高中数学 集合的运算 知识点精讲及重点题型训练（原卷版）

1.3集合的运算

❽知识导图

二、经验分享

【知识点1、并集】

1.并集的概念

一般地，由属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作

（读作"A并B"）,即NU5=e或xe5）.用Venn图表示如图所示：

由上述图形可知，无论集合A,B是何种关系，NU3恒有意义，图中阴影部分表示并集.

注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同.生活中

的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的.

2.并集的性质

对于任意两个集合A,8,根据并集的概念可得:

（1）4口皿8）,BN（/UB）；(2)A\JA=A^

(3)A\J0=A；⑷A\JB=B\JA.

【知识点2、交集】

1.交集的概念

一般地，由的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作：(读作“A交

B"),即幺|"|8={x|xe4且xe8}.用Venn图表示如图所示:

(1)A与B相交(有公共元素)(2)B，则幺口5=幺(3)A与B相离(幺口5=0)

注意：(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元

素.(2)定义中的“所有”是指集合4和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.

2.交集的性质

(1)(/口8)14(/口8)[8；(2)A^A=A；

(3)ACI0=0；(4)A[\B=B[}A.

【知识点3、全集与补集】

1.全集的概念

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U,

是相对于所研究问题而言的一个相对概念.学+科网

说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我

们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.

2.补集的概念

对于一个集合4由全集U中集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，

简称为集合A的补集，记作6/，即=且天e/}.用Venn图表示如图所示：

[UI

A

C必

说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合人的补集的前提是A是

全集。的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个

概念.

（2）若xe。，则xe/或xegZ,二者必居其一.

3.全集与补集的性质

设全集为U,集合A是全集。的一个子集，根据补集的定义可得：

（1）gU=0;（2）（3）①（伪/）=/;

（4）/u（a/）=°；（5）/n（a/）=o.

@诞题矍

（一）、集合的并集

例1.（1）、（2023春,浙江杭州,高二统考学业考试）已知集合/={4,5,6},8={3,5,7},则/口8=（）

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}

（2）,（2022•北京顺义•二模）已知集合/=卜卜2Vx<1},3={x|x<0},则.

【变式训练1：】、（2023•上海松江•校考模拟预测）已知集合力={-1』,3},5={1,3,5）,则Nu2=

【变式训练1-2】、（2022秋•江西景德镇高一统考期中）集合/={x|0<x<8},2=<xW10），则/=

A.1^1^-<x<sjB.^x|0<x<10j

C.<x<81D.<x<loj

（二）、集合的交集

例2.⑴、（2023春•北京顺义,高二牛栏山一中校考阶段练习）已知集合/={1,2,3,4},B={x\x>?},则

/口3=（）

A.0B.{3,4}C.{2,3}D.（2,4）

（2）、（2022秋•山东德州•高一校考阶段练习）已知集合/={无，-2%-3=0},8={无|办-4=0},若

4CB=B,则实数a的所有可能值的集合是

【变式训练2-1】.（2022秋・广西桂林•高一校考阶段练习）（多选题）若集合/={-1,2,3,4}，8={1,2,3,5},

则（）

A.={2,3}B./U8={Tl,2,3,4,5}

C.A=BD.AC\B=A\JB

［变式训练2-21（2023春广西南宁高一校联考开学考试）已知集合/=卜|34x<5},集合3=W4<x<6},

则/n^=（）

A.（3,6）B.[3,6）C.（4,5]D.（4,5）

（三）、集合的补集

例3.⑴、（2022秋•上海静安,高一校考期中）设全集U=R,集合/={小-2>0},则.

（2）、（海南省海口市等5地、琼中黎族苗族自治县琼中中学等2校2023届高三上学期12月期末数学试题）

设全集U={xeZ]|x|<3},集合/={x，_x=0},则。/=（）

A.{-2,0,2}B.{-2,2,3}

C.{-2,2}D.{-3,-2,2,3}

【变式训练3-1】、（2022秋•上海杨浦•高一上海市控江中学校考期中）若全集。={0,1,2,3},集合尸={2,3},

则e尸）.

【变式训练3-2】.（2023•山西・校联考模拟预测）已知集合。="|尤eN,且xV5},4={2,4},8={2,3},则

。（48）=（）

A.{1,5}B.{2}C.{0,1,5)D.{3,4}

（四）、集合中的新定义问题

解题技巧：集合中的新定义问题

（1）紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题

过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.

（2）把握“新”性质：用好集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也

是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.

（3）遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.

例4.（1）、（2022秋•福建福州•高一福州三中校考期中）（多选题）当一个非空数集G满足“如果a,beG,

则-且6/0时，feG"时，我们就称G是一个数域，以下关于数域的说法：①0是任何

b

数域的元素；②若数域G有非零元素，则2022eG；③集合尸=卜H=2后,左eZ}是一个数域；④有理数

集是一个数域，⑤无理数集不是一个数域.其中正确的选项有（）

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

（2）、（2022秋•江西景德镇•高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛,

25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物

两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名.若该班学生共有51名，则没有

参加任何竞赛的学生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【变式训练4-1】.（2021秋•上海黄浦•高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不

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相等的实数凡①。满足一+：=—,则称4c是调和的；若满足a+c=26,则称。，ac是等差的.已知集合

abc

M={x\-2021<x<2021,xeZ）,集合户是”的三元子集，即尸={a,6,c}uM.若集合产中元素。也c既是

调和的，又是等差的，则称集合尸为"大境集".不同的"大境集"的个数为.

【变式训练4-2】.（2022秋,四川成都,高一校联考期中）高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人,

音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为

()

A.26B.29