2023-2024学年河南省新乡市九年级上学期期末考数学试卷含详解

2023—2024学年九年级期末学业水平检测

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置.

2.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.

3.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上.答在试卷上的答

案无效.

一、选择题.

1.若，二7有意义，则X的取值范围为（）

Ax>7B.C.x>7D.x<7

2.下列方程一定是关于％的一元二次方程的是（）

A.--%2=2B.3-2x=lC.2x2=0D.ax2+x=0

X

3.如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A,B,C,。均在横梁的端点

处，若AB=62cm,则AO的长为（）

B.150cmC.155cmD.186cm

4.下列运算正确的是（）

A.非+下=MB.712-73D.（2忘了=4四

5.某学校随机调查了该校100名学生一周的睡眠状况，并把他们平均每天的睡眠时间/（单位：h）统计如下:

时间（h）t<77<r<88<r<9t>9

人数6324121

根据以上结果，若随机抽查该校一名学生，则该学生一周平均每天睡眠时间不低于8h的概率为（）

A.0.62B.0.38C.0.73D.0.96

6.某咖啡店n月第一周的营业额为3.5万元，第三周营业额为5万元.设这三周营业额的平均每周的增长率为x,

则可列方程为（）

A.3.5（1+2x）=5B.2x3.5（l+%）=5C.3.5（l+%2）=5D,3,5（l+x）=5

7.如图，点A,B,C均在正方形网格纸中的格点上，则sin/ACB的值是（）

述

8.对于实数a,b定义运算“③”为。区人=々2—2"，例如：3（8）2=32—2x3x2=—3，则关于彳的方程

x⑤亿+1）=-2左的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

9.如图，矩形ABCD的边AB=4,点E是边上的一点，连接AE,将，ABE沿AE折叠，使点3落在边CD

上的点8'处，若VA3Z）与△■B'EC的面积之比为4:1,则AD的长为（）

8"..............£C

8165

A.—B.—C.—D.5

552

10.如图，抛物线y=ad+6x+c分另IJ交X轴，y轴于点A,B,对称轴为直线x=l,下列结论：①而c<0；②

4ac—尸>0；③4a—2/?<0；④若点M（—3,yJ,N（2,%）在抛物线的图象上，则%>为.其中正确结论的

个数是（）

\A

3\*

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.计算：2cos45°=.

12.将抛物线y=-（x-2y+2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式为

13.如图，在RtZVLBC中，NB4c=90°,点、D,E,产分别是边A3,AC,的中点，连接Ab，DE.若

AB=6,AF=5,则AE的长为.

14.已知。，b是方程/一5%+7=0的两个根，则〃—4。+6—3=

15.如图，在矩形A3CD中，AB=10,AD=12,G是延长线上的一点，且AG=3,E是边上的一个

动点（点E不与点B,C重合），将一G3E沿GE折叠，当点B的对应点尸落在矩形任意一边所在的直线上时，BE

的长为.

三、解答题

16计算：

⑴(―1产+产不-Jgx加

(2)解方程：2/+8X+5=0.

17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，qABC的顶点均在小正方形的格点

上，请完成下列问题：

（1）画出一ABC关于x轴对称的图形与G，并写出点片的坐标；

（2）以点B为位似中心，1:2为位似比，在网格中画出一ABC放大后的对应图形，.45。2；

（3）求（2）中.425c2的面积.

18.如图，等边三角形ABC的边长为6,点P为上的一点，点。为AC上的一点，连接AP,DP,若

ZAPD=60°,PC=4,求A£）的长.

19.九年级（1）班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致.生物老师决定通过游戏的方式确定最终课代表的

人选，游戏规则如下：

第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗匀后，随机抽取一张；

第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗匀后，随机抽取一张；

若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙为课代表.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

20.灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱.某水果批发商销售一批灵宝苹果，每箱苹果的成本是40元，经

过调查发现当每箱苹果的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.

（1）若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱灵宝苹果的售价；

（2）这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每箱灵宝苹果的售价为多

少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？

21.小颖家和学校仅隔一条马路，站在阳台上就能看见教室所在的教学楼CD.在学习完“解直角三角形”后，老

师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度，小颖决定测量教室所在教学楼CD的高度.并

制订了测量方案，测量结果如下表:

活动课

测量教室所在教学楼CD的高度

题

活动目

运用三角函数知识解决实际问题

的

活动工

测角仪、手机应用一一AR测量

具

AE

方案示

、、C

意图

BD

如图，点B,。在同一水平直线上.

(1)利用手机应用“AR测量”测得小颖家阳台A处离地面的距离AB为

测量步

28m；

骤

(2)利用测角仪在A处测得教学楼点。处的俯角NE4c=14。，教学楼点。

处的俯角ZEAD=3Q°.

请运用所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助小颖求出教学楼CD的高度.(结果保留整数，参考数据:

sinl4°«0.24,cosl4°«0.97,tanl4°«0.25,百合1.73)

22.随着国民经济和城市化建设不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多

的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉式立

交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点.某下沉式立交桥的主路桥截面呈抛物线形，

如图以主路桥面最低点。为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，已知主路桥面跨径

AB=100m,主路桥面的最低点到A5的距离为10m.

(1)求抛物线的表达式;

（2）由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象.在一次暴雨后，桥面

积水跨径CD为10m,小林的爸爸打算驾驶普通轿车从公司回家，已知普通轿车的安全涉水深度不大于30cm,

请你帮小林的爸爸计算一下他能否驾车从这个下沉式立交桥安全通过？

23.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=nAC（n>0）,点尸是边上一动点（不与点8,C重合），作射线

AP,将A3P沿AP折叠得到点8的对应点O,连接CD,将射线CD绕点。逆时针旋转90°交射线AP于点

Q.

图1图2

【问题发现】（1）如图1,①ZCAQ与ZCBD的数量关系为；②若〃=1,猜想线段CD与CQ的数量

关系为________

【类比探究】（2）如图2,若〃=也,请问（1）中②的结论还成立吗？并说明理由;

【拓展应用】（3）在（2）的基础上，已知，AC=2,在点P移动的过程中，若△3CD为直角三角形，请直接

写出A。的长.

2023—2024学年九年级期末学业水平检测

数学

一、选择题.

1.若F不有意义,则x的取值范围为（）

A.%>7B.龙工7C.x>7D.xv7

【答案】A

【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数非负，根据二次根式有意义的条件求解即可.

【详解】解：若4^7有意义，则％—7»0即x?7,

故选：A.

2.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A.x2=2B.3—2x=lC.2x?=0D.ax2+x=0

x

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次

数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案..

【详解】解：A.-—必=2,不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

x

B.3-2x=l,是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

C.2f=0,是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

D.ax2+x=0<当。=0时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

3.如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A,B,C,。均在横梁的端点

处，若A3=62cm,则的长为（）

A.105cmB.150cmC.155cmD.186cm

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

如图，作石于E,作AFLO尸于尸，由题意知，BE〃DF，

【详解】解：如图，作于E，作AFLD尸于产,

AE_2

由题意知，BE〃DF,

AF-5

.ABEs.ADF，

ABAE622

/.—=—,即nn一=一，

ADAFAD5

解得，40=155,

故选：C.

4.下列运算正确的是（）

A.V5+V5=710B.厄―C.率=3D.（20『=472

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案.

【详解】解：A、6+日=2有，原计算错误，不符合题意；

B、历-6=26-拒=5原计算正确，符合题意；

C、巫=述=也，原计算错误，不符合题意；

662

D、（20甘=8,原计算错误，不符合题意；

故选：B.

5.某学校随机调查了该校100名学生一周的睡眠状况，并把他们平均每天的睡眠时间『（单位：h）统计如下:

时间（h）t<77<r<88<r<9t>9

人数6324121

根据以上结果，若随机抽查该校一名学生，则该学生一周平均每天的睡眠时间不低于8h的概率为（）

A.0.62B.0.38C.0.73D,0.96

【答案】A

【分析】本题主要考查概率公式求概率.用第3、4组的人数和除以总人数即可得.

【详解】解：该学生一周平均每天的睡眠时间不低于8h的概率是FL=0.62,

故选：A.

6.某咖啡店n月第一周的营业额为3.5万元，第三周营业额为5万元.设这三周营业额的平均每周的增长率为X,

则可列方程为（）

A.3.5（1+2x）=5B.2x3.5（l+x）=5C.3.5（l+x2）=5D,3.5（1+X）2=5

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据第一周的营业额为3.5万元，第三周营业额为5

万元列出方程.

【详解】解：设这三周营业额的平均每周的增长率为X,则可列方程为：

3.5（1+与=5,

故选：D.

7.如图，点A,B,C均在正方形网格纸中格点上，则sin/ACB的值是（）

【答案】A

【分析】本题考查了求正弦值，取格点。，勾股定理求得AC的长，进而根据正弦的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，取格点。，

在Rt_ADC中，AD=4,CD=2

AC=^AD2+CD2=2A/5

sin^ACB=smZACD=—=,

AC255

故选：A.

8.对于实数"，Z?定义运算“③”为々③人二"一？"，例如：38）2=32—2x3x2=—3，则关于1的方程

x⑤仕+1）=-2左的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把x⑤优+1）=-2%

化简，再根据根的判别式进行判断，即可.

【详解】•:—2ab，

x⑤（左+1）=x"—2x（左+1）=—2k,

-2x（k+1）+2k—0,

A=Z72-4ac，

；•△=（2左+2『一4*1x2左=4左2+8k+4—8左=4左2+4>0,

•••关于X的方程x（8）（Z+l）=-2左有两个不相等的实数根，

故选：A.

9.如图，矩形ABCD的边AB=4,点E是边上的一点，连接AE,将沿AE折叠，使点3落在边CD

上的点8'处，若VA3Z）与△5'EC的面积之比为4:1,则AD的长为（）

5

D.5

2

【答案】B

【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握相似三角形

的判定和性质是解题的关键.

设AZ）=x,由四边形A3CD是矩形，可得NO=NC=4=90°,根据折叠的性质得：ZB'=ZB=9Q°,

AB'=AB=4,从而得出=证得一ADB'S^B'CE,再利用相似三角形性质得出

BE=EB'=2,最后在Rt二£CB'中，通过EC?+=防,2,列出方程求解即可.

【详解】设A。=x,

..•四边形A3CD是矩形，

AZD=ZC=Zfl=90°,

ZDAB'+ZDB'A=9Q°,

根据折叠的性质得：ZB'=ZB=90°,AB'=AB=4,

：.ZEB'C+ZDB'A=90°,

：.NEB'C=/DAB',

:.一ADB's一B'CE,

.（组2（AD丫=SABQ

"UBJUrJsB，EC'

42

即X

EB'Ire

:.EB'=2,BrC=-x

2f

:.BE=EB'=2,

EC-x—2,

,/在Rt.ECB'中，EC2+B'C2=EB'~，

x

解得：x1=~^2=°（舍去），

AD=—.

5

故选：B.

10.如图，抛物线y=af+6x+c分另II交x轴，y轴于点A,B,对称轴为直线x=l,下列结论：①abc＜0；②

4ac—〃＞。；③4。—2人＜0；④若点M（—3,yJ,N（2,%）在抛物线的图象上，则％〉必.其中正确结论的

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性

质等等，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到a<0,c>0,再由对称轴为直线x=l,得到

b=-2a>Q,由此即可判断①③；由函数图象可知，抛物线与无轴有两个不相同的交点，即可判断②；由抛物线

开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，由此即可判断④.

【详解】解：•••抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，

a<Q,c>0,

:抛物线对称轴为直线为=1,

.•-2=1,

2a

b——2a>0»

abc<0-4a—2Z?=4a—2-（一2a）=4a+4a=8a<0,故①③正确；

由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点，

Z?2-4ac>0.故②错误；

:抛物线开口向下，

，离对称轴越远函数值越小，

•.•点M（—3,yJ,N（2,%）在抛物线的图象上，且1一（—3）=4>2-1=1,

%<%，故④错误；

...正确的有2个，

故选B.

二、填空题

11计算：2cos45°=.

【答案】V2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案.

【详解】解:2cos45。

=2x交

2

=\/2，

故答案为：V2.

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

12.将抛物线y=-（尤-2）?+2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式为

【答案】y=-r+1

【分析】本题考查了二次函数图象的平移.熟练掌握二次函数图象平移左加右减，上加下减是解题的关键.

根据左加右减，上加下减进行求解作答即可.

【详解】解：由题意知，平移后的抛物线的表达式为y=—（x—2+2『+2—1=—V+1,即丁=一代+i,

故答案为：y=-x2+l.

13.如图，在RtZVLBC中，NB4C=90°,点。，E，产分别是边AB,AC,的中点，连接A尸，DE.若

AB=6,A/=5,则AE的长为.

【答案】4

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到5C长，然后

根据勾股定理求出AC长时解题的关键.

【详解】解：•••在RtZXABC中，歹是边的中点，

：.BC=2AF=2x5=10,

AC=VBC2-AB2=7102-62=8，

又是AC的中点，

AE=-AC=-x8=4,

22

故答案为：4.

14.己知。，b是方程f一5%+7=0的两个根，则〃一44+6—3=.

【答案】-5

hc

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握依2+法+c=。的两根须，X,满足为+%=—―，占羽=—

aa

是解题的关键.

【详解】解：b是方程好一5%+7=0的两个根，

»•a2—Set——7，a+b=5,

故答案为：-5.

15.如图，在矩形A3CD中，AB=10,AD=U，G是B4延长线上的一点，且AG=3,E是边上的一个

动点（点E不与点3,C重合），将_G的沿GE折叠，当点3的对应点R落在矩形任意一边所在的直线上时，BE

的长为.

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长跖

的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出川0,3N的长，然后再根据勾股定理可得到有关x的一元二次方程,

求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键.

【详解】解：：在矩形A3CD中，AB=10,AD=12,

：.BC=12,

,：AG=3,

：.BG=AB+AG=13,

设6E=x,

V_GBE沿GE折叠得到_GFE,

GF=GB=13,BE=EF=x,

①当点厂落在CD上时，过点P作A£＞的平行线交A3于一点M，如图所示:

止匕时MF=5C=12,

VGF=13,

.•.在△GM户中，GM--MF2=132-122=52,

：.GM=5,

-：GA=3,

：.AM=GM-GA=5-3=2,

即Db=2,

V£>C=AB=10,

:.CF=DC-DF=10-2=8,

:.CE=BC-BE=12-x,

在/XCEF中，EF2=CF2+CE~，

即无2=82+02—尤)2,

解得：x=—；

3

②当点尸落在直线A£>上时，延长边ARBC,过点尸作A3的平行线交的延长线于一点N,如图所示:

在-G4F中，AF=VGF2-AG2=7132-32=4A/10-

即BN=4M,

EN=BN-BE=4M-X，

在0瓦N中，EF2=EN~+FN~，

即X2=(4^0-X)2+102,

解得：》=电3,

4

综上班的长为生或身叵，

34

士卜长安％2613M

故答案为:--或-----.

34

三、解答题

16.计算：

⑴(-1)2023+^/(3-^)2-x；

（2）解方程：2/+8x+5=0.

【答案】（1）元—6；

（2）西=坐—2,%=—手―2

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和解题步骤是解题关键.

（1）先计算乘方和二次根式，再合并同类项即可；

（2）利用配方法解方程即可.

【小问1详解】

解:（-1）2023+7（3-^）2-J1X78

=—1+^—3—2

=71—6；

【小问2详解】

解：2炉+8X+5=0，

2%2+8x+8=—5+8，

2（X+2）2=3,

（%+2>=—,

x+2=旦或x+2=-旦,

22

解得：再=近^_2，x2=-^--2•

1222

17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，A3c的顶点均在小正方形的格点

上，请完成下列问题：

(1)画出.ABC关于关轴对称的图形△4501，并写出点用的坐标；

(2)以点B为位似中心，1:2为位似比，在网格中画出一ABC放大后的对应图形，

(3)求(2)中ABC2的面积.

【答案】(1)(1,-2),图见解析；

(2)图见解析；(3)30.

【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形.掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的

关键

(1)根据轴对称的性质，画出即可；

(2)根据位似图形的性质，画出即可；

(3)用割补法求出面积即可.

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求作三角形，

点区的坐标为(L-2)；

【小问2详解】

如图所示，.ABC2即为所求作三角形,

ABC与二45c2的位似比为1：2,

面积比为1:4

=4xy=30.

18.如图，等边三角形ABC的边长为6,点尸为上的一点，点。为AC上的一点，连接AP,DP，若

ZAPD=60°,PC=4,求AD的长.

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质；根据一线三等角模型，证明

进而根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：ABC是等边三角形,

.-.AB=BC=AC=6,ZC=ZB=60°,

PC=4,

:.BP=BC—PC=6—4=2,

ZAPD=60°,

:.ZDPC+ZAPB=120°.

4=60°,

ZBAP+ZAPB=120°.

:.ZDPC=ZBAP.

NC=NB,

:._ABPspcD

—,即里2,

PCCD4CD

4

解得CD=§.

414

:.AD=AC-CD=6——=

33

14

即A。的长为二.

19.九年级（1）班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致.生物老师决定通过游戏的方式确定最终课代表的

人选，游戏规则如下：

第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗匀后，随机抽取一张；

第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗匀后，随机抽取一张；

若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙为课代表.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【答案】不公平，详见解析.

【分析】列表列出所有等可能的结果，找出其中同为昆虫或同为花卉的情况，根据概率公式即可分别求得选甲、乙

为课代表的概率，概率相等即为公平，不相等即为不公平.本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概

率公式求概率、游戏的公平性，解题关键是准确地用表格或树状图列出所有等可能情况.

【详解】解：由题意，列表如下：

;第一

Y月季百合蜜蜂

步\

（月季，蜻（百合，蜻（蜜蜂，蜻

蜻蜓

蜓）蜓）蜓）

（月季，桑（百合，桑（蜜蜂，桑

桑蚕

蚕）蚕）蚕）

（月季，玫（百合，玫（蜜蜂，玫

玫瑰

瑰）瑰）瑰）

由表知，一共有9种等可能的情况，其中同为昆虫或同为花卉的情况有4种,

445

，选甲为课代表的概率是尸=—,选乙为课代表的概率是P=1-—=-.

999

45

一<一,

99

这个游戏对双方不公平.

20.灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱.某水果批发商销售一批灵宝苹果，每箱苹果的成本是40元，经

过调查发现当每箱苹果的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.

(1)若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱灵宝苹果的售价；

(2)这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每箱灵宝苹果的售价为多

少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？

【答案】(1)60元

(2)当售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元

【分析】(1)设每箱灵宝苹果的售价为x元，根据题意，得[100+10(80-40)=6000,计算求出满足要

求的解即可；

(2)设每箱灵宝苹果的售价为。元，销售利润为w元，依题意得，

w=[100+10(80—a)](a—40)=—10力+1300。—36000=-10(a—65『+6250,然后根据二次函数的图象与

性质求最值即可.

【小问1详解】

解：设每箱灵宝苹果的售价为X元，

根据题意，W[100+10(80-%)](%-40)=6000,-130%+4200=0.

解得西=60,4=70,

要使顾客得到最大优惠，60<70,

x=60,

答：每箱灵宝苹果的售价为60元.

【小问2详解】

解：设每箱灵宝苹果的售价为。元，销售利润为卬元，

依题意得，W=[100+10(80-«)](«-40)=-10«2+1300«-36000=-10(«-65)2+6250.

V-10<0,

二当。=65时，可有最大值，卬最大=6250,

答：当每箱灵宝苹果的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值.熟练掌握

一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键.

21.小颖家和学校仅隔一条马路，站在阳台上就能看见教室所在的教学楼CD.在学习完“解直角三角形”后，老

师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度，小颖决定测量教室所在教学楼CD的高度.并

制订了测量方案，测量结果如下表：

活动课

测量教室所在教学楼CD的高度

题

活动目

运用三角函数知识解决实际问题

的

活动工

测角仪、手机应用一一AH测量

具

AE

方案示

C

意图、、

BD

如图，点、B,。在同一水平直线上.

(1)利用手机应用“AR测量”测得小颖家阳台A处离地面的距离A5为

测量步

28m；

骤

(2)利用测角仪在A处测得教学楼点。处的俯角NE4C=14。，教学楼点。

处的俯角ZEAD=30°.

请运用所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助小颖求出教学楼CD的高度.(结果保留整数，参考数据:

sin14°笈0.24,cos14°«0.97,tanl4°®0.25,73^1.73)

【答案】16m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长。C交射线AE于点尸，先证明四边

形ABDF为矩形，得到=AB=28m,设CD=jon,则CF=Db—CD=(28—x)m,解RtACF得到

2828—x

CF28—xDFQQ......---------

AF=解RJAD尸得到A尸------,由此建立方程80.25,解方

tanZCAFtan14°tanZ£)AFtan30°

程即可得到答案.

【详解】解：如图，延长DC交射线AE于点尸.

、、、、、、I

L，'、、、、、'10—

由题意得ZEAB=ZABD=ZCDB=90°，

，四边形ASDF为矩形.

DF=AB=28m,

设CD=jon,则CF=DF—CD=（28—x）m,

CF28—尤

在RtACF中,AF=

tanZCAFtan14°

28

在Rt_ADE中,AF=———

tanZ£）AFtan30°

2828-x

A/30.25

T

解得,

答：教学楼CD的高度约为16m.

22.随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多

的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉式立

交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点.某下沉式立交桥的主路桥截面呈抛物线形，

如图以主路桥面最低点。为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，已知主路桥面跨径

AB=100m,主路桥面的最低点到A3的距离为10m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象.在一次暴雨后，桥面

积水跨径CD为10m,小林的爸爸打算驾驶普通轿车从公司回家，已知普通轿车的安全涉水深度不大于30cm,

请你帮小林的爸爸计算一下他能否驾车从这个下沉式立交桥安全通过？

1,

【答案】(1)y=--%2；

（2）能安全通过.

【分析】本题考查了二次函数的应用;

（1）根据题意得出点A的坐标为（-50,10）,设抛物线的表达式为丁=。必，待定系数法求解析式即可求解;

（2）将龙=5代入二次函数解析式，得出水面深10cm,比较普通轿车的安全涉水深度，即可求解.

【小问1详解】

解：AB=100m,主路桥面的最低点到A5的距离为10m,

，点A的坐标为（—50,10）

设抛物线的表达式为y=把点4（—50,10）代入，得

10=a

解得a=上；

250

19

抛物线的表达式为y=^x'

【小问2详解】

1101

在丁=---x9中，当兀=—=5时，y=-----x5"9=0.1

2502250

0.Im=10cm,

水面深10cm.

10<30,

，小林的爸爸能驾车从这个立交桥安全通过.

23.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=nAC（n>0）,点P是5C边上一动点（不与点B,C重合），作射线

AP,将A3P沿AP折叠得到点5的对应点£>,连接CD,将射线CD绕点C逆时针旋转90。交射线AP于点

Q.

图1图2

【问题发现】（1）如图1,①ZCAQ与NCBD的数量关系为；②若〃=1,猜想线段CD与CQ的数量

关系为

【类比探究】（2）如图2,若n=6,请问（1）中②的结论还成立吗？并说明理由;

【拓展应用】（3）在（2）的基础上，已知，AC=2,在点P移动的过程中，若△3CD为直角三角形，请直接

写出AQ的长.

【答案】（1）①NCAQ=NC3D；②CD=CQ；⑵不成立，见解析；（3）AQ长为短或述