平面及其方程市公开课一等奖省赛课获奖课件

第七节平面及其方程一、平面点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面

.则称向量n为平面

法向量.注:1对平面

,法向量n不唯一;2平面

法向量n与

上任一向量垂直.第1页2.平面点法式方程设平面

过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={x

x0,y

y0,z

z0},得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0称方程(1)为平面点法式方程.(1)第2页例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量平面方程.解:依据平面点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第3页nM3M2M1解:先找出该平面法向量n.因为n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2

M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(

1,3,2)和M3(0,2,3)平面方程.所以,所求平面方程为:14(x2)+9(y+3)(z4)=0即:14x+9y

z15=0第4页二、平面普通方程1.定理1:任何x,y,z一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程能够化为它表示过定点,且法向量为n={A,B,C}平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面普通方程.第5页例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第6页2.平面方程几个特殊情形(1)过原点平面方程因为O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点平面方程为:Ax+By+Cz=0第7页(2)平行于坐标轴方程考虑平行于x轴平面Ax+By+Cz+D=0,它法向量n={A,B,C}与x轴上单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴平面方程是Ax+By+D=0.尤其:D=0时,平面过坐标轴.第8页(3)平行于坐标面平面方程平行于xOy面平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面平面方程是By+D=0;

平行于yOz面平面方程是Ax+D=0.第9页例3:求经过x轴和点(4,3,1)平面方程.解:因为平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以

3B

C=0C=

3B所求平面方程为By

3Bz=0即:y

3z=0第10页例4:设平面与x,y,z轴交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面方程.解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第11页所求平面方程为:即:(3)第12页三、两平面夹角1.定义:两平面法向量夹角(通常指锐角)称为两平面夹角.

1

n1n2

2若已知两平面方程是:

1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1

={A1,B1,C1}

2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2

={A2,B2,C2}第13页所以第14页2.平面

1与

2相互垂直

A1A2+B1B2+C1C2=0平面

1与

2相互平行

要求:若百分比式中某个分母为0,则对应分子也为0.第15页例6:一平面经过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,

1),且垂直于平面x+y+z=0,求它方程.解:设所求平面一个法向量n={A,B,C}已知平面

x+y+z=0法向量n1={1,1,1}所以:n

M1M2

且n

n1

而M1M2={1,0,2}于是:A

(1)+B

0+C(2)=0

A

1+B

1+C1=0第16页解得:B=CA=

2C取C=1,得平面一个法向量n={2,1,1}所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0第17页例:设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面距离d.解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则P1P0={x0

x1,y0

y1,z0

z1}过P0点作一法向量n={A,B,C}于是:第18页又A(x0

x1)+B(y0

y1)+C(z0

z1)=Ax0+By0+Cz0+D

(Ax