2023-2024学年山东省临沂市临沂高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省临沂市临沂高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.已知空间向量。=(2,-3,4),b=(-4,w,/?),m.neR,若：〃力，则〃，一〃二()

A.2B.-2C.14D.-14

【正确答案】C

【分析】利用空间向量平行的性质即可.

【详解】因为空间向量。=(2,-3,4),6=(-4,/w,«),/W»WGR,

如果a//b,则a二"，

2=-42

所以-3=77?2,

4=nA

2=--

2

解得m=6

〃二一8

所以zw-〃=6-(-8)=14,

故选：C.

2.设直线/的斜率为亿且—144<6,直线/的倾斜角a的取值范围为()

【正确答案】D

【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到-14tana<6,结合正切函数的图象及ae[0,无),

数形结合得到直线I的倾斜角a的取值范围.

【详解】由题意得：-l<tana<^3.

因为ae[0,n),且tan手■=-[,tan—=-73,

画出y=tanx的图象如下:

故选：D

3.抛物线歹=62的准线方程为夕=1,贝匹的值为()

A.—B.—2C.—D.—4

24

【正确答案】C

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为一=,、，准线方程为y=-[,

a4a

又准线方程是y=l,所以-;=1,

4a

所以〃=，.

4

故选：C

4.已知等比数列｛《,｝的前〃项积Z,满足奉=32,则?；=().

/2

A.128B.256C.512D.1024

【正确答案】C

=

【分析】利用等比数列通项的性质,z%l：32可求得出,再由7；=必可求值

z;=5

【详解】等比数列｛4｝的前”项积%ai-aA-a5-ab-a1=a5=32,a=2,

7L=a-a-y-a.-a4-a5-a6-a7-a8-a9=a5,=2=512.

故选：c

5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学

与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线

（。>0,b>0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离

心率为2,则该双曲线的方程为（）

【正确答案】B

b=2

【分析】首先根据题意得到£=2,再解方程组即可.

a

c2=a2+Z>2

【详解】设双曲线的一个焦点为（O,c）,一条渐近线方程为y=

则焦点到渐近线的距离d=上闻=6=2,

y/a2+b2

b=2

所以一c=2=>a~=3-,即双曲线方程为.32VL_L=1

"22.2"444

cl=a2+bi

故选：B

6.若等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，贝|J“S2024<0，$2025>°''是''-2,4013<。''的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断。加2<°，与33>0，由

峻>0，喙<0时，即可说明不必要性.

【详解】由S2024<0,$2025>0可得｛。”｝单调递增，且公差大于0,

,,o八(4+0Hm)x2023(卬)x2025

1

故S2023V0,邑⑵)㈠呼——<0321HLI呼------>0,

即+“2023=2%0|2<°，％+。2025=2。|0]3>°，即“1012<°，。1013>°，因此"1012,。1013<°，

当〜2>°，『3<°时，此时｛《,｝单调递减，则不可能满足$2024<0，52。25>0,

因此‘@024<°，$2025>0"是''《52W。"<0”的充分不必要条件，

故选：C

7.设点尸是抛物线G：­=4y上的动点，点M是圆C2：(x-5)2+(y+4)2=4上的动点0是点尸

到直线、=-2的距离，则d+|PA/|的最小值是()

A.50-2B.56-1C.572D.5忘+1

【正确答案】B

【分析】根据题意画出图像，将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点

到焦点的距离加1,若求"+|PM|的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离

再加1即可，根据三角形两边之和大于第三边，即当共线时,d+l取最小值为

1+|八胃-/算出结果即可.

【详解】解:由题知圆C2：(x-5>+(y+4)2=4,

.•C(5T)/=2

*0,1)为抛物线焦点/=-1为抛物线准线,

则d=l+|P£)|,

根据抛物线定义可知|尸。|=1^1,

:.d=\+\PF\,

d+1PM\=l+\PF\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值,只需求|PF|+|PM|的最小值即可,

连接FG与抛物线交于点耳，与圆交于点,如图所示，

此时|尸可+归”|最小，为「Gl-J

E（0,l）C（5f.*C2|=5l,

•••P+lPMIL=l+KI-^=5V2-i.

故选:B

8.已知椭圆・+方=1（^>Z）>0）与双曲线上==1m>0n>0具有相同焦点片、F2,

P是它们的一个交点，且/耳可=三，记椭圆与双曲线的离心率分别为。、4,则3e；+e；的

最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】B

13

【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得F+F=4,再由“1”的代换和基本不等式

e\e2

求得结果.

【详解】设P为第一象限的交点，|尸/"=5,|尸乙|=，，

s+t=2a/$=〃+阳

则由椭圆和双曲线的定义可知，g=>

s-t=2m[t=a-m

工在AFiPF?中由余弦定理得：4c2=s2+/2-1stcosy=(a+/w)2+(a-m)2-(a+m)(a-w?)

即：a2+3m2=4c2

.a23/w21,3

••—r+——=4,即:-7+-=4

C2C2e\e2

3e：+/2=；([++'?)=36+2^{6+2的=3

当且仅当学=号，即ej=3晨时，取得最小值为3.

e\e2

故选：B.

二、多选题

9.对于非零空间向量；，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是()

A.若一工10，则一，，的夹角是钝角

B.若「二(1,2,3),=贝打

C.若a-b=b-c，则a=c

D.若[(1,0,0),♦二(0,2,0),c=(0,0,3),则：，h，l可以作为空间中的一组基底

【正确答案】BD

【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积

的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.

【详解】A：当a=(l,0,0),6=(-1,0,0)时,显然“力＜0，因为a=—b，所以a，6的夹角

是平角，故本选项命题是假命题；

B：因为a./)=1x(-])+2x(-1)+3x1=0,所以a_Lb,因此本选项命题是真命题；

C：当a=(l,0,0),6=(0,0,0),c=(0,0,3)时，显然：j，但是a,因此本选项命题

是假命题;

D：假设:，b，；是共面向量,

-上,°=》

所以有仁》不_^=(0,0,3)=耳1,0,0)+乂0,2,0)70=2),显然不可能，所以.，b，。不

13=0

是共面向量，因此一，b，1可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，

故选：BD

10.已知曲线。：蛆2+即2=1.()

A.若加>心0,则C是椭圆，其焦点在歹轴上

B.若〃尸〃>0,则C是圆，其半径为五

则C是双曲线，其渐近线方程为y=±、「兀x

C.若

Vn

D.若加=0,/7>0,则。是两条直线

【正确答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，加>〃>0时表示椭圆，〃=〃>0时表示圆，加〃<0时

表示双曲线，加=0,〃>0时表示两条直线.

22

匕上二

【详解】对于A,若加>〃>0,则加/+=i可化为11

mn

因为m>〃>0,所以

tnn

即曲线。表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=〃>0,则mx?+町/=1可化为¥+/=j_,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为近的圆，故B不正确；

n

片=1

对于C,若加〃<0,则加x?+町r=l可化为11,

mn

此时曲线C表示双曲线，

由机V+町;2=o可得y=土d-”工,故C正确；

对于D,若加=0,〃>0,则mf+叼？=i可化为,2=j_,

n

y=土近，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确;

n

故选：ACD.

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学

运算的核心素养.

11.如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，….

设第〃层有。“个球，从上往下〃层球的总数为S“，则（）

A.S6=56

B.

C.。2。23=1012x2023

D—+L+二些

4a2a3a2O231012

【正确答案】ACD

【分析】根据4=〃由累加法可得q="“A.B.C选项可判断A.B.C,

根据裂项相消法则可判断D.

【详解】由题意得，％=1,%-4=2,生一。2=3,an-an_x=n,

以上个式子累加可得%=1+2+—+〃=*3（"24，

又4=1满足上式，所以4=当W,

由已知。2=3,%=6,a4=10,a5=15,a6=21,

得Se=q+/+•••+%=1+3+6+10+15+21=56,故A正确；

因为%-a,-=〃,则见川-4=〃+1,故B错误；

由通项公式得出⑵=2023；2024=wl2x2023，故c正确；

盛卜“一短卜鬻

故D正确.

故选.ACD

12.在棱长为2的正方体中，M为底面/BCD的中心，。是棱4A上一点,

且彳s[O,l],N为线段力。的中点，则下列命题正确的是（）

A.CN与QW异面B.三棱锥力-DMN的体积跟2的取值无关

C.不存在4使得D.当2=g时，过“，Q,M三点的平面截正

方体所得截面的面积为，

【正确答案】BD

【分析】证明MN//C。可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；

求出截面梯形的面积可判断D

【详解】连NC,CQ,则M,N分别为ZC,4。的中点，MN为ZQC的中位线.

MNHCQ,则CN,共面，A错.

^A-DMN=-N-ADM=JADMX1=不,lx2x1=-为定值，B对.

如图建系（），（）则。（九）

A0,0,242,0,2,DXQ=XD}A},20,2

4M=（_1,1,0）,QAf=（1-2A,1,-2）AM-0M=22-1+1=22,

兀=0时，AM1QM,C错.

截面如图所示，图形/CF。，过。作NC的垂线垂足为G.

故选：BD

三、填空题

13.已知两直线乙：（加+2）x+（〃?+3）y-5=0,4：6x+（2〃?-l）y=5,若/J4，则实数

m=.

【正确答案】7或-:Q

【分析】根据4，/2044+4为=0,再解方程即可得答案.

【详解】解：因为4：（加+2）x+（加+3»-5=0,4：6x+（2〃?-l）y=5,且

所以，6（/H4-2）4-（/7?4-3）（2^-1）=0,即2m2+11m+9=（2m+9）（/%+1）=0,解得m=一1或

9

m=——；

2

9

所以，实数加=7或〃?=-7

2

9

故T或-5

14.已知数列｛/｝满足q=2,…与,则％。23=.

【正确答案】2

【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.

【详解】求不动点，设/(》)==，令/(x)=x得：£j=x，化简得：x2+x+l=O.

7x+2x+2

显然该方程无解，这种情况下｛“,｝一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规

律即可，由题意，4=2,所以％=；=-^44=-1，°4=^-^=-y,«5=~7=-|，

q+24a2+Z3a3+25tz4+22

从而｛2｝是以6为周期的周期数列，故=a"…=4=2.

故2

15.已知平面a的一个法向量；:(-2,-2,1),点力(-1,-3,0)在平面a内，若点8(加,0,2—，〃)在

平面a内，则加=

【正确答案】-2

【分析】利用向量垂直列方程，化简求得〃？

【详解】根据题意可得知3=(”?+1,3,2-加)，

因为平面a的一个法向量7=(-2,-2,1),

所以・〃=-2(加+1)-6+2-〃？=0,解得机=-2,

故-2

16.如图，已知双曲线5-，=1(〃>0口>0)的左、右焦点分别为1名，“|=6,P是双

曲线右支上的一点，鸟P与夕轴交于点力,△/2片的内切圆在边尸耳上的切点为。，若|「。|=1,

则双曲线的离心率是

【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由阳g1=6求得双曲线的半焦距长,

进而求得双曲线的离心率

【详解】设片的内切圆在边/耳/P上的切点分别为",N,

则MM=|/N|,店M=\FtQ\,\PQ\=网,

又由△04耳=△OAF?,可得M用=|/到,则由0|=I耳M=\F2N\=\F2P\+|PN|=优丹+|P0|,

则|尸用一|阴|=|40|+|尸0卜|尸周=|玛尸|+2|P0|-|尸用=2|PQ|=2,

y.\PF]-\PF2\=2a,则2a=2,即。=1,

由国闾=6,可得2c=6,即c=3,

则双曲线的离心率e=£=g=3,

a1

四、解答题

17.如图所示，平行六面体X8C。—的底面是菱形，AB=2,AA,=4,

ADAB=Z^AB=ADA\=60°,A、N=3NC、,DXM=MB,设AD=b>AAi=c.

(2)求MN的长度.

,X.X,X,X>

【正确答案】=

⑵迈

2

【分析】(1)将a1,c当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可;

(2)运用向量求模的方法计算.

【详解】⑴

如图，连接ZM,AN,BD}=BC+CCl+C}D=h+c-a,

XIXIXXXjX[X]X

AM=AB+BM=a+-BD.=a+-(b+c-a\=—a+—b+—c,

2'2、l7222

八八八八”▼▼▼、3▼▼▼=3X3、3X3XX

4G=44+4G=〃+b,AN=-AC=~^a—bAN=A,A+A,N=—a+—b+c；

]]]9''44

(2)由条件得：“・=2x2xcos60°=2,a・=2x4xcos60"=4,b・=2x4xcos60,=4,

1XXX^X^XXiXjXiX

MN=MA+AN=——(a+b+c)+—Q+—b+c=—Q+—b+—c,

2V>44442

(X,X,X,XXXXXX

a+方+今+2K-4im4)■

i27

=—(22+224-4X42+2X2+4X4+4X4)=—

3月

:.MN=

iXiXi>H

综上，AM~—a+—b+—c,AN--a-\•—b+c,MN=—.

222442

18.已知直线/经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂

直.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2正，求圆C的标准方程.

【正确答案]⑴x_y_i=o

(2)(X-3)2+/=4

【分析】(1)由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线/的方

程；

(2)根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程.

[2x—V—3=0fx=2

【详解】⑴解：由题意知),<八，解得,,

[4x-3y-5=0['=]

直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点为(2,1)；

设直线/的斜率为左,/与直线x+y-2=0垂直，；/=1；

・•.直线/的方程为yT=(x-2),化为一般形式为*-y-1=0；

(2)解：设圆C的半径为厂，则圆心为C(3,0)到直线/:x-y-1=0的距离为

"=由垂径定理得/=屋+(修)2=(应彳+(孚)2=4,

解得/•=2,

•••圆C的标准方程为(x-3>+/=4.

19.已知各项均为正数的数列｛《,｝,其前〃项和为S.，4=1.

(1)若数列｛4｝为等差数列，510=70,求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝为等比数列，,=！，求满足5,>100”“时〃的最小值.

O

41

【正确答案】⑴%

⑵7.

【分析】(1)利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得公差，即可写出通项公式;

(2)根据等比数列的基本量，求得a“,S“，再求解不等式即可.

【详解】(1)设数列｛2｝为公差为d的等差数列，由4=1,510=70,

14

可得10+—xl0x9d=70,解得d=—,

23

4,41

故4=1+押-1)=y一§.

(2)数列｛《,｝为公比为9的等比数列，由4=1,

O

可得小=：，即4=

o2

飞=3=26厂,

则q

2

由S.>100a“，即2-(；Jn—Iz[x«-1

I>100x-I可得：2">101,

则“27,故〃的最小值为7.

20.如图，在三棱柱N8C-A4G中，CG，平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC,=3,

点。，E分别在棱44和棱CG上，且40=1CE=2,M为棱4月的中点.

（D求证：C,MLBtD.

（ID求二面角的正弦值：

（III）求直线/B与平面。片E所成角的正弦值.

【正确答案】（I）证明见解析；（II）叵；（III）旦.

63

【分析】以。为原点，分别以";c£；CC：的方向为x轴，轴，z轴的正方向建立空间直角

坐标系.

⑴计算出向量G”和8,的坐标，得出。|痴：8，:0,即可证明出

（ID可知平面的一个法向量为c1，计算出平面的一个法向量为；，利用空间

向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（III）利用空间向量法可求得直线AB与平面DBtE所成角的正弦值.

【详解】依题意，以C为原点，分别以"、CB\CC；的方向为x轴、V轴、z轴的正方向

建立空间直角坐标系（如图）,

4

可得C(0,0,0)、/(2,0,0)、8(0,2,0)、£(0,0,3)、

4(2,0,3)、氐(0,2,3)、£>(2,0,1)、£(0,0,2),"(1,1,3)

⑴依题意，C,M=(1,1,0),5,2)=(2,-2,-2),

从而GM.8Q=2-2+0=0,所以GML8Q；

(II)依题意，C4=(2,0,0)是平面88也的一个法向量,

=(0,2,1),£Z)=(2,0-1).

设n=(x,y,z)为平面DBF的法向量，

则快£=。,即俨z=：,

n-ED=0[2x-z=0

不妨设x=l,可得〃=(1,7,2).

EX

cos<CA,n>=

6，

TX-屈

sin<CA,n>=-71-cos2<CA,n>=------

6

所以，二面角的正弦值为叵;

6

(Ill)依题意，AB=(-2,2,0).

由(II)知“=(1,-1,2)为平面。8遂的一个法向量，于是

EX-46

cos<AB,n>=

25瓜-3'

所以，直线N8与平面。83所成角的正弦值为正.

3

本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算

能力，属于中档题.

21.已知数列｛““｝满足％+牝+2且〃eN*),且%=4.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列7―工——正的前〃项和为1,求证•名(，<1

【正确答案】(l)M=2"(〃eN.)

(2)证明见解析