4.5-描述函数法省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

4.5描述函数法

4.5.1描述函数法基本思想与条件1.基本思想

在非线性系统中，即使没有受到外界周期性振荡作用，但有时也会出现一个含有一定频率不衰减等幅振荡，这种振荡含有一定稳定性，受到某种干扰后，还能自动恢复到这种振荡状态。非线性系统出现这种振荡称为自激振荡。

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可见，分析非线性系统自激振荡时，可令r(t)=0。所以，任何只有一个非线性元件系统均可化为如图4.17所表示基本形式。其中，N是非线性步骤,G(S)是系统线性部分传递函数。

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当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频率相同基波分量，还有其它高频分量，但没有常值分量。线性部分在x(t)作用下产生响应c(t)中，也会包含这些高频分量。但很多线性系统含有低通滤波特征,c(t)中高频分量相对于基波分量要小得多。在这种情况下，能够只考虑x(t)中基波分量作用，用来近似分析非线性系统特征，这就是描述函数法基本思想。

第3页2．基本条件

描述函数法应用条件是：

1）非线性特征是斜对称，这么输出中常值分量为零；2）线性部分含有很好低通滤波特征，以衰减高次谐波；3）非线性特征不是时间函数，因为描述函数法本质上是频率法推广，而频率法对时变系统不适用；4）系统中非线性特征能简化为一个非线性步骤。

第4页4.5.2描述函数

1.描述函数定义对于很多非线性步骤，当输入信号为正弦函数时，输出量x(t)普通都不是同频率正弦波，而是一个非正弦周期函数，其周期与输入信号周期相同，普通能够展开为傅里叶级数

(4.80)

式中

(4.81a)

（4.81b)设非线性特征是关于原点对称，则A0(t)=0，x(t)基波分量为

(4.82)

第5页式中（4.83a）

（4.83b）

(4.84a)

1=tg-1A/B(4.84b)类似于线性系统理论中频率特征概念，把非线性步骤输出基波分量复向量与正弦输入复向量之比，定义为该非线性步骤描述函数，记为N(A,j

)，即

(4.85)第6页2.描述函数求取由描述函数定义能够看出，求描述函数步骤为:1）绘制输入—输出波形图，写出输入为时非线性输出表示式；2）由波形图分析x(t)对称性，并由式（4.83）计算A1，B1或者由式（4.84）计算X1，φ1；3）描述函数为

第7页例4.30设非线性元件静特征方程为，求它描述函数。解因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得所以，描述函数为非线性元件基波分量为

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3．多个非线性元件组合描述函数（1）非线性步骤并联

非线性步骤并联时，总描述函数等于各个非线性步骤描述函数之和。证实：1）非线性特征都是单值函数：由于这时各步骤描述函数都是实数，所以各个步骤输出中基波分量分别为输入信号乘以它们描述函数，即第9页

所以总描述函数为

2）非线性特征为非单值函数：设两个非线性特征描述函数为则两个非线性特征基波分量为两个非线性特征并联时总基波分量为所以，总描述函数为

第10页（2）非线性步骤串联

1）忽略一些非线性特征：对系统工作条件及状态进行分析，能够忽略其中一些非线性特征。2）合并非线性特征为一个总步骤：假如必须同时考虑几个非线性步骤影响时，常需把几个非线性结合在一个总非线性步骤中，然后再求取这个总步骤描述函数。

比如，将如图4.19（a）所表示死区特征和饱和特征串联，合并为一个总非线性步骤，如图4.19（b)所表示。

第11页4.5.3经典非线性特征描述函数1.饱和特征

(1)饱和现象

饱和特征是控制工程中经常碰到一个非线性特征。比如，放大器输出饱和或输出限幅、含有行程限制及功率限制液压调整阀、伺服电机在大控制电压情况下运行转速特征、流通孔径限制等，它们输出与输入量只在某一范围内成线性关系（称为线段），输入量超出这一范围后，尽管输入量增加，但输出量改变很小，基本保持一常值，这种现象称为饱和现象，其静特征如图4.20（a）所表示。

第12页(２)饱和特征数学描述

理想饱和特征静特征如图4.20（b）所表示，用数学表示式描述以下

（4.86a）或表示为（4.86b）式中（4.86c）

第13页(3)饱和特征描述函数

饱和特征在正弦输入下输出波形如图4.21所表示。

图4.21饱和特征正弦输入下输出波形

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其中A1=0在1/4周期内，x(t)数学表示式为其中，，所以

第15页则饱和特征描述函数为

（4.87）在分析系统稳定时，惯用描述函数负倒特征曲线，或者称为负倒描述函数。饱和特征负倒特征为

(4.88)

可见，当A为定值时，

为一负实数。在复平面内绘

出饱和特征负倒特征曲线如图4.22所表示，图中箭头表

示A增大时，负倒特征曲线改变方向。

第16页2．死区特征

(１)实际系统死区

系统死区又称不灵敏区，是指输入量一个范围，当输入量在这个范围内时，元件或系统没有输出。(２)死区特征数学描述

在系统分析中，把死区特征理想化为图4.23（b）所表示，其数学表示式为（4.89）其中，a为死区宽度；k为线性输出特征斜率。第17页(３)常见含有死区特征实际系统或元件不灵敏区在控制系统各类元件中都存在，只是程度不一样。下面举几个常见系统：１）测速发电机转速很低时，输出电压几乎为0；２）伺服电机死区电压（开启电压）；３）各种电路中门槛值（阈值）；４）电气触头间隙；５）弹簧预张力；6）气动或液压滑阀搭接段。

第18页（4）死区特征描述函数

死区特征在正弦输入下输出波形如图4.24所表示。图4.24死区特征正弦输入下输出波形

第19页可见，是单值奇函数，含有半周期对称性，所以A1=0

在1/4周期内，x(t)数学表示式为

其中，，所以死区特征描述函数为：

(4.90)

死区特征描述函数负倒特征曲线如图4.25所表示

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3.间隙特征

(１)实际系统中间隙特征

在齿轮传动中，因为制造与装配中误差，在一对啮合齿轮之间往往存在间隙，如图4.26所表示。在有间隙存在齿轮系中，当主动轮作周期运动时，便出现如图4.27所表示特征，这种特征称为间隙特征。

图4.26

齿轮传动中间隙特征第21页(２)间隙特征数学描述

（4.91）式中，为间隙宽度；ｋ为输出特征斜率。(３)常见有间隙特征实际系统１）齿轮转动系２）磁化特征３）液压传动中油隙特征(4)间隙特征描述函数

第22页间隙特征及其正弦输入下输出波形如图4.29所表示

图4.29间隙特征在正弦输入下输出波形

第23页其中x(t)数学表示式为

其中，，于是

第24页所以，间隙特征描述函数为

(4.92)

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因为在间隙特征中出现了回环，而成为非单值函数。所以其描述函数是一个复函数。绘制间隙特征负倒特征曲线数据如表4.1所表示，其中，设k=1。间隙特征负倒特征曲线如图4.30所表示。

表4.1间隙特征负倒特征数据

10511.051.14180186.9193.72.521.6611.431.72.08206.2212.5219.4270第26页图4.30间隙特征负倒特征曲线

第27页4.继电器特征

继电器是最惯用电器控制元件，因为继电器吸上电压和释放电压不一样，所以，输入输出特征可能包含死区、饱和、间隙等非线性特征，其静特征普通如图4.31a所表示，其数学表示式为

（4.93a）

式中，a为继电器吸合电压；ma

为继电器释放电压；

b为继电器饱和输出值。

第28页当a,m取不一样值时，有以下几个特殊情况。（1）理想继电器特征；图4.31（b)

（4.93b）（2）含有死区单值继电器特征图4.31*c)（4.93c）（3）含有滞环继电器特征图4.31（d)（4.93d）

第29页第30页带有滞环和死区继电器特征及其在正弦输入下输出波形如图4.32所表示

图4.32继电特征正弦输入下输出波形

第31页

因为x(t)既不是奇函数，又不是偶函数，所以，需要分别计算A1及B1。从图中看出，A0=0。在半周期内，x(t)数学表示式为

其中，，，可是

第32页所以，继电特征描述函数为

(4.94)第33页下面深入讨论继电特征几个特殊情况

（1）理想继电器特征(a=0)

将a=0代入(4.94)式得理想继电特征描述函数：

(4.95)它是一个实函数，其负倒特征为

(4.96)负倒特征曲线如图4.33b所表示

第34页（2）含有死区单值继电器特征（m=1）

将m=1

代入(4.94)式得

(4.97)

它也是一个实函数，其负倒特征为

(4.98)

负倒特征曲线如图4.34b所表示

第35页（3）含有滞环继电器特征（m=-1）

将m=-1代入(4.94)式得

(4.99)

它是一个复函数，其负倒特征为

(4.100)

可见，负倒特征虚部是一负常数，实部是随A改变负实数。负倒特征曲线如图4.35（b）所表示

第36页带有滞环和死区继电器特征负倒特征曲线如图4.36所表示

图4.36带有滞环和死区继电特征负倒特征曲线

第37页4.5.4用描述函数法分析非线性系统自激振荡1.非线性系统特征方程

非线性系统稳定性分析包含判别系统是否稳定、是否产生自激振荡以及自激振荡是否稳定并确定自激振荡振幅和频率。应用描述函数法，对任何阶次非线性定常系统都能够进行近似分析。

假如系统满足描述函数法条件，在非线性元件输出中主要是基波分量。那么，非线性元件能够等效为一个含有描述函数N(A,j

)或N(A)线性步骤，如图4.37所表示，所以，能够用频率法研究。

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注意，图4.37中不能用传递函数表示，因为这里分析仅仅是在正弦输入信号下进行。

由图4.37可得系统特征方程为(4.101)

于是

(4.102)

第39页2．奈氏图上稳定性分析

为了研究系统稳定性，首先在奈氏图上画出两条轨迹：一条是频率特征G(j

)随

改变曲线；一条是负倒特征随正弦信号幅值A改变曲线；则非线性系统稳定判据叙述以下：

非线性系统奈氏稳定判据：设系统线性部分是最小相位，则1）若轨迹没有被轨迹包围，即当

由0

时轨迹一直位于轨迹之左侧，如图4.38（a）所表示，则非线性系统是稳定。而且，二者相距越远，系统相对稳定性越好。

第40页

2）若轨迹被轨迹包围，如图4.38（b）所表示，那么，非线性系统是不稳定。3）若轨迹与轨迹相交，如图4.38（c）所表示，那么，非线性系统存在稳定或不稳定自激振荡。

3．自激振荡稳定性分析及其振幅和频率确实定（1）自激振荡稳定性定义

第41页上面介绍了分析非线性系统稳定性方法。当轨迹与轨迹相交时，如图4.39所表示，非线性系统存在自激振荡。自激振荡可能是稳定，也可能是不稳定。假设系统处于自激振荡状态，即系统输出是近似正弦波。假如在干扰作用下，自激振荡幅值和频率保持不变，则称为稳定自激振荡。假如在干扰作用下，系统输出发散或收敛，或者自激振荡幅值和频率改变，则称为不稳定自激振荡。注意，自激振荡稳定性与系统稳定性，是完全不一样概念。

第42页（2）自激振荡稳定性判别

先讨论图4。39中交点a处自激振荡稳定性。设系统工作在点a，系统处于临界稳定状态则系统输出是振幅为，频率为正弦波。若扰动使系统输出幅值增加，即扰动使系统工作改变到c点，这时，因为轨迹不包围c点，系统处于稳定状态，所以，系统输出收敛，幅值减小，系统状态又回到a点。反之，若扰动使系统输出幅值减小，即扰动使系统工作改变到d点，这时，因为轨迹包围d点，系统处于不稳定状态，所以，系统输出发散，幅值增加，系统状态也回到a点。所以，即使存在干扰，系统总是工作在a点。所以，a点是一个稳定自激振荡。这时，系统输出一个稳定正弦波，振幅为，频率为。第43页讨论交点b处自激振荡稳定性。设系统工作在b点，则系统输出振幅为，频率为正弦波。若扰动使系统输出幅值增加，即系统工作在e点,这时,因为轨迹包围e点，系统处于不稳定状态，所以，系统输出发散，幅值增加，系统输出继续增加，直到稳定在a点。若扰动使系统输出幅值减小，即系统工作在f点，这时，因为轨迹不包围f点，系统处于稳定状态，所以，系统输出收敛，幅值继续减小，直到系统输出幅值为0。所以，b点是一个不稳定自激振荡。自激振荡稳定性能够从振荡幅值增加时，负倒特征轨迹移动方向判别。当负倒特征轨迹从不稳定区进入稳定区时，交点处自激振荡是稳定自激振荡。反之，当负倒特