导数的概念及其几何意义课件高二上学期数学人教A版选择性

导数的概念及其几何意义5.1导数的概念及其意义复习引入两类变化率问题:(1)跳水运动员的速度平均速度瞬时速度(2)抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率

这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11

f(x)＝x21、平均变化率探究新知对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).我们把比值，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.2、导数的定义探究新知如果当∆x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或

，即导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.说明：(1)函数f(x)在点x0处可导，是指∆x→0时，

有极限．如果

不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数．(2)∆x是自变量x在x0处的改变量，∆x≠0，而是函数值的改变量，∆y可以是零.探究新知探究：根据导数的定义，我们再来重温前面2个问题情境，你能用导数重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即

实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．巩固练习1、下列说法中，正确的打“√”，错误的打“×”(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(

)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(

)(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(

)(4)函数在某一点处的导数是一个可以变化的数.(

)(5)导数就是瞬时速度.(

)(6)因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数.(

)×√××××典型例题1、设f(x)＝

，求f′(1).追问：对于f(x)＝

，你能求f′(a)(a∈R且a≠0)吗？方法归纳求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤:(1)求平均变化率(2)取极限，得导数典型例题2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第

xh时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)＝x2-7x＋15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6).分析：原油温度在第2h时的瞬时变化率，从数学角度求的是什么？=Δx-3说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.根据导数的定义，典型例题3、一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位：m/s)为y=v(t)＝-t2+6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.解：在第2s和6s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和

v′(6).在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒