2022年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份）

第1页（共1页）2022年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知，，则A． B．2 C． D．42．（5分）数轴上某一个点表示的数为，比小4的数用表示，那么的最小值为A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知整数、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为A． B． C． D．4．（5分）若关于的不等式组无解，则的取值范围是A． B． C． D．5．（5分）如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点处利用测角仪测得树顶的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点处，此时测得树顶和树底的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为．则树的高度为（结果精确到，A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.16．（5分）已知抛物线：顶点为，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为，若，则点的纵坐标为A． B． C．4 D．7．（5分）如图，已知点，，直线经过、两点，点为直线在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点，则的面积最小值为A．4 B．4.5 C． D．8．（5分）如图，点，是双曲线上两点，且，关于原点中心对称，是等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共50分）9．（5分）若，则的值为．10．（5分）定义一种新运算，若，则，例，．已知，，，，则的值为．11．（5分）小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的方差为．12．（5分）对正整数，记！若！！！，则的正因数中共有完全立方数为个．13．（5分）如图，已知平行四边形，，为上一点，将沿折叠，得到△，且交于点，交于点，则图中阴影部分（四边形的面和为．14．（5分）如图，已知抛物线过点和点，与轴的正半轴交于点，点是抛物线上一点且，两点到直线的距离相等，点的横坐标为．15．（5分）如图，为的直径，为上一点，连结，为的切线，过切点作，交直线于点，连结交于点，若，，则．16．（5分）如图，正方形的边长为4，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交线段的延长线于点，连接，若点为线段中点，则点与点距离的最大值为．17．（5分）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点“．若关于的“函数”，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，则直线经过的定点为．18．（5分）如图，在中，，是的外接圆，在劣弧上存在点满足，连结交于点，延长交于点，连结交于点，连结，若，半径为，则．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（5分）为弘扬中华民族传统文化，我校举办了“诗话蛟川，吟诵经典”活动，比赛的形式是“飞花令”，要求每组随机选择标有“风”，“雨”，“云”，“花”的卡片，然后说出包含该字的诗句，选好卡片后不放回．第一轮是蛟蛟队和川川队比赛，则恰好蛟蛟队抽中“云”且川川队抽中“花”的概率是多少？蛟蛟队和川川队都没有抽到“雨”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．20．（7分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．（1）在图（1）中画一个面积为6的菱形．（2）在图（2）中，作以为一边的平行四边形，点，在小正方形的顶点上，且满足平行四边形的面积为11．21．（10分）2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量（件关于售价（元件）的一次函数为，当售价为40元时，周销售利润为2400元．（1）该商品每件的进价是多少元？（2）当每件售价为多少时，周售价利润最大？并求出此时的最大利润．22．（12分）如图1，在中，，，作平分线交于点，以为边作等腰直角，且，如图2将绕点每秒的速度顺时针旋转得到三角形（当点落在射线上时停止旋转），则旋转时间为秒．（1）当秒，；（2）在旋转过程中，与的交点记为，如图3，若为等腰三角形，求的值；（3）当边与边、分别交于点、时，如图4，连接，设，，，试探究，，之间的关系．23．（12分）如图，直线与双曲线交于、两点，是第一象限内的双曲线上任意一点．（1）若点坐标为，，求点坐标．（2）若，连接，若的面积是34，求值．（3）设直线、分别与轴相交于、两点，且，，求的值．24．（14分）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．（1）如图1，在“对角互余四边形”中，，，，，，求四边形的面积．（2）如图2，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”；（3）在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求的值．（结果用带有，的代数式表示）

2022年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知，，则A． B．2 C． D．4【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．2．（5分）数轴上某一个点表示的数为，比小4的数用表示，那么的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用比小的数表示为，代入式子计算即可．【解答】解：，，表示的是到0和4的距离的和，所以当在0和4之间时，有最小值4．故选：．【点评】本题考查的是绝对的和的最小值问题，解题的关键是把原式化成一个数到两个已知数的最小值问题．3．（5分）已知整数、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为A． B． C． D．【分析】根据前几个数可以发现：从第2个数开始，如果顺序数为偶数，最后的数值为，如果顺序数为奇数，最后的数值为，再根据规律求解即可．【解答】解：，，，，，，，当为偶数时，，当为奇数时，，，故选：．【点评】本题主要考查规律性：数字的变化类，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．4．（5分）若关于的不等式组无解，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】不等式组整理后，根据无解确定出的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：，不等式组无解，，解得：．故选：．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．5．（5分）如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点处利用测角仪测得树顶的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点处，此时测得树顶和树底的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为．则树的高度为（结果精确到，A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.1【分析】设，在和中，求出和，根据即可列出方程求得的值，再在中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．【解答】解：设．在中，，；，．在中，，，，解得：，则，在中，，．答：树的高度约为．故选：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出和是解决问题的关键．6．（5分）已知抛物线：顶点为，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为，若，则点的纵坐标为A． B． C．4 D．【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出点的纵坐标为．【解答】解：，由题意得向上平移后的抛物线解析式为，抛物线向上平移了5个单位，由题意得，，点的纵坐标为故选．【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．7．（5分）如图，已知点，，直线经过、两点，点为直线在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点，则的面积最小值为A．4 B．4.5 C． D．【分析】根据已知可得，，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．【解答】解：点，，，，在中，，是的直径，，，，，，的面积，当最小时，的面积最小，当时，最小，的面积，，，的面积的最小值，故选：．【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（5分）如图，点，是双曲线上两点，且，关于原点中心对称，是等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是A． B． C． D．【分析】过点作于点，记与轴的交点为点，则，由是等腰三角形得到，由、关于点中心对称得到点是的中点，则，即有，设，则，得到点、点和点的坐标，再由的面积求得的值．【解答】解：如图，过点作于点，记与轴的交点为点，则，是等腰三角形，轴，，、关于点中心对称，点是的中点，，，设，则，，点，点，点，，，，解得：，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点的坐标．二、填空题（每小题5分，共50分）9．（5分）若，则的值为1．【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：，，，即，①②得：，解得：，把代入①得：，则原式．故答案为：1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．10．（5分）定义一种新运算，若，则，例，．已知，，，，则的值为56．【分析】根据题目中的新定义和，，，，可以求得的值．【解答】解：设，，，，，，，，，，，故答案为：56．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．11．（5分）小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的方差为13.2．【分析】根据方差计算公式求解即可．【解答】解：平均数，，故答案为：13.2．【点评】本题考查方差，解题的关键是记住方差公式．．12．（5分）对正整数，记！若！！！，则的正因数中共有完全立方数为10个．【分析】先把分解成的形式，然后分别讨论，，，含有的立方数约数，最后求解．【解答】解：！！！！！！，一个完全立方数属于应该具有的形式为，，均为自然数），且，，，故这样的有个，故答案为10．【点评】本题主要考查完全平方数的知识，解答此题的关键是把分解成的形式，难度较大．13．（5分）如图，已知平行四边形，，为上一点，将沿折叠，得到△，且交于点，交于点，则图中阴影部分（四边形的面和为．【分析】过作于，由，，设，则，得，解得，根据将沿折叠，得到△，可得，又四边形是平行四边形，可得，，从而可得是等腰直角三角形，，设，则，可得，即得，故．【解答】解：过作于，如图：，，，，设，则，，，解得（负值已舍去），，将沿折叠，得到△，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，设，则，，，即，，，，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线构造直角三角形．14．（5分）如图，已知抛物线过点和点，与轴的正半轴交于点，点是抛物线上一点且，两点到直线的距离相等，点的横坐标为或．【分析】利用待定系数法求解二次函数的解析式，进而得、点坐标，连接，设的中点为．分两种情形：①当直线经过的中点时，满足条件．②时，满足条件．根据方程组求出点的坐标即可．【解答】解：抛物线过点，，，抛物线的解析式为，令，则，解得或2，，把代入，得，，连接，设的中点为，①当直线经过的中点时，满足条件．，，，，，直线的解析式为，由得或，；②时，满足条件，直线的解析式为，直线的解析式为，由得或，，综上所述，满足条件的点的横坐标为或．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．15．（5分）如图，为的直径，为上一点，连结，为的切线，过切点作，交直线于点，连结交于点，若，，则．【分析】连接、，延长交于，连接、，过作于，过作于，由切线的性质及矩形的判定与性质可得，再根据圆周角定理、勾股定理及矩形的性质可得，最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案．【解答】解：连接、，延长交于，连接、，过作于，过作于，为的切线，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，在中，，为的直径，，四边形是矩形，，、分别是、中点，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】此题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．16．（5分）如图，正方形的边长为4，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交线段的延长线于点，连接，若点为线段中点，则点与点距离的最大值为．【分析】连接，取中点，中点，中点，连接，取中点，连接，，，，，过作于，证明，可得，，由勾股定理可得，可得当，，共线时，最大，最大为．【解答】解：连接，取中点，中点，中点，连接，取中点，连接，，，，，过作于，如图：是的中位线，，，是中位线，，，，即，，，，，，，，，为中点，，，，为中点，，，，当，，共线时，最大，最大为，故答案为：．【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是作辅助线，构造三角形中位线及相似相似三角形．17．（5分）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点“．若关于的“函数”，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，则直线经过的定点为．【分析】先根据过原点得出，再由“函数”得出的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：过原点，，是“函数”，，，联立直线和抛物线得：，即：，，，又，化简得：，即，，当时，，直线必过定点．故答案为：．【点评】本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的求出对应的．18．（5分）如图，在中，，是的外接圆，在劣弧上存在点满足，连结交于点，延长交于点，连结交于点，连结，若，半径为，则4．【分析】因为，所以设，则，证明；连接并延长交于，过点作于点，过点作交的延长线于点，再证明，是等腰三角形，，所以，因为，所以设，则，在中，由，解得，所以，，最后根据即可得解．【解答】解：设，，，，，，，，连接并延长交于，过点作于点，过点作交的延长线于点，是直径，，，四边形是的内接四边形，，，，又，，，，，，，，平分，，，点到、的距离相等，，平分，（三线合一），，，，，，，，，，，，，，中，，，，，，设，则，中，，由，解得，，，，，，，，，．故答案为：4．【点评】本题考查圆的相关性质及等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质等综合知识，难度较大，解题的关键是构造全等三角形（作辅助线）．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（5分）为弘扬中华民族传统文化，我校举办了“诗话蛟川，吟诵经典”活动，比赛的形式是“飞花令”，要求每组随机选择标有“风”，“雨”，“云”，“花”的卡片，然后说出包含该字的诗句，选好卡片后不放回．第一轮是蛟蛟队和川川队比赛，则恰好蛟蛟队抽中“云”且川川队抽中“花”的概率是多少？蛟蛟队和川川队都没有抽到“雨”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中恰好蛟蛟队抽中“云”且川川队抽中“花”的有1种，则恰好蛟蛟队抽中“云”且川川队抽中“花”的概率是；蛟蛟队和川川队都没有抽到“雨”的有6种，则蛟蛟队和川川队都没有抽到“雨”的概率是．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20．（7分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．（1）在图（1）中画一个面积为6的菱形．（2）在图（2）中，作以为一边的平行四边形，点，在小正方形的顶点上，且满足平行四边形的面积为11．【分析】（1）画一个对角线分别为4，3的菱形即可；（2）利用数形结合的思想画出图形即可．【解答】解：（1）如图①中，四边形即为所求；（2）如图②中，四边形即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，菱形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量（件关于售价（元件）的一次函数为，当售价为40元时，周销售利润为2400元．（1）该商品每件的进价是多少元？（2）当每件售价为多少时，周售价利润最大？并求出此时的最大利润．【分析】（1）把代入求出销售量，再根据利润2400元可得进价；（2）根据“总利润每件商品的利润销售量”列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）把代入可得，（元，所以每件商品的进价20元；（2）设利润为元，则，，当时，最大为3200，答：当每件售价为60元时，周售价利润最大，最大利润是3200元．【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．22．（12分）如图1，在中，，，作平分线交于点，以为边作等腰直角，且，如图2将绕点每秒的速度顺时针旋转得到三角形（当点落在射线上时停止旋转），则旋转时间为秒．（1）当5秒，；（2）在旋转过程中，与的交点记为，如图3，若为等腰三角形，求的值；（3）当边与边、分别交于点、时，如图4，连接，设，，，试探究，，之间的关系．【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再利用三角形外角的性质得的度数，从而得出旋转的角度，可得答案；（2）分或或，分别求出旋转的角度，从而解决问题；（3）利用三角形外角的性质知，，再根据三角形内角和定理可得答案．【解答】解：（1）当时，，，起始状态，，故答案为：5；（2）当，，当时，，当时，，，综上：或25或40；（3）是的外角，，是的外角，，在中，，．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解决问题（2）的关键．运用三角形外角的性质是解决问题（3）的关键．23．（12分）如图，直线与双曲线交于、两点，是第一象限内的双曲线上任意一点．（1）若点坐标为，，求点坐标．（2）若，连接，若的面积是34，求值．（3）设直线、分别与轴相交于、两点，且，，求的值．【分析】（1）把点代入可求得反比例函数解析式，进而可得点的坐标，设，运用勾股定理即可求得答案；（2）设，，则，代入代入可求得，，，，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组可求得点的坐标，再由的面积是34，建立方程求解即可得出答案；（3）设，代入得：，联立方程组求出、两点的坐标，过点、、分别作轴的垂线、、，垂足分别为、、，过点作轴的平行线交于，交于，利用相似三角形性质即可得出：，，再由，，得出：，，从而得出的值．【解答】解：（1）把点