山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《1.3-算法案例》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

【课标要求】1．了解辗转相除法与更相减损术含义，了解其执行过程．2．了解秦九韶算法计算过程，并了解它提升计算效率实质．3．了解进位制概念，能进行不一样进位制间转化．4．了解进位制程序框图和程序．【关键扫描】1．三种算法原理及应用．(重难点)2．三种算法框图表示及程序．(难点)3．不一样进位制之间相互转化．(重点)4．秦九韶算法中多项式改写．(易错点)1.3

算法案例第1页辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一个求两个正整数___________古老而有效算法．(2)辗转相除法算法步骤第一步，给定________________.第二步，计算___________________.第三步，____________.第四步，若r＝0，则m、n最大条约数等于___；不然，返回________.自学导引1．最大条约数两个正整数m，nm除以n所得余数rm＝n，n＝rm第二步第2页更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是_____．若是，用_______；若不是，执行_______．第二步，以_____数减去_____数，接着把所得差与_____数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得数_____为止，则这个数(等数)或这个数与约简数乘积就是所求最大条约数．

任意给定两个正整数，用辗转相除法和更相减损术是否都能够求它们最大条约数？提醒是．更相减损术与辗转相除法都能在有限步内结束，故均能够用来求两个正整数最大条约数．2．偶数2约简第二步较小较小相等较大第3页秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成以下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式值时，首先计算_____________一次多项式值，即v1＝__________，然后由内向外逐层计算一次多项式值，即v2＝__________，v3＝__________，…vn＝__________.这么，求n次多项式f(x)值就转化为求________________值．3．最内层括号内anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式第4页进位制进位制是人们为了_____和_________而约定记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制基数是k.把十进制转化为k进制数时，通惯用除k取余法．

不一样进制间数不能比较大小，对吗？提醒不对．不一样进位制是人们为了计数和运算方便而约定记数系统，不一样进位制数照样可比较大小，不过普通要转化到十进制下比较大小更方便一些．4．计数运算方便第5页1．辗转相除法与更相减损术区分和联络名师点睛名称辗转相除法更相减损术区分①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果①以减法为主．②两个整数差值较大时，运算次数较多．③相减，两数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数判断联络①都是求两个正整数最大条约数方法．②二者实质都是递推过程．③二者都要用循环结构来实现第6页秦九韶算法(1)特点：经过一次式重复计算，逐步得出高次多项式值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可．(2)算法步骤：设Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.第一步：计算最内层anx＋an－1值，将anx＋an－1值赋给一个变量v1(为方便将an赋予变量v0)；第二步：计算(anx＋an－1)x＋an－2值，能够改写为v1x＋an－2，将v1x＋an－2值赋给一个变量v2；2.第7页依次类推，即每一步计算之后都赋予一个新值vk，即从最内层括号到最外层．括号值依次赋予变量v1，v2，…，vk，…，vn，第n步所求值vn＝vn－1x＋a0即为所求多项式值．(3)秦九韶算法有以下几个优点：①大大降低了乘法次数，使计算量减小．在计算机上做一次乘法所需要时间是做加法、减法几倍到十几倍，降低做乘法次数也就加紧了计算速度；②规律性强，便于利用循环语句来实现算法；③防止了对自变量x单独做幂计算，每次都是计算一个一次多项式值，从而能够提升计算精度．第8页关于进位制应注意问题(1)十进制原理是满十进一．一个十进制正整数N能够写成an×10n＋an－1×10n－1＋…＋a1×101＋a0×100形式，其中an，an－1，…，a1，a0都是0至9中数字，且an≠0.比如365＝3×102＋6×10＋5.(2)普通地，k进制数原理是满k进一，k进制数普通在右下角处标注(k)，以示区分．比如270(8)表示270是一个8进制数．但十进制普通省略不写．(3)在k进制中，有：①有k个不一样数字符号，即0,1,2,3，…，(k－1)；②“逢k进一”，即每位数计满k后向高位进一．一个k进位制正整数就是各位数码与k方幂乘积和，其中幂指数等于对应数码所在位数(从右往左数)减1.比如230451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋1.3．第9页题型一求两个正整数最大条约数分别用辗转相除法和更相减损术求261和319最大条约数．[思绪探索]使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，重复执行直到余数为0；更相减损术则是依据m－n＝r，重复执行，直到n＝r为止．解

法一

(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319与261最大条约数为29.【例1】第10页法二

(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261最大条约数是29.第11页规律方法

(1)利用辗转相除法求给定两个数最大条约数，即利用带余除法，用数对中较大数除以较小数，若余数不为零，则将余数和较小数组成新数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数最大条约数．(2)利用更相减损术求两个正整数最大条约数普通步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也能够不除以2，直接求最大条约数，这么不影响最终结果．第12页用辗转相除法求80与36最大条约数，并用更相减损术检验你结果．解

80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36最大条约数是4.验证：80÷2＝40

36÷2＝1840÷2＝20

18÷2＝920—9＝11

11－9＝29－2＝7

7－2＝55－2＝3

3－2＝12－1＝1

1×2×2＝4所以80与36最大条约数为4.【变式1】第13页将七进制数235(7)转化为八进制．解

235(7)＝2×72＋3×71＋5＝124，利用除8取余法(如图所表示)，所以124＝174(8)．所以235(7)转化为八进制数为174(8)．题型二

进位制之间转化【例2】规律方法对于非十进制数之间互化，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得商是0为止；(2)各步所得余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数右下角标明基数．第14页把以下各数转换成十进制数．(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．解

(1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45.(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65.(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973.【变式2】第15页用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6，当x＝2值．题型三

秦九韶算法在多项式中应用【例3】第16页[规范解答]依据秦九韶算法，把多项式改写成以下形式：f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照从内到外次序，依次计算一次多项式当x＝2时值． (2分)v0＝3，v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14， (4分)v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25， (6分)v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55， (8分)v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238， (10分)所以当x＝2时，多项式值为238. (12分)第17页【题后反思】(1)先将多项式写成一次多项式形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这么比直接将x＝2代入原式大大降低了计算量．若用计算机计算，则可提升运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn.第18页用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算次数分别为 (

)．A．5,4 B．5,5C．4,4 D．4,5解析

n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就降低一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要降低一次，为5－1＝4.故选D.答案

D【变式3】第19页已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时值时，做了几次乘法？几次加法？[错解]依据秦九韶算法，把多项式改写成以下形式f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.按照从内到外次序，依次计算一次多项式当x＝2时值：v1＝2＋2＝4；v2＝2v1＋3＝11；v3＝2