河北省邢台市邢台部分高中2024届高三年级上册11月期中考试数学

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

I.已知集合4={-1，0，1，2}‘8={》|%<1},则下图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{1}B.{2}

C.{-1,0}D.{1,2}

2.已知(l+i)z=2+4i,则|z|=()

A.10B.2C.VlOD.4

1.1

3已知Q=3§,b=log，一，C=log,则()

■3”

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

4.已知向量〃=（2,1）,匕=（1,一3）,（ka-b^L（a+by则实数R的值为（）

99〃

A.——B.-C.—1D.1

44

5.已知函数〃X）=（小一机一是幕函数，且在（o,+8）上单调递减，若a,beR,且

a<0<。,同<同，则/⑷+/（。）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

6.若命题“对任意的XG（0,+8）,x+^-根>o恒成立，，为假命题，则机的取值范围为（）

X

A.1m|m>2}B.{m\m>2\

C.D.\m\m<2}

8.将函数/(%)=5可5+2)(@>o)的图像向左平移N个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，且

6

函数/(x)在上单调递增，则①的取值是()

13

A.—B.2C.—D.1

22

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.设等差数列｛4｝的前"项和为5“，且530>。,531<(),则下列结论正确的是()

A.B.是等差数列

c.«,6>0D.对任意〃eN*，都有S“WS15

10.设/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x)在(0,+巧上单调递减，”—7)=(),则()

A./(x)在(—8,0)上单调递增

B./(8)<0

C.不等式〃x)>0的解集为(F,—7)3(),7)

D./(x)的图象与x轴只有3个交点

\2(J+2)2%<-1

11.已知函数/(x)=｛'，若关于X方程/(x)=W有四个不等实根毛、4、为3、

|log2(x+l)|,x>-l

X4(不<当<工3<%)，则下列结论正确的是()

A.1<A?I<2B.-3<玉<—2

C.-1<4毛+/<0D.k+x；+log,“J^的最小值为10

12.如图，在一ABC中，BA=BC=1,延长3C到点。，使得3C=C。，以AO为斜边向外作等腰直

角三角形A0E，则()

A.心=5—4cos8

B.sin/CA£)e(g,^^)

C.AC£>面积的最大值为《

D.四边形A8E面积的最大值为包毡

4

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数/(x)=]("+2)x，*'2是R上的单调递增函数，则实数。的取值范围是________.

ci+1,x<2

14.已知函数=匕J，若加>(),〃>(),且/(2m)+/(〃-1)=/(0),则一+一的最小值为____

、1+e"tnn

15.已知x,y,zwR,且x-2y+2z=5,则(x+5>+(y-l)2+(z+3>的最小值是____

16.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(x)为奇函数，g(x+l)为偶函数，/(—1)=2,

2023

g(x+2)-f(x)=1,贝ljZg(i)=.

i=\

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且4=<；：：；〃〉2，

(1)求S.；

1

（2）若b“=求数列也｝的前"项和小

3+1

18.已知g(x)=log“x(a>0,aHl),且g(x)图象过点(4,2),又“x)=-g(x).

(1)若/(3x—1)>/(—x+5)成立，求x的取值范围；

(2)若对于任意xe[L4],不等式/(2x)g[：]-〃?<0恒成立，求实数〃?的取值范围.

19.已知向量。二,b-\sin69X,2sin函数/（%）=。♦〃+1（其中0<69<1）,函数

/(X)的图象的一条对称轴是直线x=5.

(1)求①的值；

(2)若0<&<方且值.

20.在锐角三角形A8C中，内角A,8,C的对边分别为a,加c,且竺4+迺=2病mC

ab3。

(1)求角8的大小；

(2)若。=2百，求.ABC面积的取值范围.

21.为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖

速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2,

浮萍覆盖面积丁(单位：n?)与2022年的月份x(单位：月)的关系有两个函数模型、=①，伏>0,。>1)

与y=mx2+n(m>0)可供选择.

(1)分别求出两个函数模型的解析式；

(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算

至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100H??(参考数据：】g2a().3(),lg3*0.48)

22.已知｛a“｝是等差数列，4+%=16,%-%=4.

2"-\

(1)求｛4｝的通项公式和1%.

三2"T

XA

(2)已知物,｝为等比数列，对于任意女eN*，若2-'<«<2-1)则bk<。“<瓦"

(I)当ZN2时，求证：2"-1<d<2"+1；

(H)求｛〃,｝通项公式及其前〃项和.

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

I.已知集合4={-1，0，1，2},8=屏出＜1},则下图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{1}B.{2}

C.{-1,0}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】阴影部分表示的集合为AcaB,根据补集、交集定义进行即可.

【详解】阴影部分表示的集合为ACAB,

又43={x|x21},

所以AcQ3={l,2}.

故选：D.

2.已知(l+i)z=2+4i,则忖=()

A.10B.2C.V10D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出z再求模长可得答案.

2+4i(2+4i)(l-i)2+4+2i。.

【详解】(i+i)(i-i)=3+i，

则回=Ji5.

故选：C.

I1.1

3.己知〃=不，b=log,-,c=log|一，则（）

u~J3§e

A.a>ohB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数的单调性，对比出。、C三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.

【详解】解：因为函数y=3*为单调递增函数，

所以a=3与〉3°=1，即a>1；

因为y=log2x为单调递增函数，

所以b=log2；<log21=0,即匕<0；

因为>=logj单调递减，

3

,…1।1

所以logil<log]_<logl彳,

55e53

即0<c<1,

故a>c>b,

故选:A.

4.已知向量a=（2,l）,匕=（1,一3）,（ka-b）±（a+b）,则实数上的值为（）

,99c

A.----B.—C.—1D.1

44

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可得：ka-b=（2k-\,k+3）,a+b=（3,-2）,

a

所以3（24一1）一2（左+3）=0=攵=彳.

故选：B

5.已知函数/（力=（加2一机—1）£/+所3是幕函数，且在（0,+8）上单调递减，若a/eR,且

a<0<b,\c^<\b\,则/⑷+/团的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

c.等于0D.无法判断

【答案】B

【解析】

【分析】由嘉函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.

【详解】由1=1得加=2或机=-1,

加=2时，/(x)=V在R上是增函数，不合题意，

m=-l时，/(X)=%-3,在(0,+8)上是减函数，满足题意，

3

所以f(X)=X-,

a<0<b,\a\<\b\,则Z?>-a>0,1(-a)>/(。)，/(x)=-1是奇函数，因此/'(-a)=-/(a),

所以一,f(a)>/S),即/(a)+/g)<0,

故选：B.

6.若命题“对任意的xe(0,+8),x+L-m>0恒成立"为假命题，则机的取值范围为()

X

A.B.{m\m>2)

C.{m\m<i\D.[m|m<2}

【答案】A

【解析】

【分析】根据原命题为真可得机+,即可得出命题为假命题时机的取值范围.

【详解】当原命题为真时，加恒成立，即y=x+—>2.XX—=2,m<|x+—|=2,

XX\X1xjmin

由命题为假命题，则〃222.

故选：A.

7.函数y=一一：：山£的大致图像是()

%yjk

A.一.,一.B-

--2-1O\^\^x--2-1O12—x

【答案】A

【解析】

【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当x=5时y<0得出答案.

【详解】设/1（%）=—xeR,

d*

一x+3sinx

由/（一幻=-/（X）,得〃x）为奇函数，故B,D错误;

TTg.兀兀个

—3sin——3

由〃工)=2______1=2一<o,故A正确，c错误,

J'G'.n.re

故选:A.

8.将函数/(x)=sin|tyx+V®>o）的图像向左平移;个单位长度后，得到的图像关于>轴对称，且

6

函数/（X）在0个上单调递增，则。的取值是（）

13

A.-B.2C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到-7E0+—71=7’r+阮，keZ,从而求出0的取值集合，再

662

由x的取值范围求出0X+2,结合正弦函数的单调性，求出力的范围，即可得解.

6

【详解】〃x）=sin"+J的图像向左平移看个单位长度后，得到g（x）=sin"+四+仁），

，兀兀）jr7T7T

因为g（x）=sin|5+二。+:|关于J轴对称，所以一。+-=-+阮，keZ,解得力=2+6左，keZ,

V66）662

,八兀I兀「兀0K兀

因为69>0，故当工£0,"时，CDX+—E—,—+—,

6J6L666

因为函数〃力在（）弓上单调递增，所以詈+2£仁仁，解得0«0,2],

故勿=2+6丘(0,2],解得壮]一,()，因为keZ,所以左=(),故。=2.

故选：B

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.设等差数列｛《,｝的前"项和为S“，且530>0,邑1<0,则下列结论正确的是()

A.45>°B.[2]是等差数列

InJ

C.«16>0D.对任意〃eN*，都有S“〈S15

【答案】ABD

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据,=q+("D”可判断选项B；利用

n2

S=《6可判断选项C；根据S30〉可判断选项根据，《6

3I31(4；旬)=31<0,0,a16<0C,>0<0

可判断选项D.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，则S“二叫+〃(〃T",得&=q+(〃T”,

2n2

辿一±=q+”一4一色萼=(，所以｛2｝是以％为首项，1为公差的等差数列，选项B正确；

〃+1〃222n2

邑1=也£吁%2=3146<0,即弓6<0,选项C错误；

§33=30回+颊)=]5(%5+<6)>°，由于《6<0，所以。|5>0，A正确，

因为《5>0,46<0,所以当〃=15时，s,取得最大值，故对任意〃eN*，恒有S.4S15,选项D正确.

故选：ABD

10.设/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x)在(0,+8)上单调递减，〃-7)=0,则()

A./(X)在(-8,0)上单调递增

B./(8)<0

C.不等式/(x)>0解集为(3,-7)5。，7)

D./(X)的图象与x轴只有3个交点

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质逐项分析判断作答.

【详解】函数/(X)是定义在R上的奇函数，且/(X)在(0,+8)上单调递减，

函数/(X)在(-8,0)上单调递减，A错误；

由/(一7)=0,得47)=0,则/⑻</(7)=0,B正确;

当x<0时，/(%)>/(-7),则x<-7,当x>0时，/(x)>/(7),贝i」0<x<7,

因此不等式〃x)>0的解集为(-8,-7)”0,7),C正确；

当x<()时，函数“X)的图象交x轴于点(-7,0),当%>0时，函数/(x)的图象交x轴于点(7,0),

而/(0)=0,则点(0,0)是函数/(X)的图象与x轴的公共点，所以“X)的图象与x轴只有3个交点，D

正确.

故选：BCD

2(jr+2)2%<-1

11.已知函数/(x)=(/.，若关于x的方程〃》)=加有四个不等实根花、々、外

|log2(x+l)|,x>-l

%(不<%<当<%4)，则下列结论正确的是()

A.\<m<2B.-3<X)<-2

C.-1<4X3+X4<0D.丁+考+iog,“正的最小值为10

【答案】AD

【解析】

【分析】作出图象,计算出〃一1)、〃2)的值，结合图象可判断A选项;解不等式］/(为)=*⑹

［西<-2

1,

可判断B选项；由对数的运算性质可得出％=一一’求出七+1的取值范围，结合双勾函数的单调性

可判断c选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.

12(*+2『X<-1

【详解】作出函数/(x)=(；—1的图象如下图所示：

|log2(x+l)|,x>-l

根据图象知：/（一1）=2,/（-2）=1,

因为直线丁=机与函数"X）的图象有四个交点，贝打〈帆42,A对；

对于B选项，由图可知，X,<-2,由/（xJ=*+2『e（l,2］可得0〈（玉+2）2W1,

所以，—34玉<一2,B错;

对于C选项，由图可知，-1<工3<0<%4，则0<七+1<1<%4+1，

由/(%)=f(%)得Rog2(毛+1)|=1唱(/+1)|，即Tog2a+1)=log2(^+l),

,11,

所以，X4+l=——化简得到/=-7-1.

x3+1x3+1

由/(W)=Tog2(W+l)w(l，2］，可得:《花+1<；，

所以,你+寸与+1=4（W+1）+,一5,

由双勾函数的单调性可知g（x）=4x+，1在

上单调递减,

X7

所以，4(x3+l)+^--5>4x1+2-5--l,

入3+12

113

且4(占+1)+——--5<4x-+4-5=0,当％=_己时取等号,

3

x3+l44

所以，-1<4£+》440，C错；

由2(*+2)2=加可得f+4x+4-log2加=0,

所以，花、巧为方程V+4X+4—log2m=0的两根,

X1+x=-4

由根与系数的关系可得《2

xxx2=4-log2m

所以，x；+考+啕必（…j-2中2+l°g"516-8+21°g川+驷,“2

=210g2H-------------1-8>2/21og2mx----------1-8=10,

21og2m丫-210g2相

〜1

当且仅当210g2机=不-----时，即当机=夜时等号成立，D对.

210g2和

故选：AD.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

12.如图，在一ABC中，BA=BC=1,延长到点。，使得3C=C£）,以AD为斜边向外作等腰直

角三角形ADE，则（）

A.AD2=5-4cosB

B.sinNCAOe（g，¥）

C.AC。面积的最大值为3

D.四边形AC0E面积的最大值为2^

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可;

B选项：由题意得/CAD的范围，即可得到sinNACD的范围；

C选项：根据几何的知识得到当区4,时，SA。最大，利用三角形面积公式求面积即可；

D选项：将四边形ACOE的面积转化成SAOE+S&BC，得到面积*—cos6+'sin8,再利用辅助角公

42

式和三角函数的性质求最值即可.

【详解】在△ABO中，由余弦定理得A。？=AB2+BZ）2—瓯包兜BZ548向-B，A正确；

ZACB=ZCAB=^—^-,ZACD=n-ZACB=-+-&[-,n\,则

222(2J

所以sinNCADe(O,l),B错误;

EO

易得S=3szM。当84_LCD时，S助。S取最大值g，C正确;

2

CcCAD[5

S四边形AC/*=S&VOE+S&ACD=S^ADE+S&ABC=-+2SmB=4-COSB

5+2A/5»其中sin夕=2^,cos0=，

+—sinB=—+D

244

正确.

故选：ACD.

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

、[（a+2]x,x>2

13.已知函数〃力=八，）是R上的单调递增函数，则实数。的取值范围是___________.

[a'+l,x<2

【答案】（1,3]

【解析】

【分析】由分段函数两端均为增函数及端点处函数值左小右大可得.

【详解】函数“X）是R上的增函数，则/（x）在[2,+8）上单调递增,

故Q+2>0=>CL>—2，

“X）在（-8,2）上单调递增，则a>l,

且在x=2处，有a~+1W2（a+2）-1WaW3,

所以a的取值范围是（1,3].

故答案为：(1,3].

112

14.已知函数=上❷，若加>0，〃>0,且/(2m)+/(/i-l)="0)，则一+一的最小值为.

1+exmn

【答案】8

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义可得/(力为奇函数，结合单调性可得2加+〃=1,然后结合基本不等式即可

得到结果.

【详解】因为/(外=上上=-1+^^的定义域为口，关于(o,o)对称，且单调递减，

1+e"l+eA

e'-1

且X)=£Z7=4T=N、-/(X)，即函数/(x)为奇函数,

1__0

又因为/(0)=二^=0,所以/(2机)+/(〃-1)=/(。)=0,

l+e

即2〃z+(九一1)=0,所以2%+〃=1[,

12(12、/c、n4-m“、-n4m„

nil——+4>2-----+4A=8，

mn\mnJmnNmn

1

rn4mm--

—二—4

当且仅当n时，即,],取等号.

2m+zz=1n=—

2

12

所以一+一的最小值为8.

mn

故答案为：8

15.已知羽y,zwR,且x-2y+2z=5,则(x+5)2+(y-l)2+(z+3)2的最小值是______

【答案】36

【解析】

【分析】应用柯西不等式可得9-[(x+5)2+(y-F(Z+3)2]>324,注意等号成立条件，即可得目标式

的最小值.

【详解】由[(x+5)2+(y—I)?+(Z+3)[[02+(_?T+22)卜[(x+5)+(-2)(y—l)+2(z+3)]2=

324,

x=-3

所以(x+5)2+(y—iy+(z+3)2N36,当且仅当£±9=工匚=出，即，y=-3时取等号.

1—22

z=1

故答案为：36

16.已知函数/⑺，g(x)的定义域均为R,7(x)为奇函数，gO+D为偶函数，/(-1)=2,

2023

g(x+2)-/(x)=l,则Zg«)=.

i=l

【答案】2023

【解析】

【分析】根据题意分析可得/(x+2)=—/(x),进而可得函数/*)是以4为周期的周期函数，且

/(x)+/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=0,进而可得结果.

【详解】因为g(x+D为偶函数，则g(x+l)=g(—x+1),

又因为g(x+2)-f(x)=l,则g(x+l)=f(x-l)+l,g(-x+l)=/(-%-1)+1,

即/(x-l)+l=/(-x-l)+l,可得/(x-l)=,

因为为奇函数，则/(x)=-〃x),且/(0)=0,

可得/(x-l)=-〃x+l),即/(x+l)=-f(x-l),则/1(%+2)=-/(%),

可得/(x+4)=—/(x+2)=_[_/(%)]=/(x),

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，

由/(x+2)=-/(x),可得/(x+2)+/(x)=0,〃x+3)+/(x+l)=0,

则〃T)+/(l)=0，

即〃%)+/(尤+l)+/(x+2)+〃x+3)=0,

2(P32(P32(P3

所以£g(i)=£[/(「2)+l]=£/(i—2)+2023=/(-l)+f(0)+〃l)+2023=2023.

/=1/=!/=!

故答案为：2023.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根

据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

r、I5,H=1

17.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且a”=Lcc.

[2n+2,n>2

(1)求S.；

⑵若~求数列也｝的前"项和却

■+1

【答案】(1)5“=〃一+3〃+1

(2)Tn=—^—

"2〃+4

【解析】

【分析】(1)分为〃22,〃=1两种情况，结合等差数列前〃项和公式求解；

(2)利用裂项相消法可求刀「

【小问1详解】

当〃22时，S“=5+("W〃+2)=5+(〃_l)(〃+4)=〃2+3“+l.

当〃=1时，S]=4=5,也适合上式.

故S“=〃2+3〃+1.

【小问2详解】

1111

由(1)可得仇=2,,iW,=~~~｝To'

n+37〃+02+〃+1〃+2

11_n

2〃+22〃+4

18.已知g(x)=log/(Q>0,awl),且g(x)图象过点(4,2),又/(x)=-g(x).

(1)若/(3%-1)>/(-%+5)成立，求x的取值范围；

(2)若对于任意x«l,4],不等式42%)g(：)-〃?<0恒成立，求实数〃?的取值范围.

(13、

【答案】⑴

15L)

9

(2)m>—

4

【解析】

3x-l>0

【分析】（1）由对数函数的性质可得<-*+5>0，解不等式即可得出答案.

3x—1<—x+5

（2）由题意可得对于任意xe[1,可恒成立等价于m>〃2x）g；,利用换元法求出

/（2x）g；即可得出答案.

【小问1详解】

因为g（X）=log〃x（a>o,aH1）的图象过点（4,2）,

所以g（4）=log“4=2,所以〃=4，因为a>O,a/l,

所以a=2,所以g（x）=log2》,又因为《）『（力=一幅尤=—,

2

而/（X）=logIX在（0,+co）上单调递减，

2

由/（3X_1）>〃T+5）可得：

3x-l>0,

所以v-%+5>0,解得

3x—1v—x+5,

所以x的取值范围为

【小问2详解】

因为—加<0,

所以相>/（2x）g对于任意xe[1,4卜恒成立等价于加〉/(2x)g5

max

因为y=/(2x)g3=-Iog2(2x)log2t

14J44

2

=-(1+log2x)(log2x-2)=-(log2x)+log2x+2.

令〃=log2x,1<x<4,则〃£[0,2],

1丫9

所以y=—+〃+2=—U——+―，

24

119

当〃=耳，即log2；i=5，即工=0时，ymax

9

所以机＞一.

4

19.已知向量。=，b=sincox,Ism函数/(%)=«­（其中函数

/（x）的图象的一条对称轴是直线.

（1）求①的值；

TT333兀

（2）若0＜。＜当且/—a的值.

23(28

2

【答案】（1）3=一

3

⑵272+710

3

【解析】

【分析】(1)由题意可得/(x)的解析式，由对称轴列式求解即可；

TTTT.

(2)由(1)可得/(x)=2sin(—尤+―),sin(a+—)=一,进而可得cos(a+—,由两角和的正弦公式

36636

可得答案.

【小问1详解】

由题意得/(x)=Q•〃+1=gsin①式一2sin?+1

=y/3sincox+coscox-2sin(3x+—),

6

V函数/(x)的图象的一条对称轴是直线x=5,

兀兀兀2

一。+—=E+—,攵£Z,得ct)=—+2k,keZ,

2623

八」

*.*0<69<1,69=—2.

3

【小问2详解】

271

由(1)可得/(x)=2sin(—x+—),

36

(3、4元4兀2

由/—a=—得2sin(a+—)=~,即sin(a+—)=一,

\2J36363

结合0<a<&,—<6Z+—<—,得cos(a+])=J1-sin2(。+小)——,

36626V63

33兀c•r/兀、兀1c•/兀、兀C/兀、,兀

-a-\----=2sin[(a+—)+—]=2sm(a+—)cos—+2cos(a+—)sin—

28646464

c26.>也与2V2+V10

=2x——x-----F2xx--------------------

32323

20.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C对边分别为a,Ec,且咨+整£=2瓜inC

ab3a

（1）求角3的大小；

（2）若。=26，求一ABC面积的取值范围.

【答案】（1）B4

（2）（233呵

【解析】

【分析】（1）对等式两边同时乘以ab可得bcosA+acosB=2叵加inC，正弦定理结合两角和的正弦公式

3

化简即可得出答案；

（2）由正弦定理求出a=4sinA,c=4sinC,表示出ABC面积结合三角函数的性质即可得出答案.

【小问1详解】

由己知条件得匕cosA+acosB=3叵加inC，

3

由正弦定理得5[11/054+85扇111/1=冬叵5也8必11。，

3

即sin(A+B)=~~sinBsinC.

因为在中，sin（A+3）=sinCH0,

所以sinB=?5.

2

7T

又B是锐角，所以8=1.

【小问2详解】

a_c_b_2A/3

由正弦定理得sinAsinCsinB73

T

则a=4sinA,c=4sinC,

所以S=—ac=4x/3sinAsinC=4>/3sin(—+c\inC1)

cosC+—sinCsinC

43J2J

=6sinCeosC+2百sin?C=2>/3sin(2C-—j+^3.

.___兀_27r_兀/口兀兀

由0<Cv—,0<----C<一,得一<Cv一,

23262

所以色<2C-色〈型，所以sin(2C—g]e(4,l],

6666；U

所以2国11(2。一看)+豆e(26,3网.

所以一45C面积的取值范围为(26,36].

21.为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖

速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m?，

浮萍覆盖面积(单位：m?)与2022年的月份x(单位：月)的关系有两个函数模型)=必’伏〉0,“>1)

与y=mx1+n(m>0)可供选择.

(1)分别求出两个函数模型的解析式；

(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算

至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过810()1/?(参考数据：他2々().3(),lg3*().48)

【答案】(1)丫=等(+'，V=24X2+264

(2)2023年2月

【解析】

【分析】(1)将x=2,x=3分别代入两个函数表达式中即可求解，

(2)根据》=()确定选用的函数，即可利用对数的运算求解.

【小问1详解】

若选择模型y=kz'供>0,a>l）,

ka2=3604405

则13，解得。=二，军，

卜"=48032

故函数模型为卜=等§）、，

,[Am+n-360

若选择模型y=加无〜+“（加>0）,则<c

9机+”=480

解得〃2=24,4=264,

故函数模型为y=24/+264.

【小问2详解】

把X=0代入卜=4寸05（；4）'可得，丫=4晋05=202.5,

把X=0代入y=24x?+264可得，y=264,

202.5-200<264-200,

选择函数模型>=4芋05（/4更合适，

4054