2023-2024学年重庆市高二年级下册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高二下册期末数学模拟试题

一、单选题

1.命题“TxeR,/<2'”的否定是（）

A.VxwR,x2>2'B.瑞eR,>2X"

2

C.玉°eR,x：<2"D.VxeR,x>2'

【正确答案】B

【分析】根据全称命题的否定分析判断.

【详解】命题“VxeR,f*2”的否定是“3x°eR,片22出”.

故选：B.

2.已知集合/=//},8={1,9,可，若NuB,则实数a组成的集合为（）

A.{-3,-1,0,3}B.{-3,3}

C.{-1,0,3}D.{-3,0,3}

【正确答案】D

【分析】根据题意分/=9和两种情况运算求解，注意集合的互异性.

a2=9a2-a

【详解】,：AcB,则有："a*1或"Hl,解得：a=3或a=-3或a=0,

"9"9

二实数a组成的集合为{-3,0,3}.

故选：D.

3.若不等式/+3丫+〃?<0的解集是（〃,-1）,则实数机，〃的值分别为（）

A.2,—2B.12,~2C.2>—3D.—2»—3

【正确答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系即可求得机，力的值.

【详解】由不等式/+3X+〃?<0的解集是

—3=H-1〃=—2

则,得

m=-nm=2

故选：A.

4.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6,在第一次击中9

环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为()

A.0.24B.0.36C.0.48D.0.75

【正确答案】C

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件Z,“第二次击中9环”事件8,

则由题意得尸(4)=0.6,P(B|Z)=0.8,

所以她两次均击中9环的概率为尸(48)=P(/)xP(8|力)=0.6x0.8=0.48.

故选：C.

5.设函数/(力=与斗的最大值为M，最小值为掰，则知+加=()

A.0B.1C.2D.4

【正确答案】C

【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.

【详解】由函数/•(必=匚"三=1-4^，显然/(0)=1，当xwo,―一m，

x+4厂+4%+一

x

4

440<——<1

当4>0时，x+->4,当且仅当工=一，即x=2时，等号成立，则，4一,故

XXX+一

X

l>/(x)>/(2)=0;

4

44Q>....>-1

当x<0时，x+-<-4,当且仅当x即x=-2时，等号成立，则4-故

XxX+一

X

K/(x)</(-2)=2；

综上可得，M=2,m=0,则M+机=2.

故选：C.

6.开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往4B,C三所中学开展防疫知识宣传，

若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到Z中学，则不同的安排方式有()

A.6种B.12种C.15种D.18种

【正确答案】B

【分析】由题意被安排到“中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原

理即可.

【详解】①若甲单独安排到/中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到&C两个中学，

共有：C；A；=6种方式，

②若甲和另一名防疫专家被安排到/中学，则有：C；=3种方式，

则剩下的2名防疫专家分到到8,C两个中学，有：A；=2种方式，

由分步乘法原理有：C；A；=6种方式，

又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到力中学，则不同

的安排方式有：6+6=12种方式，

故选：B.

7.已知正实数满足2x+3y-个=0,若3x+2”t恒成立，则实数r的取值范围是()

A.?<25B./<25C.fW24D./>24

【正确答案】A

【分析】利用基本不等式中T”的妙用，可得答案.

23

【详解】由正实数x,y,2x+3y-盯=0,则二+—=1,

=纥9+4+以13+2

即3x+2y=（3x+2y）

yx

当且仅当竺="，即x=y=5时，等号成立，贝IJY25,

y%

故选：A.

8.已知〃x)是定义在R上的奇函数，且/停)=1,函数g(x)=(x-2)2/(x-1).若g(x)的

图象关于x=2对称，则g

【正确答案】D

【分析】由g(x)的图象关于x=2对称，整理可得/(x-1)=/(3-x),再结合/(x)是定义在

R上的奇函数，整理可得/(x+4)=/(x),可求得即可求结果.

【详解】：g(x)的图象关于x=2对称，贝！Jg(x)=g(4-x)4|](x-2)2/(x-l)=(2-x"(3-x),

.•.当x*2时,则f(x-l)=/(3-x),

又：八x)是定义在R上的奇函数,则“x-l)=/(3-x)=-/(x-3),即/'(x+2)=-/(x),

.♦./(x+4)=-/(x+2)=/(x),即/(1=/1胃=_/(2=一1，

故选：D.

二、多选题

9.下列选项中，p是q的充要条件的有()

A.p：A48C两边上的高相等，q：A48c是等腰三角形

B.p：x,y均为无理数，q：x+y为无理数

C.p:|a+〃|=|4+|4，p：ab>0

D.p:函数♦+bx+c图象经过点(1,0),q：a+h+c=0

【正确答案】AD

【分析】根据充要条件的定义，对于A,利用三角形的面积公式；对于B,C,利用举反例；

对于D利用二次函数的性质，可得答案.

【详解】对于A,设在/5C中，Z6边上的高为力,力。边上的高为外，

由P,则z=为，由S诋=；・%♦»阴=；・〃2,则彳8=4C,即夕成立；

由4,假设/8=NC,由则九=为，即p成立，故A正确；

对于B,当X=y=I+&,则x+y=l-应+1+夜=2,显然此为有理数，即当P成

立时，9不成立，故B错误；

对于C,当。之0,6W0时，卜+“=0+6=同+0],则"WO；故C错误；

对于D,由P,则当x=l时，y=a+h+c=O,即成立；由9，显然P成立，故D正确.

故选：AD.

10.若函数/'(X),g(x)均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是

A./(x)+g(x)B./(x)-g(x)

C.[〃x)TD./(g(x))

【正确答案】ACD

【分析】设玉>々，由题意可得/(不)>/(々)，g(xj>g(x2)，利用单调性的定义可判AC；

举反例可判断C；根据复合函数的单调性的判断方法可判断D.

【详解】函数/(X)，g(x)均是定义域为R的增函数，所以f(x),g(x)不是常数函数,

设占>々，则/(X1)>/(X2),g(x|)>g(x2),

对于A,设再>X2贝!|/(X1)+g(X1)-/(X2)-g(X2)=/(xJ-/(X2)+g(X1)-g(X2)>0,

所以/(x)+g(x)为单调递增函数，故A正确；

对于B,函数/(x)=x,g(x)=3x均是定义域为R的增函数，但是/(x)g(x)=3/不是单调

增函数，故B错误；

对于C,设司>々，则

[/(范)了-[/(々)了=(/(*)-/d))[(/(占))2+/(西)/卜)+(/(々))]

因为/(为)>小)，所以"a)+?a))+]/&)y>0,

33

[/(X,)]-[/(X2)]>0,即[/(x)了是定义域为R的增函数,故C正确：

对于D,因为函数〃x)，g(x)均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得

/(g(x))是定义域为R的增函数，故D正确.

故选：ACD.

11.已知X~N(1Q；),y~N(O,&),则下列结论中正确的是()

A.若O[=0,则p(x>i)>p(y>o)

B.若Q=0,贝iJP(X>l)+P(y>0)=l

C.若0>%，则P(04Y42)<P(-14ywi)

D.若％>%，则P（04X41）>P（04y«l）

【正确答案】BC

【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB选项；作变换Z=X-1,则Z~N（O,b；）,

利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项.

【详解】对于A选项，若0=5,则尸（X>1）=尸（y>0）=g,A错；

对于B选项，若6=0,则尸（X>l）+P（y>o）=2x；=l,B对；

对于C选项，令Z=X-1,则Z〜N（o,b；）,

若则尸（04X42）=尸（-14Z41）<P（-14y41）,C对：

对于D选项，令Z=X-1,则Z~N（0。；），

若%>d，P（0<A,<l）=P（-l<Z<0）=P（0<Z<l）<P（0<y<l）,D错.

故选：BC.

12.已知集合切=卜|》=/-/?2,"?,”"},则（）

A.22eA/B.24eM

C.Yx=2k-\、keZ、xeMD.\fx,y&M,xy

【正确答案】BCD

【分析】由x=（切+冷（〃-〃），则可得到x为奇数或4的倍数，从而可以判断A,B；根据

2k-\=k2-（k-\f,即可判断C：讨论/中元素的情况，进而可判断D.

【详解】由彳=m2_〃2=（加+〃）（加_/）,

则W+N,W-N同为奇数或同为偶数，所以X为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；

因为2%—1=r—（A—1）~,且"―所以x=2k—leM,

故Vx=2&-l«€Z,x€"成立，故C正确；

又2%+1=（%+1），-/，所以Vx=2%+l,%eZ,xwA/,

由x/e",则xj为奇数或4的倍数，

当X」中至少有一个为4的倍数时，则中为4的倍数，所以veM,

当x，y都为奇数时,则可令X=24+l,y=2k2+l,kt,k2eZ,

所以初=（24+1）（2左2+1）=2（2桃2+勺+无2）+1，尢内wZ,所以孙eA/,

故Vx/eM,keM,故D正确.

故选：BCD.

关键点睛：涉及病-〃无丸〃eZ）数的特性的探讨，利用奇数偶数的性质进行分类讨论是解

题的关键.

三、填空题

13.已知集合/={x|x>%,xeR},5=|x|x2-x-2>0,xeR|,若Zu（a8）=/,则实数人

的取值范围为.

【正确答案】k<-\

【分析】利用二次不等式求解集合5的元素，根据集合的运算，建立不等式，可得答案.

【详解】由不等式x2-x-2N0,分解因式可得（x-2）（x+l”0,解得x4-l或壮2,即

8={x|x4-l或xN2},

a8={#1<》<2},由4口隔8）=/,k<-\.

故答案为.A4-1

14.我校大礼堂舞台设备需要更换，设备采购费用为5万元，设备使用、检修等费用第一年

为0.2万元，后逐年增长0.1万元，则本次采购设备使用年后停用，可使年均花

费最小.

【正确答案】10

【分析】根据题意结合等差数列的通项公式和求和公式求得到第，i（〃eN*）年，年均花费为

2+2+0」5万元，再利用基本不等式运算求解.

20n

【详解】由题意可得：第年的设备使用、检修等费用为0.2+0」5-1）=0]〃+01万

元，

/1（0.2+0.1«+0.1）

则到第年，年均花费为5+0.2+0.3+...+（0.1”+0」）_5+）_„5n..

nn20n

万元,

V^-+-+0.15>2.tx5+0.15=1.15,当且仅当白=2,即〃=10时等号成立，

20nV20n20n

...本次采购设备使用10年后停用，可使年均花费最小.

故10.

I'+4X>0

15.已知函数/（x）=21cC，若/（X）在定义域上有最小值，则实数a的取值范

x+2ar+2,x<0

围是.

【正确答案】［1,+8）

【分析】根据分段函数的最值结合二次函数的性质，即可求得。的取值范围.

【详解】对于二次函数y=x2+2ax+2=（x+a『+2-a2可知：开口向上，当x=-a时取到最

小值2-<?,

当x>0时，贝Ij/（x）=x3+a>a,即/（x）在（0,+8）内无最小值，

若/（x）在定义域上有最小值，则有：

/、/1［—a-0

当-a40时，贝！|/（力在（-吗0］上的最小值为2-/,则2-2<〃，解得。加：

当-a>0时，则“X）在（-8,0］上单调递减，故〃x）在（-8,0］上的最小值为"0）=2,则

［—a.>0

,无解；

［2<a

综上所述：实数a的取值范围是［1,+8）.

故答案为.［1,”）

四、双空题

16.已知卜-立广（〃€、），当〃=3时，其展开式中/的系数为；记展开式中含

x的奇次基的项之和为S（x,〃），贝.

【正确答案】-40应-23"-1

【分析】空1：利用二项展开式分析运算；空2：根据题意令『为奇数、x=0求S（正,〃），

再结合二项式系数的性质运算求解.

【详解】(x-4广的二项展开式为小C，f=0,l,2,...,2,,

空1：当"=3时，令厂=3,则展开式中V的系数为卜五?C，=-40G；

空2：令厂为奇数，则2〃-r为奇数，则

5(%〃)=卜应月521+[方)心,尸1+_+卜®j"'c才攵，

令工=近,则

s/〃)=-[(&)C；“(可"+(何C"&广"+...+(何"飞丁(到=_©,+C：,,+...+C")2"

>

由C"+C；,+…+C；：T=22-1,可得S(&,〃)=-2，”T.

故-40后；-2M，

五、解答题

17.已知函数/(x)=i-x+：.求：

(l)/(x)在x=l处的切线方程；

(2)/(x)在；,2上的最小值和最大值.

【正确答案】(1))=1

(2)最大值为|,最小值为1

【分析】(1)先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；

(2)首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的极值，算出端点值通过比较即

可求出最值.

【详解】(1)由条件J'(x)=2x_l-3=2x：f-l

因为/(1)=1，/(1)=0，

所以/㈤在x=l处的切线方程为、=1

(2)因为+x+l),g《xW2，令/'(x)=0=>x=l,

当;<x<l时，/'(x)<o；当l<x<2时，.欢x)>o

所以/(x)在(；,1)单调递减，在(1,2)单调递增.

从而当x=l时，/(幻有极小值/⑴=『-1+；=1,即为最小值.

因为小=：，/(2)=|，/⑵>佃，

所以当x=2时，/(X)有最大值为

2

18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京张家口举行.为调查不同地域青

少年对冰雪运动的了解情况，某机构抽样调查了北京、天津、上海、重庆等四个城市的部分

高中学生，调查问卷共20个题目.

(1)若某个参加调查的同学能确定其中10个题目的答案，其余10个题目中，有5个题目他

能够答对的概率均为0.6,另外5个题目他能够答对的概率均为0.2,求该同学答对题目个数

的均值；

(2)将重庆和上海并为“南方组”，北京和天津并为“北方组”，通过调查得到如下列联表：

了解程度

地域合计

不了解非常了解

南方组53112165

北方组96139235

合计149251400

请在参考数据②中选择一个%,根据a=%的独立性检验，分析受调群体中对冰雪运动的了

解程度是否存在南北差异.

n^ad-bcy

参考公式:力2=

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

参考数据：Q400x(53x139-112x96)400x(53x112-96x139)2〜]$]37

»3,161，

165x235x149x251165x235x149x251

400x(53x96-112x139)2

X30.295.

165x235x149x251

②独立性检验常用小概率值和相应临界值:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.0828

【正确答案】(1)14

(2)答案见解析

【分析】(1)根据事件满足的分布情况求出均值即可；

(2)零假设为"°,然后根据已知条件对冰雪运动的了解程度与南北地域差异独立进行分析

即可.

【详解】(1)记答对概率为0.6的5个题目中，该同学答对的个数为X；

答对概率为0.2的5个题目中，该同学答对的个数为丫，

则X5(5,0.6),Y5(5,0.2),

所以，该同学答对题目的均值为10+5x0.6+5x0.2=14

(2)零假设为对冰雪运动的了解程度与南北地域差异独立.

由条件及参考数据，得％2=3.16.

(i)若选择％=2.706,则/>x«

根据小概率值a=().1的独立性检验，推断/不成立，即认为对冰雪运动的了解程度与南北

地域差异有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.

(ii)若选择％=3.841,则

根据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据推断“°不成立，即认为对冰雪运动的

了解程度没有南北地域差异.

19.如图，三棱锥尸一/8C中，%_1_平面/8C,ABA.BC.

p

B

(1)证明:平面P8c_L平面PAB-,

⑵若Z8=ZC=1,PA=2,M为棱尸C的中点，求平面M48与平面RIB夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据题意结合线面、面面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系，利用空间向量求面面夹角.

【详解】(1)因为为_L平面48C,8Cu平面/8C,所以口J_5C.

因为/B_L8C,且PA=A,AB,以u平面以8,所以8CJ_平面以8.

因为BCu平面PBC,所以平面尸8C_L平面PAB

(2)以8为原点，8?的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系8—xyz,则

8(0,0,0),。(1,0,0),/(0,1,叽尺0,1，21J,

则/二（0,1,0）,BM=

Xf

n•BA=y=0

设平面M48的法向量为则，X11

n-BM=-x-\■_y+z=0

22

令x=2,则y=0,z=-l,即£（2,0,—1）,

由(1)知平面BIB,取平面处8的法向量为8c=(1,0,0),

xf

所以平面MAB与平面PAB夹角的余弦值为学.

20.有一个开房门的游戏，其玩法为：

盒中先放入两把钥匙T和两把钥匙尸，T能够打开房门，尸不能打开房门.

每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第

二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.

若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终

止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙F,继续下一轮抽取，直至

“成功”.

(1)有1000名爱好者独立参与这个游戏，记，表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，了表示对应的

人数，部分统计数据如下表：

ti2345

y507144723225

若将y=+a作为了关于f的经验回归方程，估计抽取7轮才“成功”的人数(人数精确到个

位)；

(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏

要进行三轮的概率.

一一

2孙一“盯

参考公式：最小二乘估计♦=Y------1，a=y-bx.

/=1

5J-15

参考数据：取Zx；=L08,x=0.3,其中x,=R，x=

【正确答案】(1)14人

⑵二

20

【分析】（1）利用参考数据以及最小二乘法公式求出6、°的值，可得出经验回归方程，然

后在回归方程中令1=7,可求得结果；

（2）设事件A为“第一轮成功”，事件B为“第二轮成功”，则A、B相互独立，分析可知游

戏要进行三轮，即前两轮均失败，计算出P（/）、P（8）的值，利用对立事件和独立事件的概

率公式可求得所求事件的概率.

【详解】(1)解：令玉=5，^y=bx+a,

5144723225-507+144+72+32+25一

由条件知Yx.v.=507+—+—+—+一=554------------------------------=156,

金491625y=

空上必粤320^

所以6二弋------50794

1.08-5x0.320.63

»=1

a=156-507.94x0,3=3,618，从而y=507.94x+3.618，

故所求的回归方程为夕=节507”94+3.618.

所以，估计当，=7时，y==5079+43.618,14,即抽取7轮才“成功”的人数约为14人.

49

（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.

设事件A为“第一轮成功”，事件B为“第二轮成功”，则A、B相互独立.

因为叩）=舁笔捍用।C；C；A；=3

P（B）=

A；A；10

所以，前两轮均失败的概率为尸（券）=P«）尸（同=gx'=’.

故游戏要进行三轮的概率为＜.

20

21.平面直角坐标系中，已知点。（-2,0）,T2（2,0）,片（-1,0）,F2（1,0）.直

a

线MTi,M乃相交于点“，且它们的斜率之积为一：，延长至点尸，使得|心|=|%|.

（1）求点M和点尸的轨迹方程，并说明其轨迹；

（2）设点M和点P的轨迹分别为片，E2,经过名的直线/交用于4C两点，经过乙且与/

垂直的直线交£于8,。两点.若四边形的面积为6岔，求直线/的方程.

【正确答案】（1）答案见解析

(2)x+2y-1=0或x-2y-1=0

【分析】(1)设V),由题意可得一=•三=-三X*±2),由此能求出点M的轨迹

方程，再根据椭圆定义得|加用+MK|=4,结合=可得出忻P|=4,即可求出点

P的轨迹方程.

(2)设直线/的方程为:y=Z(x-i),%HO,联立直线/和椭圆方程，表示出弦长MC，再设

经过用且与/垂直的直线皿的方程为:y=求出£到直线"7的距离，进而表示出

面积，求解出左，即可得到直线/的方程.

【详解】(1)设M(x,y),由条件，

仁•-A?=-：(XH±2),整理得《+己=1QHO),

x+2x-24'，43

所以点M的轨迹是以耳，工为焦点，

长轴长为4的椭圆(除去其长轴顶点).

所以|例用+|四周=4,\MP\^\MF2\,且点P在的延长线上，

所以|g|+|A/P|=忻耳=4

故点尸的轨迹是以耳为圆心，半径4的圆(除去其与x轴的交点).

点尸的轨迹方程为(x+l『+/=16(y#0).

(2)由条件，设直线/的方程为：y=Mx-l)#/O

代入宁+：=1,整理得:(4/+3卜2-2+442-12=0,

设”(七,必)，。(匕,%)，则/+々=二：？，Ax'=?，

QK+3QK+J

所以|女|=行除一占卜塔31

设经过外且与/垂直的直线"的方程为:y=-0(x-l).

K

则”到直线m的距离d=-j==，忸0=2"万=4杵¥，

故四边形月8CZ)的面积S=g|NCj-忸&=24

由条件，2%厚1=6下，解得《=±1,

飞4k2+32

故直线/的方程为x+2y-l=0或x-