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文档简介

8.4.1、奇函数与偶函数傅里叶级数8.4.3函数

f(x)在[0,]上展开为正弦级数与余弦级数8.4正弦级数与余弦级数第1页展开式中只含有正弦函数傅里叶级数，称为正弦函数，只含有余弦函数包含常数项称为余弦级数.假设以2

为周期周期函数f(x)

在[,]内是奇函数，那么傅里叶级数一定是正弦级数.即此时傅氏系数8.4.1、奇函数与偶函数傅里叶级数第2页于是在区间()内f(x)cosnx为奇函数，而奇函数在对称区间上积分为零，所以又因f(x)sinnx在区间()内是偶函数，第3页故有

同理能够推出，当函数

f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，即此时傅里叶系数为第4页设周期函数f(x)在其一个周期上表示式例4试将其展开成傅里叶级数.解函数f(x)图形如图所表示，≤≤f(x)

O

x第5页所以我们应依据(12.6.6)式计算傅里叶系数.由图形对称性可知f(x)是偶函数，第6页即故所求傅里叶级数收敛于f(x)，又因为f(x)处处连续，第7页

(x)称为f(x)周期延拓函数.且以2为周期函数，假如

(x)满足收敛定理条件，我们构想有一个函数

(x)，设函数f(x)定义在[0,]上，它是定义在()上而在[0,]上，

(x)=f(x).那么

(x)在()上就可展开为傅里叶级数，取其[0,]上一段，即为f(x)在[0,]上傅里叶级数，8.4.3函数

f(x)

在[0,]上展开为正弦级数与余弦级数第8页在理论上或实际工作中，下面周期延拓是最为惯用:将f(x)先延拓到(,0)，使延拓后函数成为奇函数，然后再延拓为以2为周期函数.这种延拓称为周期奇延拓;yx322

O周期奇延拓第9页这种延拓称为周期偶延拓.将f(x)先延拓到(,0)，使延拓后函数为偶函数，然后再延拓为以2

为周期函数，周期偶延拓yx322

O第10页显然，周期奇延拓结果为正弦级数，其傅里叶系数按公式(12.6.5)计算.即(因在[0,]上，

(x)=f(x)).周期偶延拓结果为余弦级数，

其傅里叶系数公式为第11页例5试将解按式(12.6.8)计算傅里叶级数，第12页且延拓函数在x=0，处连续，所以(0≤

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