浙江省91高中联盟2023-2024学年高三年级上册期中考试数学试卷及答案

浙江省91高中联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数

学试题

一、单选题

1.已知集合4={%|近<0},B={x|x<0},AB=（）

A.（-oo,0]B.（-oo,l]C.[l,+oo）D.0

2.已知复数z=l-2i,则工的虚部是（）

z

2.22.

A.—iB.—C.-iD

335-i

3.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡

帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m,圆柱

的高为3m,底面圆的直径为6m,则该毛帐的侧面积（单位„?）是（）

A.397B.32万C.33万D.45乃

4.已知S“是公差为d（dHO）的无穷等差数列{%}的前“项和，设甲：数列{S,,}是递

增数列，乙：对任意〃eN*,均有S〃>。，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必

要条件

5.已知抛物线C：y2=4x（y>0）的焦点为点A为抛物线上一点，\AF\=5,若

2FB=BA，则点3的纵坐标是（）

4r8-16「32

A.-B.-C.—D.—

3333

6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有

甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，

若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）

A.18B.24C.32D.64

7.函数〃x）=Asin]ox-|^+b（A>0,a）>0,Z?eR）的图象向左平移；个单位长

度后得到函数g(尤)的图象，g(x)与“X)的图象关于y轴对称，则。可能的取值为()

A.3B.4C.5D.6

8.已知函数的定义域为R+,对于任意的无，yeR+,都有〃x)+/(y)=〃u)+l，

当x>l时，都有〃x)>l,且"2)=2,当xe[l,16]时，则〃x)的最大值是()

A.5B.6C.8D.12

二、多选题

9.已知平面向量。=。,0),i=(2,2),下列叙述正确的是()

A.0与b的夹角为45°B.°与6的夹角为135。

C.卜-。卜君D.b在a上的投影向量为2a

10.已知函数〃力=三-3尤2,满足〃尤)=/有三个不同的实数根网，马,£，则()

A.实数r的取值范围是T<f<0

B.关于点(1,-2)中心对称

C.”0)+/出+/(1)+"|]+〃2)=一8

D.再+3+鼻的值与，有关

11.四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD,且

PA=PD=AD=20AB=4,Q为线段P3上一动点(不包含端点)，贝U()

A.存在点。使得CQ〃平面上

B.存在点。使得CQ,3。

C.四棱锥尸-ABCD外接球的表面积为32兀

D.Q为P8中点时，过点C,D,。作截面交于点E,则四棱锥8-COEQ的体

积为

12.人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》

22

中探究得出椭圆二+与=1(@>b>0)上动点P到左焦点尸(-C,。)的距离和动点P到

ab

222

直线X=-三的距离之比是常数二已知椭圆C：土+匕=1,歹为左焦点，直线/：x=T

ca43

与X轴相交于点M,过歹的直线与椭圆C相交于A,8两点(点A在X轴上方)，分别

过点A,B向/作垂线，垂足为A，B-贝()

试卷第2页，共4页

A.\AA\^2\AF\B.|A£4|-|BF|=|A1B|-|AF|

C.直线与椭圆相切时，|AB|=4D.sinZAFM=2tanZAMF

三、填空题

13.「尤-J：展开式中常数项为.（用数字作答）

14.已知圆M：（x-3）2+（y-2）2=4,过点P（5,0）的直线/与圆V相交于A,B两点,

当面积最大时，直线/的斜率为.（写出一个即可）

15.已知e»-e2xN0在x>0时恒成立，则实数。的最小值为.（注：e为自然对数

的底数）

16.已知数列｛%｝的首项为1,且为+4用=「8$千（”eN*）,则。4。的值是.

四、解答题

17.已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,2c-cosB=2a+b.

⑴求角C的大小；

（2）若6=1,c=g,/ACB的角平分线交AB于£）,求8的值.

18.某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动.

（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：

天12345

成交额（万元）912172127

求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；

（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为。、q,两次

抽奖结果互不影响.记小明中奖的次数为羡求4的分布列及E（J）;

附：对于一组具有线性相关关系的数据（公%）,（%，%），…（%，％），其回归直线/=4+/

.£卜厂矶"__

的斜率和枝距的最小二乘估计分别为6=上―----——,a=y-bx.

ALT

i=l

19.如图，四边形A3CD为菱形，跖〃平面A3CD,过石尸的平面交平面A3CD于AC,

EF=AC=EC=2.

D

B

⑴求证：。£7/平面AftF；

⑵若平面ABCD人平面ACE。NACE=60。，且四棱锥E-ABCD的体积是，求直

线ED与平面BCE所成角的正弦值.

20.已知数列｛%｝是公差为d(dHO)的等差数列，S“是｛%｝的前〃项和，neN*.

⑴若的=14,X56>S3>59,求公差d的取值范围;

⑵若q=2d,数列｛曳｝的首项为%,满足外,=2%,求数列｛2｝的前n项和Tn.

22

21.已知双曲线E：当-==1(。>0,“。)过点Q(3,2),且离心率为2,B，£为

ab

双曲线E的上、下焦点，双曲线E在点。处的切线/与圆F?：x2+(y-c)2=10

(c=777F)交于4B两点.

⑴求耳AB的面积;

⑵点尸为圆F2上一动点，过P能作双曲线E的两条切线，设切点分别为N,记直

线和净的斜率分别为尤，k2,求证：4的为定值.

22.已知函数/(x)=alnx+x,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若存在xe[e,e2],使/(x)《办+；)lnx成立，求实数4的取值范围.

注：e为自然对数的底数.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】先根据函数>=lnx的定义域及函数的单调性得A=｛邓四<0｝=30<%41｝；再根

据集合的交集运算即可得出答案.

【详解】因为函数y=lnx的定义域为(0,+。)，且在(0,+。)上单调递增，lnl=0

所以A=|x|lnx<0|=|x|0<x<l|.

又因为5=｛小40｝

所以Ac5=0.

故选：D.

2.D

【分析】直接使用复数的运算法则计算即可.

……11l+2i12i

[详解]z=l-2i,/--=-~~r7=—^7；~~—=~+—

z1-21(1-21)(1+21)55

故工1的虚部是9:

z5

故选：D

3.C

【分析】分别求解出圆锥和圆柱的侧面积，然后相加即为结果.

【详解】圆锥的侧面积：兀X：x[2+1|[=15兀m2,

2

圆柱的侧面积：2xnx—x3=18nm,

所以毛帐的侧面积为157r+18兀=33兀m2,

故选：C.

4.B

【分析】利用定义法直接判断

【详解】充分性：因为数列｛5｝是递增数列，取数列为：-1,1,3,5-符合数列｛g｝为

无穷等差数列，

且｛S“｝是递增数列，但d=7<0,故充分性不满足；

必要性：因为对于任意的weN*,均有S“>。，所以得S1=%>0,又因为数列｛%｝为无穷等

答案第1页，共20页

差数列,

所以公差大于零，所以可得数列｛S,,｝为递增数列，故必要性满足.

综上所述：甲是乙的必要不充分条件，故B项正确.

故选：B.

5.A

【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得A的坐标，再由2EB=BA，列出方程，即

可得到结果.

因为|A刊=5,由抛物线的焦半径公式可得尸|=4+光，即/=4,且y>0

所以4（4,4）,设3（瓦,%）,则用刚=（4-%4—%）,

又2FB=BA，则Edlb。一"，解得’°4,所以点B的纵坐标是上

[2%=4-%3

故选：A

6.A

【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有A；=6种,

若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排,

则安排的方法有A；xA；=12种，

所以总的方法数有6+12=18种.

故选：A

答案第2页，共20页

7.C

【分析】先根据图象平移得到函数g（x）的解析式；再根据两函数图象关于y轴对称及诱导

公式得到关于。的等式即可得出答案.

,..(amTT>I,

【详解】由题意可得函数g（x）=Asin《x+三卜弓+b=Asina>x-i-------\+b.

I33；

因为g（x）与〃x）的图象关于y轴对称,

①71兀

所以g(x)=/(-x),即AsinCOX+--+--b-=-Asin-cox--+b,

33I3

pn.(口兀兀)./兀)

即sinlcox+-—\=sin\-a)x-—\.

由诱导公式可得:kGZ

.am7i

所以sm产+方---=sin（2左+1）兀keZ

ICDX+—3；+

即s+胃—7171_p,TCDTl兀、（兀、

-=CDX-\---F(2%i+1)兀,2]GZ,或口+行一q+口+之=2左2兀，左2eZ.

33

因为尤eR

所以解得：。=2+3（2勺+1）兀AwZ

故当《=。时，0=5.

故选：C.

8.A

【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值

后，判断函数单调性即可求出最大值即可.

【详解】令x=y=l,则〃1）=1,且〃2）+/（2）=/（4）+1

故"4）=3,/（4）+/（4）=/（16）+1,故"16）=5

且令x=x，J=—,可得〃占）+/匹］=〃尤2）+1

设%>%，则*>1,/（无1）-/（工2）=1-/匹］<。

项kxi7

答案第3页，共20页

则/(百)</(粒)，故/(x)在R+上单调递增

\/(%)的最大值是〃16)=5

故选：A

【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可.判断

抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.

9.ACD

【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为。=(L。)，"=(2,2),贝丫叫叫=丽7r运=5，

且0。4的4180。,所以«@=45。，故A正确，B错误；

a-Z2=(-l,-2),则卜_6卜,(_1)2+(_2)2=石,故C正确；

b在"上的投影向量为小,田才20x*=2a,故D正确；

故选：ACD

10.AB

【分析】作数函数〃元)的图像即可判断A；判断〃1T)+/(1+X)=-4是否成立可判断B；

根据函数/'(x)关于点(1,-2)中心对称计算可判断C；根据题意建立等式

/(%)-/=(》-%)(%一%2)(兀-为)化简即可判断口.

【详解】对于A,因为/'(x)=3/-6x,

所以当了<或>。时，即尤<0或%>2,〃x)单调递增，

当/(力<0时，即0<x<2,/(尤)单调递减，

且〃0)=0,〃2)=Y,故函数如图所示，

答案第4页，共20页

所以满足/(X)=f有三个不同的实数根实数，的取值范围是T<f<0,故A正确;

对于B,因为〃l—x)+〃l+x)=(l—x)3—3(l—x)2+(l+x)3—3(1+4=-4,

所以函数〃x)关于点(1,-2)中心对称，故B正确

对于C,因为函数“X)关于点(1,-2)中心对称，所以

〃0)+〃2)=Y,+=gp/(0)+/Q^+/(l)+/^+/(2)=-10,故C错

误；

因为芯，巧，％是/(》)=/有三个不同的实数根，

所以/(x)T=(x-动(苫一%)(%-巧),

3232

化简的：-V-3x-t=X-(X[+x2+X3)X+(^(x2+X2X3)J;-X1X2X3OO

所以%+々+无3=3,故D错误.

故选：AB.

【点睛】求一元”次函数解析式，可以根据一元〃次方程的根建立等式求解.

11.BCD

【分析】由面面垂直的性质可证得平面ABCD,建立空间直角坐标系，设出点。坐标,

运用空间向量坐标法计算CQ-九=0求出彳可判断A项，运用空间向量坐标法计算

CQ-8O=0求出2可判断B项，画出外接球的球心，进而可求得其半径，结合球的表面积

答案第5页，共20页

公式计算即可判断C项，由点、线、面关系证得平面CDQ「平面E48=EQ,由线面平行判

定定理可证得A5//平面COEQ,运用等体积法

_33......................

VB-CDEQ=^B-DEQ=3匕一。EQ=^Q-ADE=ADE=-^8-PAD求解即可判断D项.

【详解】取AD中点。，连接。尸，

因为24=尸£>,所以OP_LAD,

又因为平面B4D_L平面A8CD,平面PADc平面ABCD=M),OPu面RID,

所以OP_L平面A3CD,

过。作Qy//AB,

所以以0为坐标原点，分别以Q4、2v、。尸所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系，如图所示，

因为尸4=尸。=AO=26，AB=4,

则A(石,0,0),B(V3,4,0),C(-百,4,0),D(-后0,0),尸(0,0,3),

所以8。=(-2>/1-4,0),PB=(A/3,4,-3),

设尸Q=2PB(0<A<l),贝l]Q(&,4%3—32)(0<A<l),

所以CQ=(&+g,4X-4,3-32),

对于A项，又因为平面EW_L平面A3CD,平面RWc平面ABCD=AD,AB±AD,ABa:

面ABCD,

所以平面上4£),

所以平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0),

彳发设C。〃平面PAD,则CQ•77=42-4=0,解得2=1,

又因为所以不存在点。使得C。//平面P4D,故A项错误；

答案第6页，共20页

对于B项，假设因为则CQ.3O=-20(后+指)+(-4)x(4X-4)=0,解得X=

所以存在点。使得CQLBQ,故B项正确；

对于C项，连接AC、8。相交于点Q,取等边三角形PAD的外心R,过。作尸。，

过。2作。////。。，连接。。，如图所示，

则O.M1平面ABCD,02M1平面PAD,

所以M为四棱锥尸-ABCD的外接球的球心，

又0幽=0。2=；尸0=1，=yjAB2+AD2=：西+(2后=币,

所以r=M4=Jq"+0]A2=2近,

所以四棱锥尸-ABCD外接球的表面积为4兀产=4x(20f兀=32兀,故C项正确;

对于D项，连接EQ、ED、EB,如图所示，

因为平面CDQ|PA=E,PAu平面B4B,

所以点E在平面CDQ与平面PAB的交线处，

又Qw平面CDQ且Qe平面上钻，所以点。在平面8。与平面己钻的交线处,

所以平面CDQQ平面PAB=EQ,

因为CD〃AB,(力仪平面^钻，ABu平面所以CD〃平面

又因为CDu平面CDQ,平面CDQ“平面PAB=E。，

答案第7页，共20页

所以CD//EQ,

又CD//AB,所以AB//EQ,

又因为。为尸3中点，所以E为必的中点，EQ=；CD,

又因为AB//EQ,4台《平面。。后。，EQu平面C。EQ,

所以AB〃平面CDEQ，所以点B到平面CDE。距离等于点A到平面CDE。距离，

3331

所以VB-CDEQ=3VB-DEQ=3VA-DEQ=3VQ-ADE=~VB-ADE=~^B-PAD=W*§^/\PADXAB

=—x—x—xPAxADxsin—xAB=-x-x—X2V3X2V3X^-X4=3A/3，故D项正确.

43234322

故选：BCD.

12.ABD

AFc一

【分析】对A：由丁-二一判断；对D：作AN_Lx轴于N,表不出smNAFM,tanNAMF,

A4ta

根据A结论判断；对B：利用D结论可判断NAVF=NBMF,由角平分线性质得结论；对

C：根据D结论可判断当且仅当AB1工时M4与椭圆相切即可.

AFc11ill

对A：由条件知：故|A4j=2|”|,故A正确；

/LriiaL

对D：作AV_Lx轴于N,则sin/AEM=sin/AFN=i^[,

tanZAMF==可方，所以sinNAFM=2tanNAMF,故D正确;

对B：同D知：sinZBFM=2tanZBMF,

HsinZBFM=sinZAFM,所以tanNAMF=tan/BMR,

所以N/WF=NBMF,即MF平分NAMB,

由角平分线性质知质=万万即|㈣•怛同=|皿*|AF|,故B正确；

对C：下面证明当且仅当ABIx时M4与椭圆相切,

答案第8页，共20页

因为sinNAHW=2tanNAMF,所以1211/41〃=（时当且仅当44歹加=90°,此时点A是唯

一的，故M4与椭圆相切

当tanNAM/H；时，sinZAFM^l,满足条件的NAFN有两个，即点A有两个，此时M4与

椭圆相交，

故当且仅当AB/x时也与椭圆相切，此时|AB|=3,故C错误.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题关键是证明$也4™=21311拉1"成立，从而再证出其它选项，

在椭圆中一般结论是e-sinZAFM=tanZAMF,其中e是离心率.

13.54

【分析】根据「x-g］的展开式的通项公式可求出结果.

【详解】3X-|Y展开式的通项为Ti+I=C：（3尤广［一：］=C：（T）*37铲2*,

令4—2%=0,得％=2,所以展开始得常数项为C；（-l）232=54.

故答案为：54.

14.-2+6或-2-石（答案不唯一）

【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可.

如图，直线/与圆M相交于48两点，

一ABM面积SABM=1\MA\-\MB\sinZAMB=2sinZAMB,

答案第9页，共20页

TT

当4ABM面积最大时sinZAMB=1即sinZAMB=-,

此时圆心M到直线l的距离d工r=^,

2

设直线/的斜率为3则直线方程为y=5),

则d=y/2=IIn/+4左+1=0,

J1+/

解得：左=-2-石或左=-2+收

故答案为：-2+也或-2-出(答案不唯一)

15.e

【分析】转化问题为a、纪吧在》>0时恒成立，只需出吧］,设〃对=句巫，

x>0,结合导数分析其单调性，进而求解即可.

【详解】由浮在X>O时恒成立，

即e">e?+1nx在x>0时恒成立，

即在％>0时恒成立，

X

、门.、2+lnx

设f(x)=---,x>0,

则"上"

4/^x)>0,即0cX<L令/'(x)<0，BPX>-,

所以函数/(X)在10,：上单调递增，在］。+8)上单调递减，

2+ln-

所以当x=：时，"GJ一^=e，

e

所以a'e,即实数”的最小值为e.

故答案为：e.

16.759

【分析】根据递推公式首先令〃为偶数，即可求出％+%+4+-+«39,再令〃为奇数，即可

求出4+&+，3++“39+”40，从而得解.

答案第10页，共20页

【详解】因为%+Q+〃1=〃2.cosg,4=1,

2

所以当〃=2时。2+。3=2之XCOS71=—2,

22

当〃=4时/+%—4xCOS2TI=4,

当〃=6时〃6+%—62xCOS3TI=-62,

2

当"=36时%6+“37=36?xCOS18TI=36,

2

当〃=38时/8+〃39=38?xcos1971=—38,

所以％+〃2+〃3++。39

=1+(-22+42-62+82-102+122+-342+362)-382

=1+2(2+4+6+8+10+12++34+36)-38?

(2+36)x187

=l+2x-^-----L----38?=—759,

2

T72九兀

又见+〃〃+l=〃cosy，

7T

所以当〃=1时6+%=12xcos—=0,

3兀

当〃=3时。3+%=3?xcos=0,

57r

当〃=5时〃5+&=5?xcos—=0,

2

当几=37时。37+。38=37xcos^—=0,

2397r

当〃=39时。39+。40=39xcos^-=0,

所以Q]+〃2+。3++/9+。40=0，

所以%=759.

故答案为：759

17.⑴C=?

⑵CD=工

答案第11页，共20页

【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得cosC=-J,进而求解即可;

（2）先由余弦定理可得。=2,进而结合等面积法542^=$.0+58℃进行求解即可.

【详解】（1）V2c-cosB=2a+Z?,

由正弦定理得，2sinCcosB=2sinA+sinB,

2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB,

2sinCeosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,

2cosCsinB=—sinB,HPcosC=,

VCG（0,7t）,AC=1K.

（2）由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,

***7=a2+12+«,解得a=2或a=-3（舍去），

由SABC=SMC+SBDC，

・1i°V3_l1小牝106

••—x1x2x———x1xCDx----1—xCDx2x—，

222222

⑵分布列见解析，Eq）=p+q

【分析】（1）计算出样本中心，求出回归系数，即可得到回归直线方程，将x=6代入回归

方程求解即可；

（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计

算公式求解即可.

1+2+3+4+5-9+12+17+21+27…

【详解】（1）由已知可得x==3,y二----------------二17.2

5

5

=1x9+2x12+3x17+4x21+5x27=303,

1=1

答案第12页，共20页

5

=12+22+32+42+52=55.

Z=1

2人y_5xy

303-5x3x17.245”二

所以、母-------­=4.5

55-5x3210

Z=1

所以省=亍-菽=17.2-4.5x3=3.7,所以f=4.5x+3.7.

当元=6时，y=4.5x6+3.7=30.7（万元），

所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；

（2）由题意知，《的所有可能取值为0,1,2.

P(J=o)=(i—p)(i—q)，P(J=I)=(I—p)q+(i-q)p，*。=2)=网

所以x的分布列为

012

P(1-0。-q)(1-p)q+(1-q)ppq

E(j)=0x(l-2)(l-q)+lxKl—“)q+(l-q)/?|+2xpq-p+q.

19.（1）证明见解析

⑵叵

13

【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面CDE//平面尸，再由其性质定

理即可得到DE〃平面ABF；

（2）方法一：根据题意，由线面角的定义，代入计算，即可得到结果；方法二：建立空间

直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

【详解】（1）证明：〃平面ABCD,过所的平面交平面ABCD于AC,

AEFI/AC,又；EF=AC=EC,四边形ACE/为菱形

/.AF//CE,VAFc平面ABF,CE<z平面ABF,：.CEU平面ABF.

又：四边形A3CD为菱形，，同理CD〃平面AB尸，

"?CDCE=C,CE,CDu平面CDE,；.平面CDEII平面ABF,

又DEu平面CDE,/•DE〃平面ABF；

（2）设E。与平面BCE所成角为。

答案第13页，共20页

连接交AC于点。，连接EO,

VAC^EC,且NACE=60。，则"支为等边三角形，

又四边形A3CD为菱形，则。为AC中点，OE1AC

又•.•平面ABCD7,平面ACEF,且交线为AC

二OE_L平面ABCD

VEF=AC=EC=2,：.OE=0

•••VEWCD=BD•AC•坦BD26=2扣

32o

BD=6.

法一：常规法：作OGJLBC于G,连接EG,作OHLEG于H,

因为OE_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以OE_LBC,

且OGcOE=O,OG,OEc^OEG,所以3cl平面OEG,

且OHu平面OEG,所以3c_LOH,EGcBC=G,EG,8Cu平面BEC,

OH_L平面3CE,因为OC八08,OC=-AC=1,OB=-BD=3

22

则3c=1必+9=^/^=瓦,在三角形08c中，

由等面积法可知，^-OBOC=]-BCOG,则OG=OB：C=去,

22nCV10

则EG=JOG12+OE?=熠,在三角形OEG中，由等面积法可得，

Vio

11OEOG3

-EGOH=-OEOG,贝l]0H=----------=~i=,

23EGV13

答案第14页，共20页

6

*/D到平面BCE的距离是0到平面BCE距离OH的两倍，：hD

由平面A3CD,ODu平面A3CD,所以

则。£2=E。2+。。2,D£=273,Asin(9=-^-=^.

DE13

法二：建系：以。为原点，。8为x轴，oc为y轴，建立直角坐标系,

A0(0,0,0),E(0,0,V3),3(3,0,0),£>(-3,0,0),C(0,l,0),

£>2=(3,0,G),B£=(-3,0,A/3),CE=(0,-1,A/3),

令平面5c£1的法向量为〃=(%,y,z),则

BE-n=0-3x+\/3z=0

n=(1,3,6)

CE・n=U_y+^z=0

sin0=

20.⑴一7<d<-4

n+i

(2)Tn=2-n-2

【分析】。)根据已知可推得［Ss6：一-Ss3；<>0。,根据等差数歹曲勺性质结合已知化简得出

%+2d-14+2d〉0

求解即可得出答案;

2a3+7d=28+7d<0

(2)根据已知可推得方i+1=2(々+1),也,+1｝是以2为首项，公比为2的等比数列，求出

么=2"-1.分组求和结合等比数列的前〃项和公式，即可得出答案.

答案第15页，共20页

S6-S3>0

【详解】（1）由题意得,

S9-53<0

&+%+4=3%>0

即

&+%+4+%+%+%=3(%+%)<0，

%>0

所以,

〃6+%<0'

+2d-14+2d〉0

化简得

2a3+7d=28+7d<0'

解得一7<d<—4,

所以，公差d的取值范围为-7<d<T.

（2）由题意得耳=1,

因为｛4｝为等差数列，满足为用=2%,

所以《i+0”+iT)d=2[o1+(2T)d].

又％=2d,

所以2d+3用-1)“=2[2d+(2-1)d],

化简得如+1=2（〃+1）,

所以,｛2+1｝是以2为首项，公比为2的等比数歹!],

所以,2+1=2",即b"=2"-1,

2

所以,Tn=b{+b2+-+&„=2-l+2-l++2"-l

2(1-2)।

△-------^--n=2n+i-n-2-

1-2

21.⑴历

（2）证明见解析

【分析】（1）先求切线方程，再结合直线与圆的位置关系可求得与A8的面积;

（2）先求切线方程，找出〃，N两点坐标的关系式，再利用韦达定理化简可得.

答案第16页，共20页

设过曲线上一点的切线的方程为：y=kx+t,

（2

2—土=1

由-1"一可得（3/_1）/+6人比+3『一3=0,

y=kx+t

贝l]△=（6/）2—4（3/-1）（3/-3）=0,即3/+产一1=o.

又因为切点为Q,所以2=3左+/,所以解得人=f=g,

则过点。的切线/的方程为：2y-x=l.

设人（和X），3（巧,丫2），

；•/交）轴于点打（042y-x=l

,联立直线/与圆F?的方程

x2+(y-2)2=10

631

2

消y得5x-6x-31=0,***xx+x2=—,//=一~—•

136124_4历

，%一/|=+%『一4%尤2\25+~Y~5

•••S△砂=骷川•卜一引=m1+2)乎="1.

答案第17页，共20页

(2)

设PGo，兀），/（F，%），N（*y4）,则堵+（%—2）2=10

设过点M«,%）的双曲线的切线方程为：y=kx+t,

由（1）可知3〃+/一1=（）,

又因为为=近3+‘,贝1J3左2+（£—也）2—1=0，即（3+元;）后~—2*3%左+¥—1=°（*）

而犬一日=1,所以3+x；=3y；,£-1=日，

则（*）式可化为9y；/-6x3%左+无；=。，即（3%左-%『=0

1

可得/=产，f=y3-^3=—,则切线方程为＞=9》+--,

整理可得过点M的双曲线的切线方程为为y-专=1.

同理可得过点N的双曲线的切线方程为y4y-芳=1.

%%-殍=1

又两切线均过点P（如几），则，

'型。-苧=1

因此，直线MN的方程为%y-瞥=1

为〉-#=1

联立直线MN与双曲线E的方程,

-6x0

消y可得（君-3扑2+6X环+（9-9常）=0,故＜

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