二次型就是二次齐次多项式本章通过矩阵乘法将二次型与课件市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第五章二次型就是二次齐次多项式.本章经过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联络起来，从而首先使得二次型问题能够用矩阵理论和方法来研究，另首先也能够将对称矩阵问题转化为用二次型来处理。本章主要内容：1二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第1页第1页1.二次型及其矩阵表示设是一数域，一个系数在数域中二次齐次多项式(1)称为数域上一个元二次型（简称二次型）。2二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第2页第2页1.二次型及其矩阵表示（续1）定义1设；是两组文字，系数在数域中一组关系式(2)称为由到一个线性替换，假如行列式那么线性替换(2)就称为非退化。线性替换把二次型变成二次型。3二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第3页第3页1.二次型及其矩阵表示（续2）令则其中是一个对称矩阵，称为二次型(1)矩阵；矩阵秩称为二次型秩。二次型和它矩阵是相互唯一决定。4二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第4页第4页1.二次型及其矩阵表示（续3）定义2数域上矩阵称为协议，假如在数域上有可逆矩阵,使协议关系含有1)反身性2)对称性3)传递性在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型性质能够推知原来二次型一些性质。5二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第5页第5页2.标准形定理1数域上任意一个二次型都能够经过非退化线性替换变成标准形其中非零系数个数等于该二次型秩。定理2在数域上，任意一个对称矩阵都协议于一对角矩阵。6二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第6页第6页2.标准形（续）化二次型为标准形方法：(1)配方法(2)用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵。为了确保所得到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次型对矩阵进行成正确初等变换将化成对角形，而且确保了协议关系。假如

则经线性替换化成标准形7二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第7页第7页3.唯一性定理3任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形而且规范形是唯一。规范形中非零平方项个数等于二次型秩.两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等.定理4（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形且规范形是唯一。8二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第8页第8页3.唯一性（续）定义3在实二次型规范形中，正平方项个数称为正惯性指数；负平方项个数称为负惯性指数；它们差称为符号差。实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。9二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第9页第9页4.正定二次型定义4实二次型称为正定，假如对于任意一组不全为零实数都有。实二次型

是正定当且仅当定义5实对称矩阵称为正定，假如二次型正定。10二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第10页第10页4.正定二次型（续1）定义6子式称为矩阵次序主子式。定理6元实二次型是正定充分必要条件是它正惯性指数等于。11二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第11页第11页4.正定二次型（续2）定理7实二次型是正定充分必要条件为矩阵次序主子式全大于零。通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。正定矩阵行列式大于零。12二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第12页第12页4.正定二次型（续3）定理8对于实二次型，其中是实对称，以下条件等价：(1)是半正定，(2)它正惯性指数与秩相等，(3)有可逆实矩阵，使(其中)

(4)有实矩阵使(5)全部主子式皆大于或等于零。13二次型就是二次齐次多项式本章经过矩阵乘法将二次型与课件第13页第13页4.正定二次型（续4）定义7设是一个实二次型，对于任意一组不全为零实数，假如有，那么称为负定；假如有那么称为半正定;假如都有,那么称为半负定；假如它既不是半正定又不是半负定，那么就称为