高中数学平面向量单元检测题

平面向量单元检测

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

设向量方=(0,2),石=(2,2)，则()

A.|a|=\b\B.(a-b)//b

c.“.与小的夹角为,D.(a-h)1a

2.如图在梯形力BCD中，BC=24。，OE=EC,设函=

a^BC=6-则屁=()

A..+*

24

B.1五+

36

c.冢+|石

D.|a+|h

24

3.已知向量,=(x,2)E=(2,y)/=(2,—4),且五//?工_1.石则®—臼=()

A.3B.VToC.VTTD.2V3

4.如图，正方形/8C。的边长为2,E为8c边的中点，

尸为CC边上一点，若乔荏=|荏|2,则।丽=（）

A.3

B.5

5.三个不共线的向量而，0B，玩满足篇,（矗+蒜）=丽,（赢+澈）=讹，

儒+高）=°，则。点是AAB"（）

A.垂心B.重心C,内心D.外心

6.已知向量品=（1,2），近=（4,-2），则AABC的面积为（)

A.5B.10C.25D.50

7.下列命题中正确命题个数为（）

H向量引/石=存在唯一的实数入，使得向量3=入出

第1页，共18页

i5为单位向量，且向量方//落则向量G=±@3；

f若向量益・石=五.3则E=m

i若平面向量G_L»，d1C＞则向量弓/"；

A.1B.2C.3D.4

8.已知点O、N、P在力BC所在平面内，且|函=|布|=|西，而+而+枇=6,

同•丽=丽・同=近•可，则点O、N、P依次是48（?的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

9.已知非零向量苍、b满足同=网=|五—b|=1，~c-2a—b＜则cos＜力力＞=

A.0B.IC.JD.-更

10.点4（3,0）、B（0,3）、[，＜，、，，、W，1、。（0,0）,若|瓦5+而I=V13.aG（0,兀），则而，配

的夹角为（）

A.IB.C消D.I

11.如图，在△力BC中，AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,AF=xAB+yAC＜

则。4）为（）

B

A.（聂）B.D.&3）

12.在AABC,4c=90。，AB=2BC=4,M,N是边上的两个动点，且|MN|=1,

则国•国的取值范围为（）

A.邛,9]B.[5,9]C.0,9]D.冷5]

第II卷（非选择题）

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知。•石=一9,击，出分别是与3方方向相同的单位向量，石在石上的投影向量为一3备,

加在益上的投影向量为-!?i，则正与石的夹角。为.

14.关于平面向量益，b，3有下列三个命题：

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①若('b=a-c<则b—c;

②若,=(l,k),b=(-2,6).a//b>则k=一3;

③非零向量涝和石满足回=\b\=\a-b\>贝皈与H+石的夹角为60。.

其中真命题为.(写出所有真命题的序号)

15.已知丘=(2,-l),b=(x,-2),c=(3,y).若元//石,(a+b)1(b-办M(x,y),N(y,x),

则向量标的模为.

16.如图，在4力BC中，AB=4,AC=2,NB4C=60。.已知点E,尸分别是边

4c的中点，点。在边8C上，若丽・丽=f,则线段8。的长为

4---------------

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

17.已知锐角4BC的内角4SC所对的边分别Q,b,c,且a=31=b.若力=(Q,—b),

q=(sin2B,sin24),且万_L

(1)求角8和边c.

(2)若点。满足1入\Ail-；1(',求△4CD的面积.

3J

18.已知向量a=(3,2),b=(x,-1).

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(1)若，:“•2「.：2“1>),且％>0,求同+力;

(2)若不=(一8,—1),a//(b+c).求N与石的夹角.

19.已知向量益=(一3,2),b=(2,1),c=(3,-l),teR.

(1)求叵+成的最小值;

(2)若五一正与不共线，求f的值.

20.已知平面向量4=(1,2)1=(一3,—2).(1)若。/(2N+1)，且|司=2遍，求^的坐

标；

(2)若五与五+五的夹角为锐角，求实数人的取值范围.

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21.M、N分别是AABC的边BC、上的点，S.BM=-BC,AN^^-AB,AM交CN

42

于p.

(1)若宿=五通+丫而，求x—y的值；

(2)若48=4,AC=3,Z.BAC=60",求而.近的值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解答】

解：因为同=2,同=V4T4=2a力同患A错误；

因为五一区=(一2,0)，5=(2,2)，所以/=-1g=0,所以(五一石)与环共线，故8

错误；

因为2了—(0,2)-(2,2)-4＞|a|=2,\b\=V4+4-2V2»

所以c°s(五/＞=蠡=熹=¥，

因为＜或右＞6[0,回，所以＜乙石＞=彳，故C错误；

因为@—E)=(—2,0)，a=(0,2),所以0—分弓=—2x0+0x2=0，

所以@一石)J.方，故。正确.

故选D.

2.【答案】D

【解答】

解：取8c中点尸，连接E4,

因为在梯形Z8C。中，BC=2AD,所以四边形/DC尸是平行四边形，

所以FA//CD,FA=CD,

则配=JC+CE=BC+^CD=BC+^FA

=BC+1(B7-FF)=eC+1(^4-|BC)

=；面+三丽=为+活

2424

故选。.

3.【答案】B

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【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计算

能力，属于基础题.

由题已知计算可得x=—1,y=l,即可得五一3=(-3,1)，即可得到答案.

【解答】

解:由题得向量丘=(区2),b=(2,y)，c=(2,-4),

且五//?,i1,,

a//c=；=勺

b±c=>4-4y=0>

•••x=-1.y=1,

a=(-1,2),b=(2,1),

即五一1=(-3,1)，

•••|a-b\=J(-3)2+1=VTO>

故选B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可.

法二：由题意，根据向量的运算，可得荏1阮，即EF_LAE,再由E是BC的中点,

进而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以/为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴,

建立平面直角坐标系如图所示，

第7页，共18页

则4(0,0),E(2,l).设|而|=x，则尸(*,2),故方=(x,2)，荏=(2,1).

••­AF-'AE=\AE\2,(x,2)-(2,1)=2x4-2=5,解得x=|,

,,1丽=1(IT+22=|-

故选D.

法二：连接E尸

由题意，vAF-AE=\AF\-\AE\cosz.EAF=\AE\2,

\AF\cosZ.EAF=函，

•••EF_LAE.•：E是8c的中点，

BE=CE=1.设DF=X,

则CF=2-X,

在RtAAEF中，AE2+EF2=AF2,

即2z4-I2+(2-x)2+I2=22+X2,

解得%=|,AF-y/AD2+DF2=

故选D

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积

的性质，属于中档题.

备，需是单位向量，且由向量焉为邻边构成的四边形是菱形，得到。/在NBAC的

平分线上，即可得出结论.

第8页，共18页

【解答】

解：向量/的模等于1,

因而向量]是单位向量，

|«|

,响量箫，箫儡等都是单位向量，

由向量圣，德为邻边构成的四边形是菱形，

\AC\\AB\

•.•亦(晅-匹)=0,

'网\AC\J

可得OA在NB4C的平分线上，

同理可得08平分乙IBC,OC平分4ZCB,

•••0是△ABC的内心.

故选C.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积，两向量的夹角，向量的模，三角形的面积公式，平面向量的

坐标公式，属于基础题.

先求出而•而，及|荏|、\AC\，可求出两向量的夹角，再根据三角形的面积公式可求答

案.

【解答】

解：由题意而|=V12+22=逐，I福=+(-2)2=2而，

设向量荏与前的夹角为仇

[j|||f)-ABAC_lx4+2x(-2)_n

则rC°nvSG-两鬲-国2代-0'

所以。=乙4=90°,

故SA48c=11而11前|sin90°=ix(V5)x2V5=5.

故选4

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的条件、共线向量概念、单位向量概念及数量积运算，属基础题.

第9页，共18页

结合平面向量的基本概念进行逐个判断即可.

【解答】

解：(1)不正确，例如当Zt=0，bH0时，这样的人不存在；

(2)正确，由于3为单位向量，且可/?,故方的模等于向，方向与3的方向相同或相反，故

a=±|a|•e;

(3)不正确，例如当丘=6,了与Z不一定相等；

(4)不正确，alb，blc，贝皈与下可能不共线，

综上，正确的命题为(2),共1个.

故选4

8.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了向量的几何运用，涉及向量的加减运算，向量的数量积以及三角形

三心的判断，考查了分析和运用能力，属于中档题.

根据|而|=\OB\=|OC|.得到点。到三角形的三个顶点的距离相等，即点O为4ABC

的外心；再根据隔+近+配=6,得而+而=一配=而，得到点N在Z8边的中

线上，同理可得点N也在其他边的中线上,即可得到N为XABC的重心;再根据西•同=

PBPC='PC-PA^PA-PB-PB-PC=VBCA=0.得到点尸在4C边的垂线上，同理可

得点P在其他边的垂线上，进而得到点尸为A4BC的垂心，进而得到答案.

【解答】解：因为|而|=|而|=|而所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，

所以点。为AABC的外心；

由海+而+祝=6，得福+而=-近=而，

由中线的性质可知点N在48边的中线上，

同理可得点N在其他边的中线上，

所以点N为△ABC的重心；

由可PB=PBPC=PCPA，

得同-^B-~PBPC=PB(PA-PC)=PB-CA=0，

则点P在力C边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，

所以点P为△ABC的垂心.

故选C.

9.【答案】A

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【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积和向量的夹角及余弦定理，属于基础题.

根据题意，将向量五％转化为说得出三角形Z8C为等边三角形，再根据余弦定理得

出4屏=AC2+CD2,进而求出答案.

【解答】

解：设立=荏，AD=2a,K=AC<

则往—b=AB—AC=CB;c=2a—b=AD—AC=CD;

因为同=同=忖一同=1,所以三角形48c为等边三角形，所以八

所以5肥笄，即;德尹得吁倔

所以力。2=4。2+。。2,

所以-》,所以，…「八一A；n,

故选/.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角，属于基础题.

利用向量坐标形式进行运算求出C点坐标，然后求出丽,配的夹角的余弦值，最后结合

夹角的范围求出夹角的大小.

【解答】

解：:4(3,0),>J।■.।,0(0,0),

..O.i(X,：3.<g，.川”>|，|函+沉|=J(3+cosa)2+sin2a="0+6cosa=

V13，

1

一<m,,>

1•,ae(0,?r),

「•a吗即C&3

丽,历夹角余弦值为星%=送=在，

\OB\\OC\3x12

第11页，共18页

V区,灰夹角范围为］0,扪，

•••丽,沆夹角为也

故选。.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，同时考查了分析问题的能力和计算能力,

属于中档题.

根据4O=2DB,AE=3EC,利用8、F、£三点共线和C、F、。三点共线分别表示出

向量都，根据平面向量基本定理可求出x、y的值.

【解答】

解：AD=2DB,AE=3EC,

设丽5=痂，CF=fiCD，

.-.AF=AB+BF=AB+XBE

=AB+人(沼•-万)=(1-X)AB+|A^4C,

且方=AC+CF=AC+fiCD

=AC+以“8-AC)=泊B+(1-

Li2r,2

1—A=-u1A=-

可得.3解得｛

匕入=1-〃

所以而=g荏+g而，

因为方=%荏+、前，

所以x=g,y=

则®y)为&力

故选A.

12.【答案】A

X.

【解析】解：以CN,CB为坐标轴建

立坐标系如图所示：

C：4"X

笛1

VAB=2BC=4,Z.BAC=30°,AC=2>/3

设川V=a,则N（2汽一年，沙M（2国一驾之等），

CM-CN=（2V3-亨）（2国-乜+].等=a2-5a+9.

vM,N在43上，・•・0WQ工3.

・•・当Q=0时，丽・丽取得最大值9,

当a=|时，丽・丽取得最小值日.

故选：A.

建立坐标系，设4N=a,用。表示出城，丽，得出丽.前关于a的函数，从而得出范

围.

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

13.【答案】120°

【解析】

【分析】

本题考查投影向量、向量的数量积、夹角公式，属于基础题.

根据投影向量定义，列出方程，求解@=6,由=3,再根据夹角公式，即可求解.

【解答】

|a|cos0=-3

同cos。=mn|5|=6

同=3'

{a-b=-9

a-b—91

ACOS0=

\a\\b\-6x32

v0°<9<180°,0=120°.

故答案为：120°.

14.【答案】②

【解析】

【分析】本题考查向量平行的条件，向量的夹角，向量的模等知识，属于基础题.

将原式变为小（方-。=01可判断①错误；根据平面向量共线的条件可判断②正确;

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画出图形根据向量的平行四边形法则可判断③错误.

【解答】

解：①往不=方々时，a-(b-c)=O>-.al(b-c)，不一定有了=高故①错误.

②)=(1,k),b=(-2,6)，由刃/函I,1x6-(-2k)=0,k=-3,故②正确.

③非零向量落石满足回=历|=|五-流，则三向量落石,弓构成正三角形，如图.

由向量加法的平行四边形法则知，五+石平分/B4C,.•.有+石与日的夹角为30。，故③错

误.

15.【答案】8V2

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积运算法则，向量平行以及垂直的充要条

件，属于基础题.

由方〃石求出x值，进一步求出;5+京b-c，又由(丘+石)>1@一引，构造方程，解方程

求出y,有了M、N的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出向量的模.

【解答】

解：因为苍〃石，所以％=4,所以5=(4,—2)，

所以方+3=(6,-3)，b-c=(1,-2-y).

因为伍+b)1(b-c)，所以@+b)-(b-c)=0,

即6—3(—2—y)=0,所以y=—4.

所以向量而=(-8,8)，|而|=8VL

故答案为8V2.

第14页，共18页

16.【答案】当

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积运算和坐标运算，先是以4为坐标原点，为x轴，过力点

的48的垂线为y轴建立坐标系，故可得各个点的坐标，再由而•屏=吊和8、D、C

三点共线，解出答案.

【解答】

解：以力为坐标原点，Z8为x轴，过力点的的垂线为y轴建立坐标系，如下图：

由题意得4(0,0),8(4,0),C(1,V3).E(2,0),F&.)，

设£>(x,y)(0<x<4,0<y<V5),

则D?-5)鼠-(「3.、夕卜BB—(x

则D©-Df=(2-J,11J\-r/i—y)?,①,

又B、D、C三点共线，则有灰与前共线，曲\J，rII,②，

故答案为理.

2

17.【答案】解：（1）由方，本

得户可=°

即（u.bi、in#-0疝u2/Jb>：.J.»

第15页，共18页

由正弦定理，

,2sm.sinlisinAII，

又sinA*0,sinBH0,

•■■CUK2?-2，

又B(•,<,)•.

由川=a2+c2-2accosB,

代入a3.I,\7得c?-3c+2=0,

「，I或2,

当c=1时，a，6,-不合题意，舍；

当r2时，/•/•M，符合题意，

所以。2；

,2),：W1

33

：,B^-ADAS-1.\ii■■.i(,AB-(1?AI：

3333

••.D在8。上，且为靠近C的三等分点，

_1.V3_3V3

SeA/IBC=-acsmB=-X3X2x—=-y-，

c_1c_1s,3>/3_V3

、A4CD=—Jx-y=­•

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的线性运算，两向

量垂直的坐标表示，解题关键是由正弦定理化边为角，属于基础题.

(1)由向量垂直得数量积为0,再由正弦定理化边为角，可求得8角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的线性运算求得。在8c上位置，利用48c的面积得出结论.

18.【答案】解：(1)因为试=(3,2),b=(x,~1),

所以丘+2石=(3+2%,0)，2a-b=(6-x,5).

由2匚Ii2(/，八可得(3+2分(2■-])=0,

即(3+2x)(6-x)=0,解得x=6或x=-其舍去，因为x>0),

所以Z+b=(9,1),

第16页，共18页

故恒+臼=A/924-l2=我L

(2)由题意,h4-c=(—8+%,—2)»

Xa//(K+0，则-2x3=2x0-8),

解得%=5,则石=(5,—1),

r-r；Ki/一工、a215-242

所以cos<a,b>=丽=衣疡=了,

又.，--，所以2与E的夹角为：.

【解析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，向量的模和夹角，向量之间的

平行，垂直判定，属于较易题.

(1)得出Z+2石=(3+2x,0),2a-b=(6-x,5),根据(五+2石>(2五一石)=0即可求解

x的值，从而可得叵+可;

(2)可得石+不=(一8+%—2)，根据引/@+刁可得x的值，再运用向量之间的夹角公

式求解即可.

19.【答案】解：(1)•••五=