2023-2024学年宁夏银川市高一年级下册月考一数学试题（含答案）

2023-2024学年宁夏银川市高一下册月考一数学试题

一、单选题

1.已知复数Z满足白=10i（i为虚数单位），则复平面内z的共辆复数对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】C

【分析】求出复数z的代数形式，进而可得则可得其在复平面内对应的点的位置.

【详解】£=10i,

3+1

/.z=10i（3+i）=-10+30i,

,-.z=-10-30i.其在复平面内对应的点为-30）,在第三象限.

故选：C.

2.在△ABC中，AO为8c边上的中线，E为AO的中点，则EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【正确答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得=+

之后应用向量的加法运算法则——三角形法则，得到8c=8A+AC，之后将其合并，得到

3131

BE=-BA+-AC,下一步应用相反向量，求得EB=：AB-：AC,从而求得结果.

4444

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424V724444

31

所以EB=—A8--AC,故选A.

44

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向

量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对

待每一步运算.

3.己知向量a与〃的夹角为60。，卜卜2,忖=1,则卜+2@=（）

A.12B.16C.26D.4

【正确答案】C

【分析】利用卜+24=丿4+242展开计算即可.

【详解】a与b的夹角为60。，何=2,忖=1,

故选：C.

4.在AABC中，若A=60。，6=1,ZiABC的面积S=百，贝1」一^=()

sinA

A.3百B.|C.当D.岑

【正确答案】D

【分析】先利用S=：/，csinA求出c,再利用余弦定理求“，进而可得，

2sinA

【详解】由已知S=」bcsinA=」xlxcx^^=G,

222

可得c=4,

u~=b~+c~—2bccosA=1+16—8x—=13,

2

/.a=y/i3，

.aV132739

sinAy/33-

y

故选：D.

5.已知向量〃、人不共线，且。=闺+"4=。+（2工一1）6,若。与1共线，则实数x的值为（）

A.1B.一,C.1或一1D.-1或一!

222

【正确答案】C

【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数X的等式，解之即可.

【详解】因为c与〃共线，则存在荘R,使得d="c，^a+（2x-^h=kxa+kb,

（=]

因为向量a、力不共线，则1^x7'整理可得M2XT）=1，即2d-x-l=0，

解得x=-2或1.

2

故选：C.

6.鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.更

有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼如图是

复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面。点看楼的项点C的仰角为30。，

沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为60。，若点8,E,。在一条直线上，

BC=2AC,则楼高AB约为（6之.73）（）

A.30米B.60米C.90米D.103米

【正确答案】C

【分析】设AC=x,以的长列方程，化简求得x,由此求得A8.

【详解】AC=x,则BC=2x,48=3x,CO=4x,BE=bx,

BD=^CCr-BC-=2®>

BD=BE+ED,即2Gx=Gx+51.9nxa30,

所以48*30x3=90米.

故选：C

7.在AABC中,已知sin?A=sin?8+sin?C,KsinA=2sinBcosC,则AABC的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】D

【分析】先由sin?A=sin2B+sin2c可得"BC为直角三角形,再由sinA=2sin8cosC可得

sin(B-C)=O,可得AABC为等腰三角形，进而可得答案.

【详解】在AABC中,sin2A=sin2B+sin2C,

222

:.a=b+cf故△ABC为直角三角形,

sinA=2sinBcosC

/.sin(B+C)=2sinBcosC,即sin8cosC+cosBsinC=2sin8cosC,

/.sin(B-C)=O

；.B=C,

故AABC为等腰三角形,

综上：aABC的形状是等腰直角三角形.

故选：D.

8.在边长为1的正方形ABC。中，M为8C的中点，点E在线段A8上运动，则ECEM的

取值范围是()

-JI「3_1「]3'1

A.万，2B.0,-C.---D.[0,1]

【正确答案】C

【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0夕口.又C(l,l),

所以EM=(l_x,g),EC=0_x,l),

因为0夕51,所以/4(l-x),

'13'

即ECEM的取值范围是-

故选C.

点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形

有关的不要忽略数量积几何意义的应用.

二、多选题

9.若；，g,1是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）

A.若之=。则口=口

B.若力。1则之4

C若q//6，b//c'则a〃c

D.若a+b=a-b,则：丄1

【正确答案】ACD

【分析】根据平面向量的定义、数量枳定义、共线向量定义进行判断.

【详解】对应A,若〃=6，则向量长度相等，方向相同，故|。|=|切，故A正确;

对于8,当a/c；且〃1c时，a-c=bc=Q，但“，6可以不相等，故5错误；

对应C,若aUb，b//c＞则a,b方向相同或相反，b,c方向相同或相反，

故a,c的方向相同或相反，故”〃。，故C正确；

对应。，若|。+。|=|""|,则/+2油+/?2=〃-ab+b21

a.b=O,■■alb，故。正确.

故选：ACD

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题.

10.若复数z满足z（l-2i）=10,则（）

A.z=2-4i

B.z-2是纯虚数

C.复数z在复平面内对应的点在第三象限

D.若复数z在复平面内对应的点在角a的终边上，贝ljsina=g

【正确答案】AB

【分析】对于A：计算出复数z的代数形式即可判断：

对于B：求出z-2的代数形式即可判断；

对于C：求出复数z在复平面内对应的点即可判断其位置；

对于D：通过复数z在复平面内对应的点求出sina即可判断.

1010（l+2i）_

=2+41

【详解】对于A：Z==0_2i）0+2i）­，z=2-4i，A正确：

对于B：z-2=2+4i-2=4i,为纯虚数，B正确；

对于C：z=2+4i,其在复平面内对应的点为（2,4）,在第一象限，C错误；

对于D：复数z在复平面内对应的点为（2,4）,则疝。=不三=半，D错误.

故选：AB.

11.在AABC中，下列命题正确的是（）

A.若A>8,贝！|sinA>sin3B.若sin2A=sin28,贝IJAABC一定为等腰三

角形

C.若AABC为钝角三角形，贝11/+从>。2D.若A=30。，b=4,a=3,则aABC有两

解

【正确答案】AD

【分析】对于A：利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；

对于B：将条件转化为角的直接关系来判断：

对于C：利用余弦定理来计算判断；

对于D：利用正弦定理来计算判断.

【详解】对于A：若A>B,则。>厶，由正弦定理可得sinA>sin8,A正确；

jr

对于B：若sin2A=sin2B,则2A=28或2A+2B=?t,即A=B或A+B=§,故AABC为等

腰三角形或直角三角形，B错误：

2,22

对于C：若AABC为钝角三角形，如果C为钝角，则cosC="-+”<0,.-.a2+b2-c2<0,

2ab

即C错误;

,丄

对于D：若A=30。，b=4,a=3,由正弦定理得三=二，.〃bsinA4><22,

sinAsinBsin汇=-----==—

a33

sinB>sinA,b>a,故B即可能是锐角也可能是钝角，故有两解，D正确.

故选：AD.

12.在43C中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若ABMC=2，a=2,贝ij()

TT

A.Z>2+C2=8B.向量54，AC夹角的最小值为§

C.内角4的最大值为AD._45C面积的最小值为G

【正确答案】AC

【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到庁+C?=8,根据均值不等式得到历44,

计算cosA2；，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到s,吹=’(♦)--農6,得到答

案.

4-M—4

【详解】AB-AC=bccosA=-------------=2,Z?2+c2=8,故A对；

2

217T

b2+c2=S>2hc,bc<4,当且仅当b=c时取等，bccosA=2,cosA=->-,即4ax=^，

be23

故B错，C对；

=J（A）2—4«百,故D错.

2=c

SAABC=gbesin4=-cosA~^

2

故选：AC

三、填空题

13.i是虚数单位，则圏的值为

【正确答案】713

【分析】首先化简复数含，然后求复数的模.

z与二（5+i）0+i）亠=2+3,

【详解】

1-/（1-/）（1+/）2一

|z|=|2+3z|=V22+32=>/13.

故如

本题考查复数的化简和计算，意在考查基本的计算能力，属于基础题型.

14.已知:=(2,3),力=(-2,4),向量a在b上的投影向量的坐标是

48

【正确答案】

5(5

【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.

【详解】Qa=(2,3),力=(-2,4),

=-4+12=8,忖=(4+16=2方

abb8(-2,4)

二向量a在b上的投影向量的坐标为=£呑=Oli

故答案为.

15.^AB=-AP,OP=WB+^iOA,A,^ieR,贝+〃=

【正确答案】1

【分析】由A8=：AP,得到OB-OA=g(OP-OA),又。尸=4O8+〃OA,代入后即可求解.

【详解】AB=^AP,

：.OB-OA=-(OP-OA),

3

又OP=A,OB+卜iON,

/.OB-OA=~{WB+HOA-OA)=1WB+g(〃_1)OA,

-A=l

3

「.<],解得2=3,〃二-2,

・，・2+/z=1,

故1.

16.在工ABC中，内角4B、。的对边长分别为。、氏c,已知巒一/=2"且

sinAcosC=3cosAsinC,则b=.

【正确答案】4

【详解】sinAcosC=3cosAsinC

・・・根据正弦定理与余弦定理可得：axa十:,=3/+cxc,即2c2=2/一〃

lab2bc

Va2-c2=2b

Ab2=4b

：.b=4

故答案为4

四、解答题

17.己知a=(1,0),》=(2,1).

(1)^AB=2a-b,BC=a+mb,J3.A>B、C三点共线，求加的值.

(2)当实数％为何值时，妬-人与a+26垂直？

【正确答案】(1)-；

12

⑵M

【分析】(1)根据题意，由A、B、C三点共线，可得A8与BC共线，列出方程即可得到机

的值；

(2)根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.

【详解】(1)由题意可得，AB=(O,-l),BC=(l+2m,m),

且A、5、C三点共线，则可得A8—BC，

即叫

[-1=力〃2

(2)由题意可得，ka-h=(k-2,-1),a+2b=(5,2),

因为妬-6与a+26垂直，则可得5(A:—2)+2x(—1)=0

12

解得

18.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,-1).

(1)若lcl=30,且c〃“，求向量c的坐标；

⑵若B是单位向量，且a丄5-2份，求a与6的夹角"

【正确答案】⑴d=(-3,3)或〃=(3,-3)

Q）吟

【分析】（1）设c=（x,y）,由同=3&及c〃。的坐标表达形式，求出x,y即可;

（2）根据。丄m-2b）找到MW与之间的关系，结合cos。=繭即可求出具体角度值.

【详解】（1）设c=（x,y）,

x2+y2=(3>/2)

由冋=3五及c〃a得.

x=-y

;:;3或x=3

所以

.y=-3

所以c=(-3,3)或c=(3,-3)；

（2）因为同=夜,且a丄（d-2l）,

所以〃•(□一2。)=0,HPa2—2a-b=0»所以々♦戻=1，

故8$6=舒=4,所以d=

m24

4

19.△ABC的内角A,B,C的对边分别是〃，b,c,已知csinAcos3=《〃sinC,J.AABC

的面积为9.

⑴求848C;

(2)若c=4a,求瓦

【正确答案】(1)24

⑵g

4

【分析】（1）已知csinAcosB=《asinC,正弦定理角化边求得求cosB,得到sinB,再由

_45C的面积求得“c,可计算8A-8C;

（2）由（1）中的和。=、“，可解出4",再由余弦定理求也

44

【详解】（1）因为csinAcos3=gasinC,由正弦定理角化边得accosB=-ac,解得

43

cosB=—,由6正(0,兀),/.sinB=-.

113

因为45c的面积为9.所以一acsin5=-acx—=9，即ac=30,

225

4

所以3A=(?6fcosB=30x—=24.

A厶2

(2)由⑴知ac=30,又c=~a，所以=30解得4=5,c=6,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=52+62-2x5x6x1=13,解得人=旧.

20.在一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,h=a+\,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求jWC的面积;

（2）是否存在正整数a,使得丿SC为钝角三角形？若存在，求“；若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）身互

4

⑵存在，a-2

【分析】（1）根据已知条件，以及正弦定理，可得a=4,6=5,c=6,再结合余弦定理、三角

形面积公式，即可求解；

（2）由c>人>a,可推得.A3C为钝角三角形时，角C必为钝角，运用余弦定理可推得

/-2a-3<0,再结合“>0,三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解.

【详解】（D2sinC=3sinA,

二由正弦定理可得2c=3。，

b=a+\,c=<7+2,

ci—4,b—5,c=6,

/+〃一0242+—6~1

在△ABC中，由余弦定理可得cosC="'=4+〉♦=丄,

lab2x4x58

.sin2C+cos2C=1,CG（0,7C）,

（2）,c>h>a,

・•...ABC为钝角三角形时，角C必为钝角,

「a2+b2-c2/+（。+1）2-（。+2）2

...cosC=--------------=-------------——------—<0

2ab2。（。+1）

cT—2a—3Vo

/.0<^<3,

,三角形两边之和大于第三边，

：.a+b>C,BP6Z+6t+l>67+2,得。>1,

:A<a<3,又。为整数，

6Z—2,

・..存在正整数。=2,使得二ABC为钝角三角形.

21.在一"C中，b=26再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

（1）若a=2,求,A8C的面积；

（2）求a+c的取值范围.

条件①6ccosB=Z?sinC;条件®2a-c=2bcosC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】（1）5板.=26

（2）2石<a+c44G

【分析】（1）若选条件①，则用“边化角''求解出角B,若选条件②，则用“角化边”求解出

角瓦再利用余弦定理解得c,然后代入_45C的面积公式即可得一A8C的面积；

（2）由正弦定理用sin8与6表示出“、c,借助辅助角公式结合的内角和化简即可.

【详解】（1）选条件①,.>/3ccosB=bsinC>>/3sinCcos5=sinBsinC,又sinClO,

/.tanB=x/3,而3w（0,兀），故3=?；

选条件②»2a-c=2bcosC,/.2a-c=2/7cosC=2bx"+"———="”———,

laba

□1122I2n+C~—b~CLC1

即a+c-h~=ac,/.cosB=--------------=-----=—,

laclac2

又3e（0,兀），故B=q.

在J1BC中，当b=2也,a=2,B=1时，

11

由余弦定理从="+（?8sB得：12=4+厂一4cx7,

2

BPC2-2C-8=0,.-.C=4,

所以SABC=；〃csin8=；x2x4sin；=2>/3.

(2)由题设及小问1可知：B=^f8=2百，故由正弦定理得:

〃+c=b(sinA+sinC)=(sinA+sinC)=4(sinA+sinC)

sinBsin—

3

=4sinfC+^-j+sinC=4^sinfC+-^

3

,•••Ce(0,g),故2g<4gsin[c+£)«4出(当且仅当A=C=1时等号成立),

33

即2y/3<a+c<4y/3.

22.如图，已知中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,

sin2A+sin2C-sin2B=~^sinAsinBsinC・

3

⑴求B；

⑵若巒+c?+3c=加，8A