新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 圆的方程2

专题50圆的方程

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：圆的方程

型题型二：与圆有关的最值问题

归题型三：与圆有关的轨迹问题

类

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

【考点预测】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定伝的点的集合叫做圆

标圆心C(a,b)

(x—a)2+(y—h)2=/2(r>0)

准半径为4

方

圆心-f)

程

x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2~4F>0)

般半径r=^]D2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点A/(xo,/)与圆C：(x-a)2+(y-6)2=/之间存在着下列关系:

在圆处，即(xo-a)2+(yo-在圆外；

⑵|MC尸在圆上，即(xo-a)2+&o-b)2=户台M在圆上；

⑶財在圆内,即(xo—a)2+0—b)2〈/今M在圆内.

【常用结论】

1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为/+/=/.

2.以"(xi,y\),8(x2,竺)为直径端点的圆的方程为(x—X2)+(y-yi)(y—P2)=O.

【方法技巧】

1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：

①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切

点与两圆圆心三点共线；

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

2.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何

性质数形结合求解.

(2)与圆上点(x,团有关代数式的最值的常见类型及解法.

①形如“=匸^型的最值问题，可转化为过点(出6)和点(x,四的直线的斜率的最值问题；

x-a

②形如(X—4)2+什-6)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(4,b)的距离的平方的最值问

题.

3.求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

⑷代入法，找到栗求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

二、【题型归类】

【题型一】圆的方程

【典例1】已知圆/与直线3x—4y=0及3x—4y+10=0都相切，圆心在直线y=一》一4上，则圆M的方

程为()

A.(X+3)2+(>-1)2=1B.(x—3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-l)2-l

【典例2】已知圆的圆心在直线》一27一3=0上，且过点4(2,-3),8(—2,-5),则圆的一般方程为

【典例3】已知圆E经过三点4(0,1),8(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()

WT16Db2+T4

【典例D已知M(x丿)为圆C：/十产一标-14y+45=0上任意一点，且点。(一2，3).

(1)求財0|的最大值和最小值；

(2)求心的最大值和最小值；

x+2

(3)求y—x的最大值和最小值.

【典例2】设点P[x，y)是圆。-3)2+产=4上的动点，定点/(0，2)，5(0，-2)，则冋+西|

的最大值为.

【典例3](多选)若P是圆C：(x+3)2+(y-3)2=l上任一点，则点尸到直线丁=后一1距离的

值可以为()

A.4B.6

C.3也+1D.8

【题型三】与圆有关的轨迹问题

【典例1】设定点M(—3,4),动点N在圆N+f=4上运动，以a/,ON为邻边作平行四边

形MONP,求点尸的轨迹方程.

【典例2]已知Rta/BC的斜边为且/(—1,0),8(3,0),求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8c的中点〃的轨迹方程.

【典例3】已知线段48的端点B的坐标为(8,6),端点/在圆C：/+y+4x=o上运动，求线段的中

点尸的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.

三、【培优训练】

【训练一】(2023秋•高二单元测试)已知题2,0),点P为直线x7+5=0上的一点，点。为圆/+/=1

上的一点，则仍。|+今/。的最小值为()

.572+2R5V2-2r11V2n1172

2224

【训练二】(2024•安徽黄山•屯溪一中校考模拟预测)图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的

嘴唇可看作半径为1的圆。的一段圆弧E,且弧E所对的圆周角为号.设圆C的圆心C在点。与弧E中点的

连线所在直线上.若存在圆C满足：弧£上存在四点满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相切，

则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为()

A.（0.V5-1]B.（0,冋

C.（0,^5-l）D.（0,^）

【训练三】（多选题）（2024•江西•校联考模拟预测）加斯帕尔•蒙日（图1）是18〜19世纪法国著名的几

何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我

们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆C：]+?=1的左、右焦点分别为£,乙，点尸，

。均在C的蒙日圆。上，PA,尸8分别与C相切于A,B,则下列说法正确的是（）

A.C的蒙日圆方程是/+/=4

B.设N（l,l）,则|/M+X可的取值范围为[4-石,4+6]

C.若点P在第一象限的角平分线上，则直线N8的方程为34"+4丿1M-24=0

D.若直线尸。过原点O,且与C的一个交点为G,\GFt\-\GF2\=3,则印|阿=4

——,ULU1

【训练四】（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知向量而，瓯而满足|明=1,|。8|=2,OAOB=Q<

丽=2方+//历.则下列说法正确的是（）

A.若点P在直线上运动，当福取得最大值时，|丽|的值为百

B.若点P在直线N8上运动，戸在而上的投影的数量的取值范围是（-#,1]

C.若点P在以r=当为半径且与直线N8相切的圆上，|而|取得最大值时，2+〃的值为3

D.若点尸在以厂=苧为半径且与直线Z8相切的圆上，2+〃的范围是[-1,3]

【训练五】（2023•江苏无锡•辅仁高中校考模拟预测）已知48,。三点在圆C：（x+2）2+/=36上，AABD

的重心为坐标原点O,则周长的最大值为.

【训练六】（2023•重庆万州•统考模拟预测）设抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为凡点P（a,4）在抛物线

C上，APOF（其中O为坐标原点）的面积为4.

⑴求厶尸”外接圆的方程；

（2）若过点（1,0）的直线/与抛物线C交于/,8两点，延长力尸，8尸分别与抛物线C交于M,N两点，证明：

直线仞V过定点，并求出此定点坐标.

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2023•北京•模拟预测）当圆。：/+_/-4工+6^-3=0的圆心到直线/：蛆+了+机-1=0的距离最大时，m=

（）

3434

A.-B.-C.——D.——

4343

2.（2023・全国•高三专题练习）已知4（-2,0）,8（2,0）,点P满足照f+网?=16,直线

/:（〃7+l）x-y+l-3〃?=O（zMeR）,当点尸到直线/的距离最大时，此时机的值为（）

4173

A.—B.-C.一一D.——

3344

3.（2023•全国•高二专题练习）已知点M（l,百）在圆上，过〃作圆C的切线/,则/的倾斜角为

（）

A.30°B.60°C.120°D.150;

4.（2023,江西•校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus,公元3世纪末）

在其代表作《数学汇编》中研究了"三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平

方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线4，%,人且4，4均与4垂直.若动点

M到44的距离的乘积与到6的距离的平方相等，则动点M在直线乙4之间的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知/（3,0）,8（0/）（/>0）,若该平面中不存在点P,

同时满足两个条件1Pd+2|尸。『=12与|尸0|=竝|尸邳,则，的取值范围是（）

A.""

2

I22丿12丿I2

6.（2023春•四川宜宾•高二校考阶段练习）已知圆Q:（x+3）2+y2=l,圆过动点P分

别作圆Q、圆。2的切线以，PBG4,8为切点），使得|4|=啦|尸8|,则动点P的轨迹方程为（）.

A.—+—=1B.x2=4y

95

丫2,

C.y-/=lD.（x-5）+/=33

7.（2023•全国•高二专题练习）已知直线>+1="0-2）与圆。-1）2+（夕-1）2=9相交于M,N两点.则|"N丨的

最小值为（）

A.75B.25/5C.4D.6

8.（2023•河北邢台•校联考模拟预测）已知点P（0,4）,圆河:（x_4y+V=16,过点N（2,0）的直线/与圆〃

交于A,B两点，则|沙+而|的最大值为（）

A.8&B.12C.6石D.9竝

二、多选题

9.（2023春•江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C:/=4），的焦点为尸，直线厶，厶过

点尸与圆E:（x-2『+/=l分别切于A,B,两点，交C于点〃，N和P,Q,则（）

A.C与E没有公共点

B.经过八A,B三点的圆的方程为V+/-2x-y=0

c.网=竽

D.网+园=粤

y

10.（2023春•江苏南京•高二金陵中学校考期中）已知圆C过点”（1,3）,5（2,2）,直线“：3x-2y=0平分

圆C的面积，过点。（0』）且斜率为左的直线/与圆C有两个不同的交点M,N,则（）

A.圆心的坐标为C（2,3）

B.圆C的方程为（x-2）2+（y-3）2=l

C.%的取值范围为

D.当〃=；时，弦MN的长为拽

25

11.（2023•全国•高三专题练习）己知圆C:（x-2）2+“g）=4，点Z（0,l）,B（4,4）,点〃在x轴上，则（）

A.8不在圆C上B.y轴被圆C截得的弦长为3

7T

C.A,B,C三点共线D.的最大值为一

2

12.（2023•全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为/+/-2歹-1=0,若直线P=x-1上存在

一点、M,使过点收所作的圆的两条切线相互垂直，则点”的纵坐标为（）

A.1B.y/3C.—1D.—y/3

三、填空题

13.（2023春•上海闵行•高三上海中学校考阶段练习）已知动圆N经过点”（-6,0）及原点。，点P是圆

N与圆/：x2+（y-4）2=4的一个公共点，则当NOP/最小时，圆N的半径为.

14.（2023•内蒙古赤峰•校联考一模）已知圆的圆心在直线》一2），一3=0上，且过点/（2,-3）,8（-2,—5）,

则圆的一般方程为.

15.（2023•全国•高三专题练习）过点尸（4,5）作圆C：（x-l）2+（y-2）2=4的两条切线，切点分别为4%则

的直线方程为.

16.（2023春•江苏南京•高二校考期末）直线/经过点尸（2,-3）,与圆C:x2+y2+2x+2y-14=0相交截得的

弦长为2近，则直线/的方程为.

四、解答题

17.（2023秋•山东临沂♦高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线/经过两条直线2x-y-3=0和

4x-3y-5=0的交点，且与直线x+”2=0垂直.

⑴求直线/的一般式方程；

⑵若圆C的圆心为点（3,0）,直线/被该圆所截得的弦长为2近，求圆C的标准方程.

18.（2022,全国•高一专题练习）点N（%,%）是曲线「：尔+勿2=1上任一点，已知曲线「在点处的

切线方程