山东省2023届高三第三次学业质量联合检测数学试题（含答案）

2023届山东省高三第三次学业质量联合检测

数学

本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.已知集合4=｛工"=«卜B=VyIy=tanx,%∈θ,ɪ>,则()

、V2/

A.A=BB.AVBCAoB=BD∙AUB=R

2.若f+χ+ι在复数范围内分解为（x-zj（x-Z2）,则在复数平面内，复数（I—对应的点位于（）

A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限

3.已知α,6均为不等于0的实数，则“∙^+2≥2”是“。＞0,匕＞0”的（）

ba

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，且%=5,q+S"=67,则是｛凡｝中的（）

A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项

5.我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一

个大正方形.如图①，是一个“勾股圆方图”，设Γ＞G=α,DH=b,GH=c∙,在正方形E/G"中再作四

个全等的直角三角形和一个小正方形〃KL,且KE〃AD，如图②.若。=3匕，且HF=2HE+M,则

λ+μ=()

6.已知椭圆。:=+与=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为居，A为C上位于第一象限的一点，AG与

ab

y轴交于点瓦若NKAg=NAg5=60。，则C的离心率为（)

B及「√5

L•----

24

7.已知y=/（x+6—左仅＞0）是R上的偶函数，且当XNk时，/（ɪ）=sm*—cz+2.若/（3）〉/（看），

e

则)

A.x1+x2>2kB.x1+x2<2k

C.∣x1—k\<∖x2—k\D.∣jq-A:|>∣x2-A:|

8.在三棱锥尸-ABC中，PA±AB,PA=6,AB=23C=2,二面角RAB-C的大小为135°.若三棱锥

P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，则当三棱锥P-ABC的体积最大时，球。的体积为（）

A.48√2τrD.巴

B.屈Trc

233

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,〃，c是两两异面的三条直线，aLb,CJL。，直线d满足d_L。，dVb,acd=P,bcd=Q,

则。与d的位置关系可以是（)

A.相交B.异面C.平行D.垂直

10.某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩"，N=

“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是（）

A.若该家庭中有两个小孩,则M与N互斥

B.若该家庭中有两个小孩,则M与N不相互独立

C.若该家庭中有三个小孩,则M与N不互斥

D.若该家庭中有三个小孩,则M与N相互独立

11.已知函数/（x）=lSinXI-丘在区间［0,2乃）上有四个零点，分别为当，

X2,，且%V工2<%3<工4，

则()

A.X2Λ-xy>2πB.x4-x2>πC.x3+x4<3πD.x2+x4>2X3

12.对于两个均不等于1的正数〃?和“，定义：rn*n=min{logmπ,log,,∕n},则下列结论正确的是（）

A.若且3求Q=2*4,则。=9

o*b

B.若o≥b≥c>l,且=c*a,则b=c

b*c

若0<α<0<c<l,则α*b-α*c=α*(2)

C.

D.若0<α<0<c<l,x>y>z>O,则(4**b∙v)∙(Z√*c]=2(α**c]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若G(x,y)是函数y=cosx图象上的一点，则K(Xq,2y)是函数/(x)=ACoS初+9)(A>0,

ω>0,Q<φ<π)图象上的相应的点，那么.

14.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽

100IOO

2

取100名高中生的身体素质指标值h(i=l,2,3,-，100),经计算E玉=7200,Zxj=100x(722+36).若

i=li=l

该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(4,(√),则估计该市高中生身体素质的合格率为.(用

百分数作答，精确到0.1%)

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(4,O∙2),则P(4-b≤X≤"+b)vO.6827,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.

15.若曲线IyI=X―。上恰有四个不同的点A(i=1,2,3,4)到直线x=—；及点。的距离都相等，则实

数。的一个值可以是.

16.已知函数/(X)=*+lnx+±-Inx,则7(x)的最小值是；若关于X的方程/(x)=2αx+2有3

XX

个实数解，则实数”的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知在数列｛%｝中，al=∖,a2=2,且对任意的k∈N",a2k,a2k+l,4*+2成公比为1+；的等比数列.

(1)在｛%｝中是否存在连续的三项成等差数列？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由；

(2)令b,=%-----求数列也｝的前〃项和S

λain-1

18.(12分)

记ZWBC的内角A,B1C的对边分别为a,b,c,已知α=2,/?sinA+2>∕3cosB=ʌ/ɜe.

(1)求A；

71

(2)设C=-,D为边BC上一点、,且N84O=NC4T>,求AD

12

央以物战-7万√6÷√2.Ti√6—v2

参考数据：sin—=----------,sin—=-----------•

124124

19.(12分)

如图，在三棱柱ABC—AgG中，。是AA∣的中点，E是CD的中点，点厂在AB上，且AF=3F6.

(1)证明：M〃平面ABC；

(2)若AA1_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=A4l=1,求平面。EF与平面EFG夹角的余弦值.

20.(12分)

某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为P，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X.

(1)若X=8,从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数y的分布列；

(2)己知P∈(0.75,0.85),集合A={H概率P(X=攵)最大}，且A中仅有两个元素，求E(X).

21.(12分)

22

已知双曲线uj-2r=l(4>0,b>0)的左、右焦点分别为K,F2,且内K∣=4,P(3,√Σ)是C上一点.

a~b~

(1)求C的方程；

(2)不垂直于坐标轴的直线/交C于M,N两点，交X轴于点A,线段MN的垂直平分线交X轴于点。，若

IAMl∙∣AN∣=2∣AO∣,证明：直线/过四个定点(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一个.

22.(12分)

已知函数/(x)=InX.

(1)证明：当0<x≤l时，——；当x>l时，/(%)>~—；

x+l%+1

(2)若关于X的方程/(x)=机---有两解x∣,毛(0<%<赴)，证明：

X

(i)0<a<e,n-'；

,,ll

(ii)x1+x2+π<3e^.

参考答案及解析

一、选择题

1.C

解析：由题意得A={川x"}=[0,+8),B=(O,+8),所以AcB=B,故选C.

2.B

解析：由M+x+i=。，得X=一■-±ɔ^-i.当Z]=一■-+，z2=一■时，Z=一"-—,

22122222122

Z2=-→y^i,所以（Z-7）3=（-Gi）3=3";同理，当ZLg一争,22=-3+告述寸，

（z；-¾）3=（√3i）3=-3√3i,故选B.

3.B

^,Uab'曰。bCcr-vb2-2ab（a-b）2ʌT曰，CEdClCTC

解z析r：由—I—≥2,得—I-----2=-----------------=----------≥0,于是αb＞O,则。＞0,力＞0或。＜0,

babaabab

b＜0,所以充分性不成立；反之，当α＞0,匕＞0时，-+-≥2.∕-∙-=2（当且仅当a=。时，取等号）,

baNba

则必要性成立.故选B.

4.A

解析：设等差数列｛q｝的公差为4,由％=5,得q+4d=5①；由q+S“=67,得124+1詈"=67,

即12a∣+55d=67②.由①②解得q=l,J=I,所以a“=〃，于是小斯）=3x10=30,是｛a,,｝中的第

30项，故选A.

5.B

解析：因为HF=HE+EL+LF=HE+L∙EK+HJ,EK=HK-HE=-HJ-HE,

33

所以HF=HE+LEK+HJ=HE+LLHJ-HE∖+HJ=ZHE+刊HJ,

3313J39

21016…

所以2+〃=—I=—，故选B.

399

6.A

解析：如图，由/斗46=乙4鸟8=60。，得AAgB为等边三角形，再结合对称性及椭圆的定义，得

IABl=忸用=忸耳I=M周=号，则8为AG的中点，从而OB为△片的中位线，OB〃A鸟，所以

AF21FiF2,所以忻闾=百∣AQ∣,即2c=冬包，则e=£=走，故选A.

3a3

7.C

解析:由y=f(x+/)一左是R上的偶函数,得f(_x+k)_k=f(x+k)_k,即/(-x+女)=∕(x+A),所

以/(X)的图象关于直线X=Z对称.当x≥Z时，由/(X)=2∖D≤0,得/(X)在区间伏,48)上为减

函数.根据/(X)图象的对称性，得后一4＜卜一女|，则C正确、D错误.又显然A,B均错误，故选C.

8.D

解析：设点P在平面ABC内的射影为，，考虑到二面角P-AB-C的大小为135°,则点〃与点C在直线AB的

两侧.如图，连接AH,因为R4J_A3,所以NQ44=45°,又PA=J∑,所以P"=AH=1,从而三棱

锥RABe的高为L要使三棱锥RABC的体积最大，必须使AABC的面积最大，此时只需ABLBC.因此点

C和点尸在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上.以A为坐标原点，建立如图所示的空间

直角坐标系心z.易知球。的球心。在底面4BC内的射影为线段AC的中点,于是设。(g,Lz).又4(0,0,0),

3

P(TQl),解得Z=—,则球O的半径

2

0A=^±,

2

二、选择题

9.BC

解析：如图，在正方体ABCr>—AgG。中，E是AH上一点（异于A）,AB,Be,所在直线分别为

4,b,d.当。2所在直线为C时∙，C与d平行；当AE所在直线为C时，C与4异面；若C与"相交，则。

垂直于c,d确定的平面，又“垂直于。，d确定的平面，易推出人与C共面，与已知矛盾；若c∙与d垂直，则

C垂直于α,d确定的平面，而6垂直于α,"确定的平面，推出6与c平行或重合，与已知矛盾，故选BC.

10.BCD

解析：若该家庭中有两个小孩，样本空间为C=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女））,M=（男，

女），（女，男）｝,N=∖（男，男），（男，女），（女，男）｝,MN=｛（男,女），（女，男）｝,则M与N不互

131

斥，=—,P（N）=-,P（MN）=—,于是P（MN）≠P（M）P（N）,所以M与N不相互独立，则A

242

错误、B正确；若该家庭中有三个小孩，样本空间为复=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女,

男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,M=｛（男，男，女），（男，女，

男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝,N=（男，男，男），（男，男，女）,

（男，女，男），（女，男，男）｝,MN=（（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝,则M与N不互斥,

313

P（M）=-,P（N）=-,P（MN）=-,于是P（MN）=P（M）P（N）,所以M与N相互独立，则C和。均

428

正确.综上，故选BCD.

11.AC

解析：由/（x）=0,得ISinXl=丘.由题意知，当0≤x<2万时，直线y=区与函数y=∣sinx∣的图象有四

个交点，且交点的横坐标分别为玉=0,%，⅞>匕，如图.设直线丁=辰与曲线y=∣sinx∣（xe[%,2万））相

切时走的值为“，于是斜率上的取值范围为（O,α）.根据y=∣sinx∣（x∈[0,2%））的图象知，卜inxj>卜inx2∣,

j

得卜in(w一")|>卜in(v-9)l，又0<X3^^%<∣,0<ΛΓ-x2<ɪ<所以七一万>万一々，从而

(3*>cosfx2-^「八3ππ

x2+xi>2π,则A正确：由卜inx∕>kinx2∣,得COS---------»XO<x——<—,

<2/422

,

0<%2—■—<—>所以/—Q-<“2—2从而“4一“2<i，则B错误；由卜inx/>卜in七I,得

(313π3ππc3ππ.3π3π

COSX.--->-cos——<一从而

(2⅞I»又°<Λt--^-刍<5，所以及一—ɪɜ›

√222

%3+z<37，则C正确；因为Z<曰，女e(0,α),当《接近O时，与离々比离Z近，所以々+%>2七；

当k接近α时，/离与比离马近，所以々+Z<2⅞，所以Z+Z与2⅞的大小关系是不确定的，则D错误.综

上，故选AC.

杪

X

12.BC

解析：当l<α<3时，Iog3a=Iog42,即log.'。=；,亦即。=3；=也；当α>3时，Iog,,3=log42,

即Ioga3=二，亦即。=9.综上，当Q>1口寸，Q=G或Q=9,则A错误；由--=c*a及a≥b≥c>∖,

2c

得Ioga=IOg》cJog”c,即用=兽.兽，B[Jlg2⅛=lg2c,即Igb=IgC或Igb=Tgc,即b=c或

IgQIgbIga

bc=l.由。≥c>l,得be>L从而可得b=c,贝!jB正确；若OVQVbVC<1,贝IJ

iii

ab-a*c=logah-logac=loga-f而由得α*[4=k)gg所以

a*b-α*c=α*(g)成立，则C正确；由指数函数/⑺=α'(0<a<1)是减函数，且“儿可得

ax<ay；由幕函数MX)=X'(y>0)是增函数,Ra<b,可得α>'<∕√,于是Oea*<Z√<1,所以

xyyxz

a*b=∖ogab=^∖ogab,同理〃*1=三k‰c,a*c=-∖ogac,所以

XyX

yzIogc，则D错误.综上，故选BC.

(优"')G'*1)：og/1l°g〃Clog,.记g%]

优*CZ一ɪIoguC-l°g”C

Xa

三、填空题

13.O

71

解析：实际上，是将y=COSX图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标伸长到原来的2

倍(横坐标不变)，得到函数y=2cos[x+.J的图象，即/(x)=2cos[x+.)于是/(qj=θ.

14.97.7%

ɪ100

解析：因为100个数据X,X2,X3,....玉OO的平均值方=诉Zxi=72,方差

100/=]

110022

T-IOOx2^×[100×(72+36)-100×72]=36,所以〃的估计值

SJ而出一可2

为〃=72,。的估计值为b=6∙设该市高中生的身体素质指标值为X,由

P(χ∕-2σ≤X≤χ∕+2σ)≈0.9545,得P(72-12≤X<72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545,所以

P(X≥60)=∕3(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+→(1-0.9545)=0.97725≈97.7%.

15.-ɪ(填写区间(一；,0)内的任一实数均得5分)

解析：易知到直线尤=一;及点的距离都相等的点的轨迹为V=X.由IyI=X-。，得

Cy=x-a,

y=x-a(x≥a)^y=a-x(x≥d).当射线y=x-α(x≥α)与抛物线V=χ相切时，由，得

J=%

y2-y-a=0,则由A=l+4α=0,解得。=一；；当射线y=x-α(x≥α)过原点。时，a=0,所以当

一2＜。＜0时，射线y=x—α(x≥g)与抛物线V=X有两个公共点(异于原点).此时，根据对称性，射线

4

y=α-x(Xza)与抛物线V=%也有两个公共点.故满足题意的实数a的取值范围是[一；,。].

16.2(θ,e^2)

解析：/(x)=z-+lnx+--In%=2max<-,∣lnx∣>,由/(x)=20x+2,得max∣2,∣lnx∣;=0r+l.设

XXlɪJIX

e[e—0<xWe

-,llnɪlh注意到曲线>=一与曲线y=∣ln灯恰好交于点A(e,l),显然，g(χ)=∖x"

XJX

(1lnx,x>e.

(比较上与IlnXI大小的推理见后附)，作出g(x)的大致图象如图，可得g(x)的最小值是1,从而f(x)的

X

_InΛ-1_1

最小值是2.设直线y=αx+l与曲线y=lnx(x>e)切于点3(如lnx)),则“0解得Xo=e2,

f⅞-θ⅞

从而α=e-2.由图象可知，若关于X的方程g(x)=6+1有3个实数解，则0<α<e<,即所求实数”的取

值范围是((Xe").

递减,从而∕z(x)>∕I(I)=e>0,此时一>∣lnx∣;(2)当x>l时，设m(x)=——IInXl=——Inx,显然加(%)

XXX

e

在区间(1,+8)上单调递减，所以当IVXVe时，m(x)>∕n(e)=0,即一〉|lnx|；当x=e时，加(e)=0,即

X

6e

—=IInXI；当X>e时，m{x)<m(e)=0,即一<∣InX].

XX

四、解答题

17.解：(1)存在4，4，生成等差数列.下面说明:

当A=I时，a2,%，%成公比为2的等比数列,

则%—2a、=2x2=4,q=2%=2x4=8,从而α4—=4；

333

当&=2时，4，%，％成公比为§的等比数列，则％=//=彳'8=12,从而％-4=4,

于是。4一“3="5-4，故4，%，生成等差数列•

注意：连续三项々*+1，4”+2，。2«+3伏CN)成等差数列，故只需要找出这样的三项均符合题意.

(2)由题意，对任意的左∈N*,得4K+2=[*)¾>即与"=(W^)

当火≥2时，得%⅛=α,∙R."∙4^∙∙∙a^k-2∙f-

%%«6a2(k-l)U√U√5>

当A=I时，4=2,适合上式，所以<⅛=2%2,

贝(JtZ.=~ʒ==—I

2

〃2a2fl-l4W-1(2〃-1)(2及+1)2{2n-l2〃+1

…0ILIll11∖H

所以S=-X1-----1---------FH-------------------=----------.

〃2I3352n-l2H÷1J2n+l

18.解：(1)因为。=2,所以〃SinA+J^acosB=Gc.

由正弦定理，WsinBsinA+∖∕3sinAcosB=ʌ/ɜsinC.

又SinC=sin(A+8)=sinAcosB÷cosAsinB,所以当cosAsinB=sinAsinB.

因为OVJB<TT,所以sin3>0,所以百CoSA=SinA,即tanA=J'∙

TC

又OVAV",所以A=一.

3

(2)法一：由题意，得XAOSinNC4。+LCXAoSinNBA。=JbcsinNBAC,

222

结合NBAC=工，ZBAD=ZCAD=-,解得Ao=^ɛ.

36b+c

bca4,4sinB4sinC

在∙∆ABC中，由正弦定理，得一：一-=.=~~=-^rr则8=­τ=r~,

SinBSinCsinZBAC√3√3

..rlπ.π“√6+√2√6-√2

从而A)一幽-4sinbsinC_SlnFn正4×-----------×------------

Z44

从而3"CFiC一SiaSig

√6+√2√6-√23

1212

TTTTJT

法二：由题意，得N84O=NC4。=—.又。=一，所以B=——.

61212

ADBD

在aABO中，由正弦定理，得

SinBSinZfiAD

AoSinNBAO4°SInZ

则8。

SinBSinKC.7万’

2sιn

1212

ADCD

在AACD中，由正弦定理，得

sinCSinNCAD'

iADsinZCADAD

CD=------------------=--------

则sinC2sinɪ'

12

ADAD

由%>+CD=2,得c.1π*=2

2sin——

12

.lπ.π“√6+√2√6-√2

4λsιn——sin—4×----------×-----------r

1212_____44_>6

解得A。=

.7乃.πR+五底-五一3

sin——+sin—

1212

19.(1)证明：法一：如图，取AQ的中点G,连接GE,GF,由。是AAl的中点，得A∣G=3GA.

因为4/=3所，所以4叵=至=3,从而GF〃AB.

GAFB

又GFςt平面A3C,ABU平面ABC,所以GE〃平面ABC.

因为G,E分别为A。，Cz)的中点，所以GE〃AC.

又GE仁平面ABC,ACU平面ABC,所以GE〃平面ABC.

又GECGF=G,GE,GZ7u平面GEF,

所以平面G跖〃平面ABc

因为EFU平面GE尸，所以EE〃平面A8C.

法二：由。是AA的中点，E是CO的中点，得

∣

DE=-DC=-(DA+AC)=-Λ1A+ΛC=-AA+-AC

2224"l2i

由点尸在4B上，且A∕=3Eβ,

得o/=A/一A0=；AB—；AΙ4=((4A+AB)—;AA=；AA+]AB,

所以EF=O尸—DE=(；AA+：A3]—(；4A+gAC)=/A3—3AC,

所以向量EF,AB'AC共面.

又EF仁平面ABC,AB,BCu平面A8C,所以所〃平面ABc

X

注意：若以A为坐标原点，分别以AC、AA∣所在直线为y轴、Z轴建立空间直角坐标系，不给分.

(2)解：如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA的方向分别为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角

坐标系，则o[o,o,;1,E[O,1ɪLrf∣,θij,C1(0,1,1),

从而DE=(0，L),E六=(W0),ClE=(OW).

-y--z=0,

m∙DE=0,24

设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则,即《

m∙EF=0,31

取尤=2,则y=3,z=6,得平面。EF的一个法向量为m=(2,3,6)；

—3a——1b,=c0,

n∙EF-0,42

设平面EFC的法向量为=(a,b,c),则即<

1n13八

H∙C1E=0,——b7——c=(),

24

取。=2,则〃=3,c=-2,得平面E∕C∣的一个法向量为〃=(2,3,-2),

1.m∙n1√17

则cos<m,〃〉=------=-----7==-----，

∣∕n∣∣π∣7×√17119

故平面QM与平面ErG夹角的余弦值为姮.

119

20.解：(1)由题意知，y的所有可能取值为0,1,2,

则S噎4FD=詈啥w=2>⅛=≡

所以丫的分布列为

Y0I2

丁1628

P不孤不

P(X=k)≥P(X=k—l),

(2)由题意，P(X=Z)=COP"i—p)g

P(X=左)2P(X=左+1),

CM(I-P)M>c"T(I-p)''-k,

解得llp-l≤Z≤llp.

C{0p*(l"fC"+∣(>p产,

因为A为双元素集合，且11〃一(11〃-1)=1,所以A={11〃—LI1〃}.

因为0.75<p<0.85,所以8.25<Ilp<9.35.

9

因为IlP为正整数，所以llp=9,即P=jy∙

90

由题意，X~B(10,p),因此E(X)=IOP=笠.

21.⑴解:设C的焦距为2c,则2c=4,即c=2,6(-2,0),每(2,0).

由双曲线的定义，得2α=∣尸用TPcJ=7(3+2)2+(√2)2-7(3-2)2+(√2)2=2√3.

即α=√L所以匕=O==I.故C的方程为三一丁=1.

(2)证明：设A(s,0),M(xl,yl),N(∕,%),直线/的方程为x="+sQ≠O).

联立。整理得(产-3)y2+2s∕>+s2-3=0,

∖t2-3≠Q,[r2≠3,

由题意，得〈22/2c∖∕2c∖C即〈2；

2222

Δ=4st-4(厂一3)12_3)〉0,[5+Z>3,

.-2Sts2—3

贝π2X%=E

∖AM∖-∖AN∖^AM∙AN∖^∣(χ—s)(w—S)+Xy2∣=H•%+x%I=卜+1)XT=(S+1)

设MN的中点为G(Xo,%)，则No=>=F⅛,X。=%+S=J芸=+s=U?

Zt—3t—Jt—3

所以线段MN的垂直平分线的方程为y+3F=-rx+ɪ—