2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试预测卷数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合“小kF},s=W=g+i）},则”e（）

A.[-2,-1]B.C.[T,2]D.[-2,-1）

【答案】A

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的解法、对数型函数的定义域，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.

【详解】由题可得4=[-2,2],8=（-1,+8）,所以=-1],

所以c4=[-2,-1].

故选：A.

2.若复数2=1+[2+[3+…+i",〃eN*则目的最大值为（）

A.1B.&C.y[5D.2

【答案】B

【解析】

【分析】分〃=4〃（％GN*）、〃=4左+1（%WN）、〃=4左+2（〃eN）、〃=44+3（左eN）四种情况讨论,

分别求出z,即可得到|z|,从而得解.

【详解】解：因为F=i，i2=—i，f=-i，z4=l，……，

i"+2=_i，i4〃+3=_i，i〃=i，kwN,且i+i2+i3+i4=o，

所以当〃=4左，,eN*）时z=0,则|z|=0,

当〃=44+1,（左eN）时2=i，则|z|=l,

当〃=4左+2,（ZeN）时z=—1+i,则|z|=J（_iy+12=拒,

当〃=4k+3,（左wN）时z=-l,则|z|=l,

所以目的最大值为J5.

故选：B

/7C।CC

3.已知aw|O,—I，tan2—=cosa,贝|cosa=()

I2j2

A.四B.V2-1C.2-72D.妇

22

【答案】B

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.

【详解】依题意a,tan2y=cosa,

.2al-cosar

sin---------.

,071-cosa

所以-----2~&---=--------=cosa,

2a1+cosa1+cosa

cos--------

22

cos2a+2costz-1=0-解得cosa=血-1，负根舍去.

故选：B

4.已知二项式(x+a『，aeN*的展开式中第三项的系数最大，则。的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式(x+a)6展开式的通项公式为C/x6-J优,".CljG-r,其中aeN*，

ar

-----匚>1

ar-l-Cr-'~ad

由《（其中尸21）,即《

ay〉1晨2c/

ar+'-C^'~

a---6-!-->、-----6!----

叫6-r）！（r-l）!（7-r）!rr+1

,----<a<----

6!、6!7—r6—r

-----Na---------

r!（6—r）!（r+l）!（5-r）!

34

依题意可知尸=3使上式成立，即一工。＜一,

43

所以。=1

故选：A

5.某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试

分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有

（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

【答案】D

【解析】

【分析】根据每天考试科目的数量进行分类讨论，由此求得不同的考试安排方法数.

【详解】若三天考试科目数量为2,2,2,则安排方法数为：

C；C：C；x（A；y-3xC；C；x（A；y=576.

若三天考试科目数量为3,2,1,则安排方法数为：

C：C；C；xA；x（A；xA；）—C；C；C；xA；x（A；xA；）—C：C；xA：x（A；xA；）=3168,

若三天考试科目数量为4,1,1,则安排方法数为：

C：xA；x（A：）-C；xA；x（A：）=1296,

所以不同的考试安排方案共有576+3168+1296=5040种.

故选：D

6.我们平时学习的“对勾函数”（形如丁=ax+bx，成同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲线.

根据双曲线的相关定义，“对勾函数X+的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于X轴上）的离心

率为（）

A.74-272B.V2C.72+1D.“+2啦

【答案】A

【解析】

【分析】根据y=x+x-i得其渐近线方程为y=x和x=0,得到原双曲线的两渐近线的夹角，再利用二倍

角的正切公式求得原双曲线的渐近线的斜率即可.

【详解】解：由y=x+xT得其渐近线方程为y=x和x=0,

JTTT

因为y=x的倾斜角为一，x=o的倾斜角为一，

42

7/'）I

所以原双曲线的两渐近线的夹角为------=一，

244

2tan—

因为tan——--------=1,解得tan—=-1+V2,

41-tan2^8

8

所以原双曲线的渐近线方程为丁=±(-1+7万卜，

则一=-1+yjl.,

a

所以双曲线的离心率为e=Jl+2="-2夜,

故选：A

7.晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶

胞中，原子1与8（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子8与8个原子/均相切.已

知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为还土口区，则当图（2）中所有原子（8个4原子与1个8

3

64K32+6472)71

A.——B.

33

（512收+4）兀

D.

3

【答案】B

【解析】

【分析】设出球B的半径为「，0<尸<2夜+1，表达出球A的半径，表达出展;兀8（2V2+l-r）3+r3

令/⑺=8（2行+1—，•）'+/,0<r<2V2+b由导函数得到函数的单调性，从而求出最值

【详解】因为该晶胞的边长为生位2A476+2^/3

,所以正方体对角线成为-----------------------X6=4行+2,

33

设球8的半径为r,0<r<2V2+b则球A的半径为40+2-2'=2行+1一厂,

所以所有原子的体积之和为％=g7rrJ+y7r（2V2+1-

4-1-r

3

令/(r)=8(2V2+l-r)+尸,，0<r<2,\/2+1>

则/，(尸)=—24(20+l—/4+3户=3国26-26•+rR坛+r-2£-8)

因为0<r<20+1，所以8+2行一2血尸+尸>0恒成立，

则当0<r<2&时,/'（厂）<0,当20<”20+1时，/'⑺>0，

故/⑺=8（2夜+1—尸了+尸3在0<厂<2&上单调递减，在20〈r<2近+1上单调递增，

故/（，•）=8（2亚+1—厂?+/在厂=2应处取得极大值，也时最大值，

故/（，）max-8+165/^"，故体积最大值为p=g兀x（8+[6VI）=（64：+32）兀

故选：B

8.已知实数a,b,ce（l,e）,旦兀lna=aln;t,eln/）=—,101nc=J^lnlO一手）c,则实数a,b,c

的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<hC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】将式子进行变形，构造函数/（x）=（,结合函数的单调性即可比较

【详解】由兀lna=aln兀得皿=皿，由elnb=竺得她=呼，庄|101nc=f&InlO—逅]c得

aitebe~12,

IncInlOe

丁~~~,

lOe2

故构造函数/（x）=¥，则/'（'）=上坐，则当了>e时，/（x）单调递减，当0<x<e时，/（X）单

调递增，当x=e时，/（X）取最大值!，其图象如图所示：

1,‘，、，，广，c10101010c

分别取，由于a,6,ce(l,e),且，.T.6<]彳,故了^<7,又

e2e(2.72.2.82),.\e2＞7,故e4＜子＜e?,

由于X>e时，/(x)单调递减，在0<x<eEI寸，/(%)单调递增,

结合图象得：b<c<a,

二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分.

9.已知函数/(x)=sin](yx-；),«>0,且/(x)与/'(x)的值域相同；将/(x)图像上各点的横坐标

变为原来的9纵坐标不变，再向左平移3个单位长度，得到函数g(x)的图像，则()

A.CD=1

B.g(x)为偶函数

7TSjr

C./‘(X)的单调增区间为一一+2桁,一+2左兀，kwZ

66

兀

D./(X)与g(x)的图像在区间一天兀内有3个交点

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求得口的值，然后根据三角函数图像变换的知识求得g(x),再结合函数的奇偶性、单调性、交

点个数等知识确定正确答案.

兀兀

【详解】/(x)=sinCDX--,-/"(%)=^cosCOX——

33

由于/(，)与/'(x)的值域相同且0>0,所以①=1,A选项正确.

所以/(x)=sin

将/(x)图像上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到y=sin(2x-1

再向左平移二个单位长度，得到函数g(x)=sin2(x+与-三=sin2x.

6\_y6J3_

所以g(x)是奇函数，B选项错误.

.__7C7C__7T

对于/(x)=sin，由2E—<x--<2kn-\——,

23

TT3加

解得2kli——<x<Ikit-\---，

66

7C5兀

所以/(x)的单调增区间为-•7+2E，7"+2E,keZ,C选项正确.

66

由/(x)=g(x)得sinx-yj=sin2x,

rr

画出/(x)与g(x)在区间一万,兀的图像如下图所示，

71

由图可知，两个函数在区间--,71上有3个交点，所以D选项正确.

2

故选：ACD

10.在四面体P—Z8C中，AB1BC,以垂直于平面48C,ABBC=2,且该四面体外接球表面积的

最小值为8兀，则()

A.PA=1

2

B.四面体P—N8C的体积恒为定值§

3

C.若二面角4-PC—3的正弦值为一，贝1/8=1

5

2

D.当28=2时，四面体尸一48。的内切球半径为

3+V2+V5

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据外接球表面积的最小值求得PN,结合锥体体积、二面角、内切球等知识求得正确答案.

【详解】由于四面体尸-48。外接球表面积的最小值为8兀,

所以外接球半径R的最小值为

由于平面48C,/民8。<=平面力3。，所以PA上BC,

2

而ABJ.BC,所以（2R）2=尸/2+ABi+BC2>PA2+2ABBC=PA+4,

当且仅当AB=BC=g时等号成立.

即R的最小值,0：+4=6,PA=2,A选项错误.

四面体尸-Z8C的体积=B选项正确.

312)3

以8为原点建立如图所示空间直角坐标系，

设/8=(/〉0),则8C=7,所以Z(0,f,0),P(0",2),C[7,0,0

»=(0,0,2),斤=2),

设平面R4C的法向量为7=(石,乂,zj,

n•AP=2Z1=0

则——2，故可设[=(»,2,0).

\n-PC=-x[-tyl-2zl=0、'

设平面尸8c的法向量为蔡=(马,必/2),

_—►2

m-BC=—x2=0

则，:，故可设而=（0,2,T）,

./.

m-PC=—x2-ty2-2Z2=0

m-n_4

所以cos（〃?,〃

Iml-MG+4x+4

3

由于二面角A-PC-B的正弦值为

所以/4=J1—ET=->

八4八+4/一9=0,

(Z-l)(Z+l)(Z2-Z+3)(』+，+3)=0,其中t>0,

故解得f=l,即48=1,C选项正确.

对于D选项，若45=2，则BC=1,

设四面体尸-N8C的内切球半径为，

由于尸力门/^二人尸4/^匚平面。^^，所以8cl平面尸N8,

由于P8u平面尸N8,所以BCLPB,06=6+2?=2也,AC=正+2。=号

四面体尸-Z8C的表面积为LX2X2+,X2X1+,X2XV^+,X1X2&=3+V^+V?，

2222

1（1、2

四面体尸—Z8C的体积为一x—x2xlx2=一,

312）3

所以§x（3++x尸=_~i=~­i=,D选项正确.

故选：BCD

11.已知函数/(x)的定义域为［0,+8),当xe［0,2)时，/(X)=-X2+2X；且对于任意XN2,恒有

/(x)-l=/(x-2),则()

A./(x)是周期为2的周期函数

2023

B.S/(0=10122

/=1

C.当xe［0,8］时，方程/(力=&有且仅有8个不同的实数解，则上的取值范围为［；［4—6百)

19

D.-X—1＜一XH

2216

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,根据周期性定义可以判断；选项B,根据对于任意xN2,恒有/(x)=/(x-2)+1的关

系，求出/1),代入用等差数列求和即可；选项C,丁=/(》)与卜=丘有8个交点，数形结合，找到两

条边界直线，再书写过程；选项D,数形结合，再作差进行证明.

【详解】已知对于任意x22,恒有/(x)-l=/(x-2),

即任意xN2,恒有/(x)=/(x-2)-l,又当xe[0,2)时，/(x)=-x2+2x,

所以当xe[2H,2«+2)时，/(x)=-(x-2〃y+2(x—2〃)+〃，”wN.

选项A,由已知对于任意x?2,恒有/(x)-l=/(x-2),不符合周期性定义，所以A错误；

选项B,

2023

2/。)=1+1+2+2+・.・+1011+1011+1012=2(1+2・.•+1011)+1022

/=i

颦“、1011(1+1011)2A

£/(Z•)=2X——------L+1022=10222,故B正确；

(=12

选项C,如图1,当xe[0,8]时，方程/(x)="有且仅有8个不同的实数解，

当直线y=履过点(2,1)时，直线为y=与y=/(x)有9个交点，

当直线y=京与/(x)=-(x-6)2+2(x—6)+3,xe[6,8)相切时，此时是7个交点，

令一(X—6Y+2(X—6)+3=H,整理得/+(左一14)X+45=0,

由△=()1-14)2—4x45=0,解得左=14±6若，

当左=14+6新时，方程/+6底+45=0,即1+3指『=0，解得x=-3后<0,舍；当无=14一6指

时，方程%2-6氐+45=0.即卜一3=0，解得x=3J?e[6,8),满足题意；且(1,1),(3,3),(5,5)

点在直线>=(14-6布卜的上方.所以％的取值范围为(；,14一6君)，故C正确；

选项D,如图2,y=；x—l过点(2,0),(4,1),(6,2),(8,3),

gx-l</(x)成立；

当x£[2〃,2〃+2)时，/(x)=一(工一2〃)2+2(x-2〃)+〃，〃GN.

+卜/'")=》2一2(2"+'〉+(2"+1)=x+>0.即/(x)vgx+3

11o

所以一X—1<---，故D正确；

2v7216

【点睛】方程实数解个数问题，方法点睛：

(1)直接法：即令〃x)=0,对方程直接进行求解，方程解的个数就是零点的个数：

(2)数形结合法：数形结合法求函数的零点，是将的方程转化为两个函数，根据两个函数的交点

个数来确认零点个数;

(3)零点存在定理：利用零点存在定理，再结合函数的性质(通常会用到单调性)确定零点个数；零点存在

定理为：如果函数/⑶在［a同上连续，且有/(。)・/(6)<0,则函数/(x)在(%b)上至少存在一点c,使

得〃c)=0.

(4)构造函数：可根据题目的不同情况，选择直接作差或者分离参数来构造新的函数，通过求解新函数的

值域或最值来判断零点的个数.

22

12.已知椭圆C：土+与=1，be(O,2),点p为椭圆C外一点，过点p作椭圆。的两条不同的切线4，

4b2

PB,切点分别为A,8.已知当点尸在圆/+/=7上运动时，恒有pz1尸夙则()

A.b=1

B.若矩形QEFG的四条边均与椭圆。相切，则矩形QENG的面积的最小值为14

C.若点p的运动轨迹为工+广=1，则原点。到直线的距离恒为1

169

D.若直线尸力，P8的斜率存在且其斜率之积为3,则点尸在椭圆(+4=1上运动

286

【答案】BC

【解析】

【分析】根据点P在圆/+/=7上运动时，恒有尸工1pB,设过P的直线为y=k(x-x0)+%,代入

椭圆方程后利用4=0,得到关于左的一元二次方程，确定方程的两根为左4，左心，由左川,左秒=一1,即可

得6的值，从而判断A：讨论直线OE的斜率求得各情况下\EF\,即可得矩形DERG,结合不等

式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线PZ,P8的方程，结合点尸的运动轨迹

为二+或=1，可得切点弦所在直线方程，即可求得原点0到直线的距离来判断C；设P（x.,外），

169

过尸的直线为y=%4（x-马）+为＞，代入椭圆方程后利用公4=0,得到关于左的一元二次方程，确定方程

的两根为的”，⑥8，由kp/kpB=与，可得所满足的方程，即可判断D.

【详解】当P/平行于V轴时，P8恰好平行于x轴，A（O,b）,5（2,0）,尸（2,6）,满足P/1PB,

将尸（2,力）代入圆f+丁=7有2?+*=7,得6=JL

当4不平行于y轴时，设尸心,孙），则看+4=7,过尸的直线为y=K（x-%）+%,

二十片=]

联立｛4b2~得（4%：+/）/+8勺（为一左/口+4[（加—左％）2-〃]=0,

k

y=\（x-x0）+^0

令4=0得—64^（%-4飞）2—16（4左；+/）[（%—略了一〃]=0,整理得

22

（x；-4尼-2x0ynk,+yo-b=O,

22

v-h

且此方程的两根为左力,右8，则％•储）=*―T，又正月1PB，x；+y；=7

%-4

v2—hr

所以kpA•kps=Sr=-1,得〃=3,所以/?二JJ；

X。-4

综上，b=y/3＞故A不正确；

椭圆C的方程为=+片=1，若矩形OEFG的四条边均与椭圆C相切，

43

①当DE的斜率为。时，|。同=2。=4,|£用=26=2百，

此时SDEFG=\DE\-\EF\=2a-2b=8y/3,

②当DE的斜率不存在时，|。同=26=2石，|£可=2a=4,

此时SDEFG=\DE[\EF\=2b-2a=8y5,

③当的斜率存在且不为0时，设直线QE：_y=左28+乙，直线GR:y=攵2x+G，

联立《,消去丁得（3+4月）f+8左《2x+4彳—12=o,△,=64公彳—16（彳一3）（4公+3）=0,

3x+4y=12

化简得4片+3=彳,同理可得4%+3=%,

所以两平行线DE和GF的距离4

+1

以代替k2,可得两平行线DG和EF的距离d2=\DE\

«2

44;+3।3左；+4

所以矩形DEFG的对角线用=|GE|=』DE『+附『=2=2",

1+%；1+%；

2

\DE\+\EF^_\DF^

根据基本不等式％=Q同・|E/区14.当且仅当,即左2=±i时

22

等号成立，因为14>86，

所以矩形。EFG面积的最大值为14,故B正确;

y2

下证：任一椭圆'+1在其上面的点（x。,为）处的切线方程均可写为当+翳1

aa

设椭圆在点（%,%）处的切线方程为歹=左31+4,则

y-k3x+d

y2=^>[a2k]222kda2x+a2d2-a2b2

x2+Z>）x+y=0,

+V~

cr

Ikydcrk.a1b2

令A=o得所以和十,坨=&x°+d所以

2（（72^3+/）2）d，

则切线方程为整理得塞+当"

对于椭圆C：—+^=1，设切点坐标为小而，必），B（X,%）,则切线PA,PB的方程分别为空+”

21,

4343

字+也=1

43

2222

若点尸的运动轨迹为土+匕=1,设点尸(〃?,〃)，则仁+土=1,

169169

又两切线均过点产，可得叫+里=1,生竺+丝=1,点A,B的坐标都适合方程与+?=1,故直

434343

线43的方程是?+?=1,即3X+幺歹—1=0,所以原点O到直线48的距离为

4343

d=

Im2~31,故C正确;

V16+9

设尸(巧,，％.),过于得直线为y=左4(》一巧")+丁尸，

-----1-----=1

联立《2

43得(4代+3)x+8右(%-k4xP)x+4[(力一3/J-3]=0,

y=k4(x-xp)+yp

2

令A=0得-64k;(yp-k/p¥-16(4僧+3)[(4—k4xp)-3]=0,整理得

(Xp—4)左：—2xpypk4+yj,-3=0,

且此方程的两根为左以,左根，则左"・即B=4二l，又直线P/，PB的斜率存在且其斜率之积为且，

孙一42

所以k「A•kPB—”—-———,得0「普—=1,故点尸在双曲线------尸g=1上运动,

芯-424-2百2G-34-2732V3-3

故D不正确.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆

方程得判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合

轨迹方程可得相关结论；对于直线与桶圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线

斜率与截距的关系，可得椭圆上一点(q,y°)处的切线方程均可写为半+上学.=1；对于切点弦问题，根

ab~

据上述切线方程及两切线的交点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量方=(a,l),历=(-2,6),历=(-2,8),若刀,灰，且a,b均为正数.则成的最大

值为.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根据在2.双求得。力的关系式，结合基本不等式求得ab的最大值.

【详解】布=（一2-凡6-1）,

由于赤，双，

所以行・双=4+2a+8b-8=2a+8b—4=0,a+4b=2,

而z女］…］（a+4八21

所以ab=—a4b<—x］-----=—,

44L2J4

当且仅当a=46=1时等号成立.

故答案为：一

4

14.已知点尸为直线/：X+y-2=0上一动点，过点尸作圆工2+丁2=1的两条切线，切点分别为4B,

则直线AB恒过的定点的坐标为.

【答案】（g,；卜#（050.5）

【解析】

【分析】先设点尸（加,〃），由已知得「、A,。、8四点共圆，求出尸、A,。、8四点确定的圆的方程，联

立两圆方程后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标

【详解】设点尸（加,〃），则机+〃一2=0

•.•过点尸作圆/+「=i的切线，切点分别是/,B,

：.PA1OA,PBYOB

:.P、/、0、8四点共圆，其中OP为直径

所以圆心坐标为仁4），半径长为五了I

."、A,0、8四点确定的圆的方程为：（x—+（歹—="丁

2222

22m+

化为一般方程为：x-fnx+—+y-ny+~=—-

4-'44

即x2-mx+y2-ny=0

与犬+了2=1联立，求得所在直线方程为：/nx+"y=l①

又因为其中加+〃一2=0,即〃z=2-〃代入①中，得：(2-")x+〃y=l

1

x=一

,,12x-1=0

所以(y一工)〃+2工一1=0,所以《解得:2

y-x=01

N=一

2

直线48恒过定点的坐标为IM

15.在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，"1”,"4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张

卡片，直到抽完全部卡片.记事件4(/,=1,2,3)表示第，次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡

27

片需要的次数.则下列说法正确的是(填标号).①)=0(4)；②尸(4|%)=1；③E(X)=].

【答案】①②③

【解析】

/(44)J

【分析】计算P(4)=；,P(4)=；得到①正确；尸(414)=②正确;x的可能取值

产(4)一5

为1,2,3,4,5,6,计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案.

31

【详解】对选项①：尸(4)===1，P(J2)=^X|+|1=故尸(4)=尸(4)，①正确;

62251

c|

对选项②：尸(414)=里空D==②正确;

V尸⑷15

2

对选项③：X的可能取值为1,2,3,4,5,6,

尸（X=l）=L；P（X=2）=-x-=l；p（X=3）=*x±x，=L

66566546

5

「（XT=河**j^=）=rrrrrl

P（X=6）=-x-x-x-xlxl=-!-

,7654326

I7

£（%）=-X（1+2+3+4+5+6）=-,③正确.

62

故答案为：①②③

16.若正实数“，6满足a(lnb—ln〃+a)Nbe°T,则的最小值为______.

ab

【答案】-

4

【解析】

【分析】由不等式a(lnb—山。+。)266"7变形为山(26"7)—261+120,通过换元，=2e"-L根据不

aaa

等式恒成立得出。与6的关系，从而把L表示为关于。的表达式，再通过构造函数求最值即可.

ab

卜

【详解】因为a(lnb—lna+a)Nbe"T,所以lnb—lna+a2-e“T,

a

所以In2+山e"T+l>-eu-',即In(-e^1)--e^'+l^O

aaaa

令/=2e"T,则有lnf-/+12O(/〉O),

a

设/(t)=ln/-/+l,则/⑺=1—1,由r(/)=0得f=i

t

当0<£<1时,/⑺单调递增，当，>1时，/'⑺<o,/⑺单调递减，

所以/（Omax=/（1）=°，即Inf—，+1«0,又因为lnf—f+120,

所以lnf—+l=O,当且仅当f=l时等号成立

/7111「411

所以/=—e"T=l,从而一=—e"i,所以」_=:（。＞0）

abaaba

设g(X)=B(x>0),则g，(x)=色半'，由g'(x)=0得x=2

XX

当0<x<2时，g(x)<0,g(x)单调递减,当％>2时,gf(x)>0,g(x)单调递增,

1e

所以g(X)min=gQ)=M=；p，所以下的最小值为--

24ab4

故答案为：一.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知锐角三角形/8C中，角48,C的对边分别为a,b,c,且满足包上1一1=sin-A-sin-C八

---------；--------，/AxC.

sinCsirrB

(1)求」一+色的取值范围；

cosCh

(2)若。=2,求三角形48c面积的取值范围.

迪、

【解析】

【分析】(1)先根据条件化简得出3=2。，然后化简目标式，结合导数求解范围;

2sinCc___________

(2)先利用正弦定理表示出c=--,结合面积公式得出1—二，利用。的范围及单调性进

sm4

tanC

行求解.

【小问1详解】

因为力1C,且4。都为锐角，所以sin/wsinC,

sinA[sin-sinCsin4-sinC)(sin/+sinC)

---------1=----------------

sinCsinCsin25

222

所以sin8=sin4sinC+sinC，由正弦定理可得/=acc,

2222

又力2=a4-c-2accosB，所以ac+d=a+c-2accosB，

整理得Q-C=2ccos5，即有sinBcosC+cos5sinC-sinC=2sinCcosB，

所以5由8馍5。一©0535由。=5111。，即sin(B-C)=sinC,所以B=2C.

1a1sin/1sinA1sin(2C+C)

——+—=-----+-----=-----+-----

cosCbcosCsin5cosCsin2CcosC2sinCcosC

12sinCeos2C+cos2CsinC

——+------------------------------------

cosC2sinCcosC

12cos2C+cos2Cl+4cos2C

--------1-----------------

cosC2cosC2cosC

兀

0<A=n-B-C<-

2

Tt

在锐角三角形中，0<B<-，且8=2C,所以

2

0<Y

1+4COS2C1+4/

☆f=cosC,贝he25Tr

2cosC2t

令/(f)=亨二，则/'(/)=

4t2

因为f€,所以/'⑴>0,所以/⑴为增函数,

2'2

又碍)=孚鸿)=哈所以小)€3A/2,即一5一+巴的取值范围是

FcosCb

【小问2详解】

由（1）得B=2C.

2h,日2sinC

因为a=2,由'得c=W

sinNsin5sinC

设三角形ABC的面积为S，则S=(acsin3=csin8=2sinCsin2C2sinCsin2c

sin