质得出5领%股。=2S«ABC=12,由反比例函

数比例系数k的几何意义得出S矩施BOE+S矩形EOFC=忙11+1^1=-^1+&=12①.根据平行线分线段成

比例定理得出黑=黑呈,那么。B=2EC,由此可设C（尤生），则4（一2/一"），根据林〃》轴，得出”=一空,

即抬=—2矽②，把②代入①，求出七=4,再求出的=—8,进而得出结论.

本题考查了反比例函数y=《中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为由，

是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.也考查了

矩形的性质以及平行线分线段成比例定理.

14.【答案】4

ab

【解析】解：过点。作QG〃4c交BF于点G,过B作BMJ.AC,过。作DN1AC,

BDG^LBCF92GDE〜二FAE,

DG__BD__J_D£_FD

~CF~~BC~0+1*~AF~~AE

1

・・・DG=4-CF,DG=bAF,

a+1

.AF=]BM_1+a

••赤-b(a+l)，~DN=~f

.S*ABF_AF-BM__1_

,•S&DFC~CFDN~Qb；

故答案为：4-

ab

过点。作DG//AC交EF于点G,过B作BM1AC,过。作DM1AC,由DG//AC,推出△BDG-XBCF,△GDEf

FAE,进一步推比例线段，求出差=忌乔器="，再根据三角形面积公式求出沁£的值.

CFb[a+l)DNaS&DFC

本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对

应线段成比例的应用，其中辅助线的做法是解题关键.

15.【答案】|+|「

【解析】解：如图所示，以4B为斜边作乙B4E=60。的Rt△B4E,连接4E,

BE,ED,

^\RtBAE-RtBCD,

A^ABE=乙CBD=90°-60°=30°,怨=黑，

DCBL)

：•Z-ABC=乙EBD,

V竺_BE

乂丽=丽’

ABBC

:.——=——,

BEBD

•••△48cs△EBD,

AC_AB_2

•••丽，=7T

则ED="C=怖口

则。在以E为圆心，|，号为半径的圆上运动，

vAE-VED>AD,

当4,E,。三点共线EI寸，4。最大，最大值为AE+ED=24B+ED=|+|，石,

53

+

故答案为:2-2-

以为斜边作NB4E=60。的Rt△84E,连接EO,AD,证明△48C〜ZkEB。，得出则。在以E为圆心，|7"3

为半径的圆上运动，当4,E,D三点共线时，AD最大，即可求解.

此题考查了圆的有关性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是添加辅助线构造相似三角

形.

16.【答案】解：①a=2,b=—3,c=1,

J=h2-4ac=9—4x2xl=l>0,

-b±Jb2-4ac34-1,

x=---------=~

2a2x2

11

=1>X2=2；

②方程化简，得

x(x—1)+2(x—1)=0,

因式分解，得

(%—l)(x+2)=0

于是，得

x—1=0或x+2=0,

解得Xi=1,x2=-2.

【解析】①根据公式法，可得答案；

②根据因式分解法，可得答案.

本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键.

17.【答案】解：如图，点。即为所求.

।

I

【解析】根据垂线的作图方法，过点c作4B的垂线，垂足为点0,则△ACOsACBO.

本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似的性质以及垂线的作图方法是解答本题的关键.

18.【答案】解：列表如下：

1234

1(1.1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1.2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1.3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

由上表可知，共16种可能等可能的结果，其中摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数有4种，

・•・摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率P=2="

lo4

【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可.

本题考查了利用列表与树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数n,再找出其中

某事件所占有的结果数m,然后根据概率的概念求出这个事件的概率P=渠

19.【答案】解：设每件应降价x元，则每件盈利(44-x)元，每天可售出(20+5x)件，

依题意得：(44-x)(20+5x)=1900,

整理得：x2-40x+144=0,

解得：X]=6,%2=34(不合题意，舍去).

答：每件应降价6元.

【解析】设每件应降价％元，则每件盈利(44-x)元，每天可售出(20+5x)件，利用每天销售该服装获得的

利润=每件的利润x日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.【答案】解：设48=%米，B/=y米.

•・•CD//AB,

ECD~AEBA»

.CD_EC

‘•而=丽’

,逑=/_①

x7+y①，

由题意，Z-DCF=Z.ABF=90°,Z.DFC=/.AFB.

工

*'.△DCF~ABFf

・・,*”，

ABBF

•・与V②，

由①②解得,「工，

(y=-3

r

X=

I21-

5

经检验，＜I的分式方程组的解.

y=143

k

・・・48=4.2米.

【解析】设AB=x米，BF=)/米.利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可.

本题考查相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于

中考常考题型.

21.【答案】解：(1)①当M(l,4)时，则C(l,2),

・•・伊+。=4,

kk+b=2

解得忆”

•••直线BC的解析式为y=-4x+6；

②设D(m,0),E(0,n),

当BO、CE为对角线时，

Co+1=^+m

In+2=4+0

.•・[I,

In=2

1

.•.D(2,0)E(0,2)，

2+1=m+0

当8C、0E为对角线时,L，

4+2=n+0

3

771=2,

n=6

此时点8、C、D、E共线，故舍去，

当BE、CD为对角线时，

fj4-0=m+1

(4+n=0+2

平=+

In=-2

。(一：,0),E(0,-2),

综上：心0),E(0,2)或D(一，,0),E(0,-2)；

(2)证明：延长MC、MB分别交工轴于G,交y轴于H,设

•*,S2OBC=S矩物GMH-S2OCG一S^BCM~S&BHO

441,42、,a、y

=联「1-熊-",(「)-1

=4-1———1

3

=2'

.•.△BOC的面积是个定值.

【解析】(1)①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为丫=kx+b,解方程即可;

②设O(M,0),E(0,n),分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；

(2)延长MC、MB分别交x轴于G,交y轴于H,设m(a,$,表示出△OBC的面积即可.

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平

行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决

问题(2)的关键.

22.【答案】解：⑴①•・•四边形是菱形，

・・・CD//AB,BC=AB=2,

・•.△EFC~>EABf

CFEC

•,(—=—,

ABEB

CF4

—=-----.

24+2

②过点4作用FBC于点r,如图,

・・•/,ABC=60°,AB=2,

・・・乙BAT=30°,

/.BT=1,CT=BC-BT=1,

:.AT=VAB2-BT2=C，

vCE=4,

•••TE=CT+CE=5,

・•・AE=VAT2+TE2=V3+25=2c.

vAD//BC,

•••△4Pos△EPB,

tAD_AP

丽=港’

2Ap

----

6pE

11

3-4-——.

2

vAD//BC,

•••△ADF^HECF,

:.A——D=——AF,

CEEF

­2=—AF.

4EF

11r，2y/~7

:.AAF=-EF=-A4E=^—，

PF=AF-AP=2；

6

(2)过点B作BE1AC,交。4的延长线于点E,过点N作NF14。，交4。的延长线于点F,如图,

vBC//AD,BELAD,NF1AD,

••・四边形BEFN为矩形，

BE=NF.

"/.ABC=60°,AB=2,

•••Z.ABE=30°,

■■AE=^AB=1,

BE=VAB2