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全微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章第1页判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.一、全微分方程则称为全微分方程(又叫做恰当方程).①机动目录上页下页返回结束第2页例1.求解解:因为故这是全微分方程.则有所以方程通解为机动目录上页下页返回结束第3页例2.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程通解为或机动目录上页下页返回结束第4页二、积分因子法思索:怎样解方程这不是一个全微分方程,就化成例2方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验依据微分倒推式得到为原方程积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.例2目录上页下页返回结束第5页惯用微分倒推公式:积分因子不一定唯一.比如,对可取机动目录上页下页返回结束第6页例3.

求解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即所以通解为即因x=0也是方程解,故C为任意常数.机动目录上页下页返回结束第7页作业P2851(2),(4),(7);2(2),(5);

4习题课1目录上页下页返回结束第8页备用题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为另外,y=0也是方程解.机动目录上页下页返回结束第9页解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解另外,y=0也是方程解.机动目录上页下页返回结束第10页解法3化为线性方程.原方程变形为其通解

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