【数学】计数原理单元练习2-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第六章计数原理2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的展开式中的系数是（

）A．－20 B．－5 C．5 D．202．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（

）A．6 B．15 C． D．3．在的展开式中，的系数为（

）A． B．80 C．160 D．2404．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（

）A．6种 B．24种 C．64种 D．81种5．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（

）种A．450 B．72 C．90 D．3606．已知0<a<1，方程a|x|=|logax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11=a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11等于A．1020 B．1021 C．1022 D．10247．某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（

）A． B． C． D．8．已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2二、多选题9．下列关于的说法，正确的是（

）A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x10．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（

）A． B． C． D．11．（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（

）A．可组成360个四位数B．可组成216个是5的倍数的五位数C．可组成270个比1325大的四位数D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310三、填空题12．已知，则．13．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案用数字作答14．已知集合，对它的非空子集，可将中每一个元素都乘以，再求和(如，可求得和为)，则对的所有非空子集，这些和的总和是.四、解答题15．求证：，（）.16．已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品.(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？(2)若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？17．（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？18．已知．若的展开式中末三项的二项式系数的和为92，试判断展开式系数组成的数列，，…，的单调性，并求其最大项．19．有5名男运动员和3名女运动员，从中选出5名运动员，参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛，每名运动员只能参加一个球类项目竞赛，且每个球类项目竞赛都要有人参加，求符合下列条件的选法种数．（用数字作答）(1)有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数；(2)女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】写出二项式的通项公式，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】由二项展开式的通项可得，第四项，故的系数为－20故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，属简单题.2．D【分析】根据二项式系数之和为64求出，从而求出展开式的通项公式，求出第5项.【详解】由题意得：，解得：，则展开式的通项公式为，第五项是故选：D3．B【分析】写出二项式的展开式，从而可得的展开式中的系数.【详解】解：因为二项式的展开式为：，所以的展开式中含x4的项为，则x4的系数为80，故选：B．4．D【分析】根据分步计算原理，计算求值.【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有种.故选：D5．A【分析】根据分类计数原理结合平均分组以及不平均分组运算求解.【详解】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为的三组，共有种；第二种：分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种，故选：A.6．C【分析】利用指数函数的图象与对数函数的图象的交点个数求出，再利用赋值法求值即可；【详解】解：作与，的图象如图所示，令得①；令得②；①减②得：即故选：C【点睛】本题考查利用数形结合的方法求方程的根及利用赋值法求二项展开式的系数和的问题，属于中档题．7．D【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．【详解】在游戏中恰好得7分可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，②若连中3次，额外加2分布，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为．故选：D【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得小明在游戏中得7分的三种情况，从而得解.8．B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.故选：B9．AD【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答.【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确；对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误；对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；对于D，的展开式的第3项为，D正确.故选：AD10．BCD【分析】根据选项注意分析即可.【详解】表示从4名男生中选1人，再从剩余的6人中选1人，最后将选出的2人进行排列，当选出的2人都为男生时，此算法有重复，故A错误；表示先从7人中选2人，减去2人都是女生的情况，最后将选出的2人进行排列，故B正确；表示先从4名男生和3名女生中各选1人，或从4名男生中选2人，最后将选出的2人进行排列，故C正确；表示从7人中选出2人进行排列，然后减去2人都是女生的情况，故D正确.故选：BCD11．BC【分析】根据题设，逐一分析各个选项的限制条件，再列式计算即可判断作答.【详解】对于A，可组成四位数的个数为，A错误；对于B，有两类：个位上的数字是0，有个，个位上的数字是5，有个，则为5的倍数的五位数的个数是，B正确；对于C，比1325大的四位数可分为三类：第一类，千位上数字比1大的四位数，共个，第二类，千位上数字是1，百位上的数字是4，5之一的四位数，共个，第三类，千位上数字是1，百位上的数字是3，十位上的数字是4，5之一的四位数，共个，则比1325大的四位数的个数是，C正确；对于D，千位上数字是1的四位数的个数是，千位上数字是2，百位上的数字是0，1之一的四位数的个数是，于是得第85个数是2301，D错误．故选：BC12．1【分析】由二项式展开式代入特殊值计算可得.【详解】解：因为，所以令得：故答案为：113．【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加项目，乙只能参见项目，项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加项目，，项目，有种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加项目，，项目，有种方法，若甲不参加，乙不参加，有种方法，根据分类计数原理，共有种．故答案为21.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．14．2560【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.【详解】，中所有非空子集含有1的有10类：①单元素集合只有含有1，即1出现了次；②双元素集合只有1的有，即1出现了次；③三元素集合中含有1的有，即1出现了次，⑩含有10个元素，出现了次；共出现，同理都出现次，的所有非空子集中，这些和的总和是，故答案为.【点睛】本题主要考查集合的子集以及组合式的应用，考查了分类讨论思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题.15．证明见解析【分析】根据二项展开式结合基本不等式可得，结合组合数的性质运算求解.【详解】因为的展开式为，则，可得：，又因为（当且仅当时等号成立），，即，且，可得，则，所以.16．(1)86400(2)8520【分析】（1）需测试8次，按顺序可看作为8个位置，然后利用分步乘法原理求解：第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，再计算可得；（2）由分类加法原理计算：分三类：恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品或测6次全是正品．【详解】（1）需测试8次，按顺序可看作为8个位置，第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，由乘法原理方法数为：；（2）至多6次可分为恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品，恰好4次，即前4次测试都是次品，方法数为；恰好4次，即第5次是次品，前4次中有3次是次品，方法数为；恰好6次，即第6次是次品，前5次中有3次是次品或前6次都是正品，方法数为所以总的测试情况数为：．17．（1）360（2）15（3）42【分析】（1）直接应用排列数的意义求解（2）直接应用组合数的意义求解（3）不同元素的分配，先分份，再分配【详解】（1）（2）（3）第一步，剔除一个项目第二步，把四名同学分成1，3或2，2两份第三步，把两份不同的元素放入两个不同的位置则根据分步计数原理，不同的参赛方案有：18．答案见解析，最大项为【分析】根据题意，列出方程求得，得到展开式的通项为，设第项与第项的系数分别为和，令，得到与的大小关系，进而得到答案.【详解】由的展开式中末三项的二项式系数的和为，因为末三项的二项式系数分别为，所以，即，解得或（舍去），所以展开式的通项为，设第项与第项的系数分别为和，令，解得，即当且时，都有，当且时，都有，所以展开式系数组成的数列先单调递增，再单调递减，其中当时，展开式中系数最大，最大项为.19．(1)(2)【分析】（1）（2）利用分步乘法计数原理与排列组合的知识，先选再排即可得解