2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第28讲 等差数列

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第28讲等差数列(精讲)

题型目录一览

①等差数列基本量的计算

②等差数列的性质及其应用

③等差数列的前n项和

④等差数列中中明与鼠的关

系

⑤等差数列的判定与证明

一、知识点梳理

__________________________________________________________________________________________________✓

一、等差数列的有关概念

1.等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这

个常数叫做等差数列的公差，通常用字母1表示，定义表达式为%(常数)(nwN*,«>2).

2.等差中项的概念

若三个数a,A,6成等差数列，则A叫做。与匕的等差中项，且有A=巴也.

2

二、等差数列的有关公式

1.等差数列的通项公式

如果等差数列｛4｝的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是a“=q+(w-l)d.

2.等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛4｝的公差为d,其前〃项和S'=叫+吗3d=*"").

三'等差数列的常用性质

已知｛4｝为等差数列，d为公差，S”为该数列的前〃项和.

1.通项公式的推广：an=ammeN*1.

2.在等差数列｛〃“｝中，当根+〃=夕+4时，。机+4=4+〃/祇，2P，qeN").

3.ak,ak+m,以+2加，…仍是等差数歹取公差为md(k,meN*).

4.S„,S『Sn,邑〃一邑〃，…也成等差数列，公差为n2d.

5.若｛%｝,｛"｝是等差数列，贝IJ｛p4+*〃｝也是等差数歹lj.

四、等差数列的前n项和公式与函数的关系

2

S„=|«+（ai-|>.数列｛4｝是等差数列=邑=4〃2+加（A、3为常数）.

【常用结论】

1.等差数列｛4｝中，若4=根,册〃，私〃eN*），则。…=。.

2.等差数列｛〃〃｝中，若S“=九鼠=〃（加。/九〃£N*）,则鼠+〃=一（机+〃）.

3.等差数列｛%｝中，若Sn=SNn手〃,m,neN*）,则鼠+〃=0.

4.若以｝与｛b“｝为等差数列，且前"项和为S”与7,，则詈=邑0.

"^2m-l

--------------------------------------------------------------------\

二、题型分类精讲

____________________________________________________________________/

题型一等差数列基本量的计算

-策略方法解决等差数列运算问题的思想方法

⑴方程思想：等差数列的基本量为首项0和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前〃项和公式

列方程（组）求解，等差数列中包含防，d,n,an,S〃五个量，可“知三求二”.

⑵整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用ai,d表示，寻求两者间的联系，整体代

换即可求解.

⑶利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.

【典例1］在等差数列中，氏=33,每=153,则201是数列的第几项（）

A.59B.60C.61D.62

【答案】C

【分析】根据等差数列的定义求出公差，从而求出通项公式，再根据%=201,构造关于"的方程，解方程即可.

【详解】等差数列｛%｝中，生=33,45=153,设公差为d,

40d=a45—a5=153—33=120,解得d=3；

/.通项公式为4=。45+3（〃-45）,

当。〃=153+3（〃-45）=201时，n=61.

故选：C.

【典例2］在等差数列｛%｝中，4+4=20,%=12,则%的值为（）

A.2B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答.

【详解】在等差数列｛%｝中，&=5爱=1。，则数列｛%｝的公差"=%-4=2,

所以为=a6~2d=10—2x2=6.

故选：B

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）已知｛4｝为等差数列，出=-2吗+%。=%+4,则%=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求出.

【详解】设等差数列的公差为"，则,，彳，

14+q+9d=%+2d+4

故17一，3,故%=_3+（5-l）xl=l,

\a=\

故选：A.

2.（2023•江西赣州•统考二模）等差数列｛%｝满足的=T4,a12=-4,则出3=（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质运算求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为101=%2-〃2=1°，解得d=l，

所以。23=。12+11〃=一4+11x1=7.故选：B.

3.（2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列｛%｝中，出=1，%=5,则。广（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】C

【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为（则2d=%-%=4,

贝［|4=4+6d=1+3x4=13

故选：C

4.（2023・广西•统考模拟预测）设｛4｝为等差数列，若%+2%=1,%=5,则公差〃=（）

A.12B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解.

3al+2d=1%=一］

【详解】由题意得n解得

%+3d=5d=2

故选：D.

5.（2023・四川凉山•三模）在等差数列｛%｝中，的+g=2,%=3,则%=（）.

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】由等差中项性质得。3=1，利用等差数列通项公式求基本量公差d，进而写出通项公式，即可得知.

【详解】由题设电+。4=24=2,则%=1,而%=3,

若等差数列公差为d,则6/=用2=1,

所以，｛%｝通项公式为%=%+（〃-3）4=〃-2,故%=7.

故选：C

6.（2023•西藏日喀则•统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八

文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数

列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是

（）

A.乙分到28文，丁分到24文B.乙分到30文，丁分到26文

C.乙分到24文，丁分到28文D.乙分到26文，丁分到30文

【答案】A

【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为。-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,再

根据题意列方程组可解得结果.

【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为"3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,

」人

a-3d+a-2d=58,[a=249

则＜Jo7么c，解得L_o

[Q+d+a+2d+a+3d—60[d——2

所以乙分得a-2d=28（文），丁分得，=24（文），

故选：A.

7.（2023•全国•高三专题练习）等差数列｛%｝满足2%+%=12,则曲）=（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据已知条件可求得4+54的值，进而可求得见-14。的值.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,贝!12%+%=2(01+64)+«1+34=3&+54)=12,

以，q+5d=4,——ci^=+7t/-5(4+9d)=/(q+5d)=^x4=2.

故选：D.

8.(2023・陕西咸阳・统考模拟预测)已知等差数歹U｛4｝满足凡+2凡讨=3〃+2,则｛〃〃｝的前20项和S?。=()

A.200B.300C.210D.320

【答案】C

[3A=3

【分析】设a〃=A〃+3,an+2an+i=3An+2A+3B则OAQA—O,解方程即可求出知,再由等差数列的前〃项

I/A+J5JD—L

和即可得出答案.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，设。〃=A〃+3,所以〃用=A〃+A+3,

所以=3A〃+2A+33.因为4+2〃“+i=3〃+2,

所以,[23A4+=333=2所以A=1

B=0

则4=",^rlUS=20xl+20><(^0~1)xl=210

20故选：C.

二、填空题

9.(2023•甘肃白银甘肃省靖远县某中学校联考二模)在等差数列｛q｝中，a3+a4+a5=12,/+%+4=18,则

｛q｝的公差是.

【答案】-3

【分析】设｛%｝的公差为d,由等差数列的通项公式可得答案.

【详解】设｛4｝的公差为d,(a,+a4+a5)-(o1+as+a6)=2^=12-18=-6,

则d=—3.

故答案为：-3.

10.(2023•全国•模拟预测)已知等差数列｛4｝的公差为d(d>o),且满足2%-%=1，4q=4。，则数列｛4｝的

通项公式4=.

【答案】3n—2

【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.

【详解】由2%-%=1，%q=40,

2。]+4d-(a1+4d)=1%=1

得m+03+34)=4。,由">0解得

d=3

所以《=3〃-2.

故答案为：3n—2.

11.（2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考期中）等差数列｛%｝中，%+3/+%=120,贝口佝-阳的值是.

【答案】24

【分析】先由等差数列的通项公式化简％+3%+@=120得到q+7d=24,再由等差数列的通项公式把2%-%。化

为q+74即可求出答案.

【详解】设等差数列｛。〃｝的首项为外,公差为d,

贝[jq+3q+弓5=卬+3（q+7d）+q+14d=5q+35d=120,

所以4+74=24.

所以2%-4,=2（«+8<7）-（01+9<7）=01+7（7=24.故答案为：24

12.（2023•全国•高三专题练习）已知等差数歹!）｛。"｝中的+%+弓。=18,a6+as+al0=27,若4=21,贝也=.

【答案】12

【分析】根据下标和性质求出与、W，即可求出公差d,再根据《=%+（左-7”计算可得.

【详解】因为,+“7+40=18,又%+60=2%,所以%=6,

又4+。8+40=27,ab+a10=2a&,所以%=9,

所以公差=3,

所以4=%+（左一7）d=21,即6+3化-7）=21,解得上=12.

故答案为：12

13.（2023・上海普陀・上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列｛%｝满足：a,l+a,l+l=4n,若｛%｝为等差数列，则通

项公式为.

【答案】an=2n-l

【分析】设等差数列｛4｝的首项为卬，公差为d,由%+。用=4〃求出4和d,即可写出通项公式.

【详解】设等差数列｛%｝的首项为外,公差为d,

贝[|an+an+l=2q+（2〃-V）d=2q—d+2dn=4〃,

[2a,—d=Q[d=2

所以」,,解得「

[2d=4%=1

所以4=1+2（〃T）=2〃-1,

故答案为：4=2〃-l.

14.(2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测)己知等差数列｛%｝中，/=4,4=16,若在数列｛凡｝每相邻两项之间

插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.

【答案】y

【分析】先计算出等差数列｛%｝的公差，进而得到新的等差数列圾｝的公差，从而求出也｝的通项公式，求出新数

列的第43项.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则q+d=4,4+54=16,

所以q=l,d=3,

设在数列｛%｝每相邻两项之间插入三个数所得新数列为｛bn｝9

则新的等差数列也｝的公差为5=首项为4=q=l,

所以新数列的通项公式为2=1+：(〃-1)=%+小

故如=引义43+!=：.

故答案为：

题型二等差数列的性质及其应用

畲策略方法利用等差数列的性质解题的两个关注点

⑴两项和的转换是最常用的性质，利用2即=丽-+即+〃可实现项的合并与拆分，在S〃=*纭中,

与可相互转化.

(2)利用Sm,Slm—Sm,S3m—S2加成等差数列，可求S2帆或S3%

【典例1】已知等差数列｛4｝中，%+%7=30,则为+%0+%1=()

A.30B.40C.50D.45

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

［详解］由/+%7=30得。3+。17=2〃10=30=>60=15,

所以〃9+4O+%I=3%0=45,

故选：D

【典例2】已知加和2〃的等差中项是8,2相和几的等差中项是10,则加和〃的等差中项是

A.2B.3C.6D.9

【答案】c

【分析】根据等差中项的概念，列方程，求的m+n=12,再根据等差中项的定义，可知m和n的等差中项为6.

【详解】：Tm和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,

由等差中项的概念得：m+2n=16①,2m+n=20②

①+②得：3m+3n=36,即m+n=12.

.♦.m和n的等差中项为6.

故选：C

【点睛】本题考查了等差中项的概念，是基础题.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝是等差数列，若4-0,+%=7,则%+旬等于（）

A.7B.14C.21D.7（/1）

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算.

【详解】因为生一+%7=（a1+〃17）—“9=2。9—。9=〃9=7,"3+45=2。9=2x7=14.

故选：B

2.（2023・全国•高三专题练习）如果等差数列｛%｝中，%+%+%=12,那么”]+•+•••+%=（）

A.14B.12C.28D.36

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质计算.

【详解】；〃3+。4+〃5=12,/.3a4=12,贝!）&=4,又4+为=%+〃6=%+%=2%，

故q+%+…~H%=7%-28.

故选:C.

3.（2023・全国•高三专题练习）已知等差数列｛4｝中，a2+a4=6,则%+生+%+%+%=（）

A.30B.15C.5瓜D.10"

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算.

【详解】•••数列｛%｝为等差数列，的+%=24=6,所以%=3

/.%+电+〃3+〃4+〃5=(%+〃5)+Q+%)+〃3=5%=15.

故选：B

4.（2023•青海西宁•统考二模）已知｛%｝,也｝均为等差数列，且%=6,4=0,伪=1，则数歹U｛a“+2｝的前5项

和为（）

A.35B.40C.45D.50

【答案】B

【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.

【详解】由题知也｝,圾｝均为等差数列，且。3=6,4=0,&=1,

所以4="6,得4=2,

+b

所以数列｛a“+bn｝的前5项和为（［+为+/+%+。5）+（42+4+“+仇）=543+54=30+10=40.

故选：B

5.（2023•全国•高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大

的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）

A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为如电，马，

由题意可得q+a2+a3=0.5,a7+a8+a9=2.5,

所以3a2=0.5,3a8=2.5^>a2+ag=1,.,.a5=的,

故选：B

6.（2023•陕西榆林・统考三模）一个等差数列的前3项之和为12,第4项为0,则第6项为（）

A.-2B.-4C.1D.2

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质，求得的=4,再结合2%=%+3，即可求解.

【详解】由等差数列的前3项之和为12,可得%+%+%=3%=12,所以。2=4,

又由第4项为0,即g=。，

因为第2项、第4项、第6项依次成等差数列，即2%=a2+a6,

所以。6=2%-2=-4.故选：B.

7.（2023春•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列｛4｝是等差数列，若。3%=8,—+—=1,则/=

a。J

()

42

A.2V2B.4C.D.

73

【答案】c

【分析】根据等差数列性质得到»手=,得到答案.

【详解】—=^^=一=*=］故；

CI3aga3a98833

故选：C

8.（2023•全国•高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节

气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为（）

A.5.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺

【答案】A

【分析】根据题意，分别设十二个节气为火，出，，%，再运用等差中项求解.

【详解】设冬至，小寒,大寒,立春，雨水,惊蛰,春分,清明，谷雨,立夏,小满,芒种这十二个节气为：a1,a2,a3,,al2,

且其公差为d,

依题意有：%+%+%=31.5,%+%++%=85.5,

「♦々4=3=1。5%=9=9.5,公差1=。5_。4=_19

贝［|为=%+4d=9.5—4=5.5,

所以谷雨这一天的日影长度为5.5尺,

故选：A

9.（2023•全国•高三专题练习）“/+%=2%”是“数列｛%｝为等差数列”的（）.

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.

【详解】设%则生=-3,G=-5,%=",所以/+%=-10=2%,但数列｛%｝不是等差数列;

若数列｛%｝为等差数列，根据等差数列的性质可知，%十%=2as成立.

所以，“/+%=2%”是“数列｛4｝为等差数列”的必要不充分条件.

故选：C.

10.（2023•全国•高三专题练习）公差不为零的等差数列｛%｝中，%+2%=6,则下列各式一定成立的是（）

A.03a5<2B.。3。5<4C.ci2a5<2D.ci2a5<4

【答案】B

【分析】根据等差数列通项求出%=2,再利用基本不等式即可求出的%<4,对于CD选项，利用特殊值法反驳

即可.

【详解】因为出+2%=g+。4+%=3。4=6,所以。&=2,

因为｛4｝公差不为零汹/外,所以B正确，A错误，

取%=1.9,贝！|%=2.2，此时%%=418>4,C,D均不正确,

故选：B.

二、填空题

11.（2023•全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝,o11+a13=2e,%=

【答案】e

【分析】由等差中项的性质计算即可.

【详解】由等差数列性质可知：&+&=2%，

又0n+%3=2e,故％2=e.

故答案为：e

12.（2023春・甘肃天水•高三校考开学考试）已知等差数列｛4｝,a2+a4+a6++a10=5,ab=.

【答案】1

【分析】由等差数列的性质求解.

【详解】｛4｝是等差数列，.二+。4+〃6++%0=%+。4+4+g+4o=5〃6=5,。6=1.

故答案为：1.

13.（2023•全国•高三专题练习）在等差数列｛。“｝中，［949=1949,^+0^=2023,贝.

【答案】74

【分析】根据等差数列的性质列式计算即可.

【详解】因为1949+74=102+1921,所以由等差数列的性质可得一+每49=%02+^1921=2023,

所以％949=74,

故答案为：74

14.（2023•全国•高三专题练习）在等差数列｛%｝中，%%o是方程尤2-3x-5=0的根，则为+%=.

【答案】3

【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.

【详解】由。3，4。是方程d—3x—5=o的根得/+4。=3.

又数列｛%｝为等差数列，**•%+网〃3+〃10^3・

故答案为：3

15.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛。“｝满足a,+i+a,i=2a,("Z2),且出=5,a5=13,则为=.

【答案】21

【分析】根据题中条件，判断数列｛q｝为等差数列，再计算基本量即可得出结果.

【详解】由。用+a,i=2a”(“N2)知，数列｛%｝是等差数列，.•.%a5,%成等差数列.

/.a2+ag=2a$,as=2a5~a2=2x13—5=21.

故答案为：21.

题型三等差数列的前n项和

⑨^策略方法

在等差数列中，S,,s2-sn,s^—w,…仍成等差数列；｛与｝也成等差数列.

n

【典例1】设S“是等差数列和“｝的前”项和，已知星=659=15,贝!JS[2=()

A.16B.18C.20D.22

【答案】B

【分析】根据等差数列前〃项和公式进行求解即可.

【详解】设该等差数列的公差为(

因为s“是等差数列｛4｝的前〃项和，

9

3^+—x3x2J=6ax--

所以由$3=6,国=15,可得；n9

9^+—x9x8J=15d=-

9

所以兀=12'畀"2乂1卜卜小=18,

故选：B

【典例2］已知S,为等差数列｛%｝的前〃项和，$7=28,则〃4的值为()

A.4B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.

【详解】因为$7=7（%+%）=2^=728,解得4=4.

22

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•江西赣州•统考二模）已知等差数列｛%｝中，S,是其前w项和，若%+$3=22,«4-S4=-15,则%=（）

A.7B.10C.11D.13

【答案】C

【分析】设出公差，列出方程组，求出公差和首项，得到答案.

［详解］设公差为d,贝（!4+2d+3q+3d=22,q+3d—4%—6d=T5,

解得4=3,d=2,

故％=4+4d=3+8=11.

故选：C

2.（2023・全国•高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中

国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四

层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列，总计一百零八座，

则该塔共有（）

A.八层B.十层C.H-■层D.十二层

【答案】D

【分析】设该塔共有“+4层，根据等差数列的求和公式计算即可.

【详解】设该塔共有〃+4层，

则5〃+"-l）x2=108—（1+3+3+5）,

即（〃+—8）=0,

解得〃=8或〃=-12（舍），

即该塔共有“+4=8+4=12层.

故选：D

3.（2023•江西新余•统考二模）记S"是公差不为。的等差数列｛q｝的前“项和，若g=S3,^a3=S4,则数列｛%｝的

公差为（）

A.-2B.-1C.2D.4

【答案】A

【分析】由等差数列和等差数列的前〃项和公式代入求解即可得出答案.

【详解】由。2=S3可得：%+d=34+3d①,

4x3

由aya3=S4可得:q(a1+2d)—4qH———d(2),

由①②可得：d=-2或d=。（舍去）.

故选:A.

4.（2023・湖南长沙•长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的

形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……,则第十层有（）

个球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.

【详解】由题意知：

“1=1,

&=4+2=1+2,

%=4+3=14-2+3,

+几=1+2+3++H,

所以/=1+2+3++10=55.

故选：C

5.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成

一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵

身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（）

A.5尺2寸B.5尺3寸C.5尺4寸D.5尺5寸

【答案】B

【分析】依题意列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解.

【详解】设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为{%},公差为d,

a?~q+d—5.1

则Ldu.解得。1=5,1=0.1,，丁的身高为q=4+3d=5.3,

故选：B.

6.（2023•全国•高三专题练习）记S“为等差数列｛qj的前w项和.若出+&=1。，%。8=45,则8=（）

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛凡｝的公差和首项，再根据前〃项和公式即可解出；

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛为｝的公差，再根据前〃项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛%｝的公差为d,首项为4,依题意可得，

。2+〃6=+"+%+54=1。，艮［Jq+3d=5,

又=（ai+3d）（q+7d）=45,解得：d=1,%=2,

5x4

所以8=5^+-^-xd=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：a2+a6=2a4=10,a4ag=45,所以%=5,as=9,

从而［=_^^^£=1,于是%=%_/=5-1=4,

8-4

所以$5=5%=20.

故选：C.

7.（2023・陕西安康・统考三模）已知等差数列｛4｝的前"项和为S,,%+%=4,则及=（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质，求得q+4=4,结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由等差数列的性质，可得4+4=+%=4,

所以臬=6"％）=6（/；%）=12.

故选:B.

8.（2023春•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列｛加｝中，a3+2a5+a9=10,则数列｛助｝前

10项的和为（）

A.20B.24C.25D.28

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式求出首项和公差的关系，最后根据等差数列求和公式计算即可.

【详解】设等差数列｛%｝的首项为%,公差为d,

由。3+2%+%=1。得2%+9d=5,

••数歹!]｛%｝前10项的和5]0=100,+451=5（2%+94）=25.

故选：C.

9.（2023・全国•高三专题练习）在项数为机的等差数列｛%｝中，其前3项的和为12,最后3项的和为288,所有项的

和为850,则冽=（）

A.16B.17C.19D.21

【答案】B

【分析】利用等差数列的基本性质求出4+4的值，利用等差数列的求和公式可得出关于机的等式，解之即可.

（、fa+a0+a.=12

【详解】设等差数列4的前〃项和为%贝!I।23.。。，

&+4.T+%-2=288

由等差数列的性质可得3（q+%“）=（%+%+/）+（%”++%“-2）=12+288=300,

所以，a1+am=100,

所以，S”=硬“J=也122=50.850,解得m=17.

22

故选:B.

10.（2023•广东东莞•校联考模拟预测）设5〃为正项等差数列｛〃〃｝的前〃项和.若52023=2023,贝九一+一的最小值

02020

为（）

5Q

A.-B.5C.9D.-

22

【答案】D

【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得。1+%023=。4+。2020=2且〃4>0，出020>。，

141,「14x1r_.a?n?n4为

化简一+---=--（a4+6Z2020）（—+------）=--[5+（------+------）],结合基本不等式，即可求解.

“402020乙44"2020'”4”2020

【详解】由等差数列的前"项和公式，可得%>23=2°23（“；出。23）=2。23,可得4+的必=2,

又由+。2023—“4+02020—2日.。4>°，“2020>。，

所以，+4=/&+%。2。）（'+±）=?[5+（如+也）]?1（5+2百五）=]当且仅当次='时,

。4“20202”4”2020?。4“2020?\。4“20201的42020

即4=。2020时9等号成立，

14Q

所以7+'的最小值为

“4420202

故选：D.

IL（2023•陕西咸阳•统考三模）已知等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S,,,若（2"+3电=冏，贝赞=（）

A.-B.-C.—D.—

732525

【答案】A

【分析】根据等差数列前n项求和公式可得兴=詈，由题意可得率=三p令〃=9,计算即可求解.

T9b5Tn2n+3

【详解】（2"+3电="£=冒=亍0，

Tn2〃+3

l99

又$9=—（6Zj+tz9）=—x2%=9a5,

99

T

9=-（^I+^9）=-X2/?5=9b5,

rr^9_a5▽邑=9_

所以r|勾一4’又「2x9+3-，，

所以詈=；.故选：A.

以7

12.（2023・全国•高三专题练习）若两个等差数列｛4｝,也｝的前〃项和4，纥满足寸=二万（weN）加涓=（）

H■〃十乙/%]

1414「778

A.B.-C.—D.—

1073471

【答案】B

【分析】根据等差数列得性质和前"项和公式计算即可.

A,7n+l/

【详解】由K=G（〃eN），

21（%+。21）

an_2au_ax+tz21_?_2421_7x21+1_4

得叱-禹一4+瓦]―郁4+如）一耳―4x21+27

2

故选：B.

二、多选题

13.（2023・全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝的前"项和为5"，若$=生爱，贝U（）

A.S]]=。B./=0

C.S6=S5D.S7=S6

【答案】ABC

【分析】根据等差数列前〃项和公式和通项的性质，推出。6=。，结合选项可得答案.

【详解】因为｛4｝是等差数列，所以为+%=ax+an=2a6.

根据题意治=%爱=%,又与J©；""1]"，所以11%=%,

从而。6=°，％=0,故选项A,B正确；

又&='-$5=0,即56=8,故选项C正确；

对于选项D,$7-56=%，根据题意无法判断出是否为零，故选项D错误.

故选：ABC

14.（2023・辽宁•校联考一模）设等差数列｛q｝的前〃项和是S“，若出<-知<4,则（）

A.4<%B.Sl0>0C.几<0D.Sn<S5

【答案】BC

【分析】设等差数列公差为d,由题目条件，可得％>0,d<0,-5d<<-^d,由此可得各选项正误.

【详解】设等差数列公差为d,则由题目条件有：

q+d<—q—10dd<0

<%+d<%=><q>0.

—ci,—1Od<。[_,11,

11

i-5d<a1V---d

A选项，4一%=>0=4>/，故A错误；

B选项，Ho=104+45d>—50d+45d=—5d>0,故B正确；

C选项，染=15a+105（/<-—d+105d=—d<0,故C正确；

15122

D选项，注意到4=%+5d>-5d+5d=0,

%=ay+6d<-^d+6d=^<0,又由d<0知｛4｝为单调递减数列，贝！I

Sn<S6,故D错误.

故选：BC.

三、填空题

15.（2023春•陕西安康•高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列｛4｝的前n项和为S“，必+%=1,S$=55,

则公差为.

【答案】-3

【分析】根据等差数列公式求解.

2%+116?=1,

【详解】设数列｛叫的公差为d,则<5x4〃代解得1=-3；

JCLH----d=55,

I2

故答案为：-3.

16.(2023・安徽六安•六安一中校考模拟预测)记等差数列｛4｝的前〃项和为S,,若3s5-5$3=135,则数列｛q｝的

公差d=.

【答案】9

【分析】将其和S,拆分为为和d,解方程即可得出答案.

【详解】因为3与-5s3=135,

5x43x2

所以3(5q+—d)_5(3%+—d)=135,

所以15d=135,

解得d=9,

故答案为：9.

17.(2023•江苏无锡・江苏省天一中学校考模拟预测)若等差数列｛%｝前〃项和为S“，且出=14,55=55,数列｛陶-｝

的前10项的和为.

【答案】-265

al+d=14

【分析】由题意可得L5x4,“，解方程求出％,4,即可求出生7,再由等差数列的前〃项和公式求解即可.

5%H—~u—55

【详解】设等差数列｛%｝的首项为外,公差为d,

6+4=14%=17

则＜5x4八解得上“

5%H———d—55\ct——3

故q=17+(〃-l)x(-3)=-3〃+20,

所以为1T=-3x(3〃-1)+20=-9〃+23,

所以数列｝的前10项的和为*(；67)=一265.

故答案为：-265.

18.(2023•河南・洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)已知等差数列｛%｝的前“项和为S",且2%-4=1。，则

S[=.

【答案】70

【分析】设公差为d,化简已知得。4=1。，再利用等差数列的求和公式计算即得解.

【详解】设公差为d,因为｛4｝是等差数列，所以2(q+4d)-(%+5d)=10,

化简得6+34=10,即。4=1。，

77

所以S7=-(6Z1+<2