第11讲 圆的方程（六大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（解析版）

第11讲圆的方程

【题型归纳目录】

题型一：圆的标准方程

题型二：圆的一般方程

题型三：点与圆的位置关系

题型四：二元二次曲线与圆的关系

题型五：圆过定点问题

题型六：轨迹问题

【知识点梳理】

知识点一：圆的标准方程

(x-a)*2+(y-b)2=r2,其中C(a,6)为圆心，r为半径.

知识点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时。=0,6=0,圆的方程就是Y+y2=r2.有关图形特征与方程的转化：

如：圆心在x轴上：万=0；圆与y轴相切时：|a|=r；圆与x轴相切时：闻=r；与坐标轴相切时：|a|=|b|=r；

过原点：a2+b2=r2

(2)圆的标准方程(》-4)2+。-6)2=，=圆心为(凡与，半径为r,它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要

八反,•这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

知识点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=尸，圆心为C(q,6),半径为r,则有

22

(1)若点M(%,%)在圆上o|CM|=ro(x0-a)+(%-bp=r

2

(2)若点Ml，%)在圆外UCMAro®-a]+(>>0-b)>r

222

⑶若点M(一,%)在圆内ro优-a)+(j0-Z?)<r

知识点三：圆的一般方程

当£>"2-4尸时，方程/+〉2+以+£>+尸=0叫做圆的一般方程.19为圆心，

-VD2+E2-4F为半径.

2

知识点诠释：

由方程/+)2+队+£>+产=0得(》+?)+fy+yl=D-+；-4F

(1)当加+E2-4F=0时，方程只有实数解x=—",y=—8.它表示一个点(一彳,一k).

2222

(2)当加+£2-4尸<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

(3)当£>2+“2—4尸>0时，可以看出方程表示以为圆心，Lg+EJF为半径的圆.

[21)2

知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法用"待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于以b、厂或力、E、E的方程组.

(3)解方程组，求出外。、/•或。、E、下的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

知识点五：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法''将其转化为关于

变量之间的方程.

1、当动点满足的儿何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点

法).

2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

3、求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于x,y的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【典例例题】

题型一：圆的标准方程

例1.(2023・高二课时练习)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为()

A.x2+y2=9B.x2+y2=3

C.x2+y2=>/3D.(x-l)2+(y+l)2=9

【解析】因为圆的圆心在原点，半径是3,

所以圆的标准方程为/+9=9,

故选：A.

例2.(2023•高二单元测试)圆(x+l)?+(y-4)2=l关于直线"X对称的圆是()

A.(x-l)2+(y+4)2=lB.(x-l)2+(y-4)2=l

C.(X+4)2+(^-1)2=1D.(x-4)2+(y+l)2=l

【解析】圆(x+lf+G-4)2=1圆心为(-1,4),半径为I,

设点(-1,4)关于直线y=x对称的点为(a/),

b-4.

----二一I(A

则〃:+：1/解得\(a=4J

所以点(-1,4)关于直线y=x对称的点为(4,-1),

所以圆(x+iy+(y—4)2=1关于直线尸X对称的圆是(x—4p+(y+l)2=l.

故选：D.

例3.(2023•新疆昌吉•高二校考期末)已知圆C的圆心在直线2x—y—7=0上，且圆C与y轴交于两点

A(0,—4),B(0,—2),则圆C的标准方程为()

A.(X—2)2+(y—3)2—5B.(x—2)2+(y+3)2=5

C.(x+2)2+(y+3)2=5D.(x+2)2+(>—3)2=5

【解析】设圆心C(a,2a-7),因为|AC|=|BC|=r,所以a?+(2a-3)?=/+(2a-5)?,

解得a=2,则半径为厂=疹丁=石，圆心C(2,-3).

即圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

故选：B

例4.(2023・高二课时练习)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=25,O为原点，则以OC为直径的圆方程为

()

A-[x+g[+(>+2)2B.[-|)+(y-2p=25

C.(x-3)2+(y-4)2=yD.卜-2+()，-2)2=等

【解析】由圆C：(x—3y+(y—4)2=25可知圆心C(3,4),10cl=5,

故以OC为直径的圆的圆心为(3匕2),半径为s三，

22

故所求圆的方程为：[x-1+(y-2『弓.

故选：D

例5.(2023•福建漳州•高二统考期末)若过点442)的圆C与直线x-y=0相切于点8(2,2),则圆C的方程

为()

A.(x-3)2+y2=5B.(x-3)2+(y-l)2=10

C.(X-3)2+/=8D.(x-3)2+(y-l)2=2

【解析】直线3c的方程：y-2=-(x-2),即x+y-4=0,直线A8的垂直平分线/：x=3经过点C,

•.C(3,l),半径r=|BC|=J(3-2)2+(1-2尸=血,

从而圆C的方程为：(x-3)2+(y-l)2=2,

故选:D.

例6.(2023•福建福州•高二校联考期末)若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线

x-y+5=0的距离为()

A.—B.—C.5D.3

22

【解析】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为(",为，a>0,r=a,

所以设圆的方程为(x-af+O-izf=/且a〉。，

则圆心到直线的距离为d=七笋1=述.

V22

故选：A

例7.(2023•全国♦高二专题练习)_/WC三个顶点的坐标分别是B(4,2),C(3,0),则“ABC外接圆

方程是()

A.X?+y~-5x—3y+6=0B.x?+y~—3x-5y+6=0

C.x2+y2-3x-5y-6=0D.x2+/-5x-3j-6=0

【解析】依题意，直线AC斜率原c="1=-4，直线斜率心c="[=2,^kAC-kKC=-\,即

3—123—4

ACIBC,

,半径〃=3人用=典，

因此一45c外接圆是以线段A3为直径的圆，的中点为

21I2

所以A3C外接圆方程是,BPx2+y2-5x-3y+6=0.

故选：A

例8.(2023•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知圆C经过点A(-1,T),8(6,3),且圆心在

直线丫-4=0上，则圆C的标准方程为()

A.(x-3)2+(y+l)?=25B.(X-3)2+(^-1)2=25

C.(x-3)2+(y+l)2=5D.(x+3)2+(y+l)2=25

【解析】设圆C的标准方程为(x—a)2+(y—3)2=/(厂>0),

因为圆C经过点A(-1,T),8(6,3),且圆心在直线x—y-4=0上,

（）2（2

-1-4/+-4J=ra=3

所以有，（6-«）2+（3-Z?）2=r2=«〃=一1,

a-b-4=0r=5

因此圆C的标准方程为(x-3)2+(y+l)2=25,

故选：A

例9.(2023・四川眉山•高二仁寿一中统考期中)与直线y=Gx切于点4道,3),且经过点8(36,1)的圆的

方程为()

A.(x+3)?+(y-6)2=24B.(x-^)2+(^+1)2=16

C.(x+石y+(y-l)2=16D.(X-2^)2+(^-2)2=4

【解析】设圆的方程为(x-4+(y-疗=，，

（退-a）+（3-b）-=产

根据题意可得^3>/3-aj+（1-/>）2=r2,

b-31

”6-6

a=2>/3

解得6=2

，=4

所以该圆的方程为(x-26)2+(y-2)2=4.

故选：D.

例10.(2023•高二课时练习)已知圆C的圆心在了轴上，半径长为1,且过点(1,2)的圆C的标准方程为

()

A.X2+(y-l)2=1B.(x-l)2+^2=1

C.(x-2)2+y2=lD.x2+(y-2)2=l

【解析】设圆心C(0,“),

则半径r=Jl+(2-〃?『=1,

解得：加=2,

所以圆C的标准方程为d+(y_2)2=l,

故选：D.

题型二：圆的一般方程

例11.(2023•高二课时练习)圆/+，-2*+4广11=0的半径为()

A.2B.4C.8D.16

【解析】Hx2+y2-2x+4y-ll=0,B|J(x-1)2+(j+2)2=16,

所以半径厂=4.

故选：B

例12.(2023•山东临沂・高二统考期末)己知圆。:丁+＞2-2》+4)，-6=0,则圆心C及半径厂分别为()

A.(l,-2),VnB.(-1,2),C.(1,-2),2A/HD.(-1,2),2布

【解析】圆C:x?+—2x+4y—6=0,

即(x-iy+(y+2y=11,

所以圆心为(1,-2),半径为而.

故选：A

例13.(2023•高二课时练习)求以为圆心，且经过点3(0,1)的圆的一般方程()

A.x2+/-2x-2y-7=0B.x2+y2-2x+2y-7=0

C.x2+y2-2x+2y-3=0D.x?+/-2x+2y+3=0

【解析】由题意得，圆的半径r=|A.=J(0—l)2+(l+l)2=G，

所以圆的方程为(x-l)2+(y+l)2=5,

所以圆的一般方程为Y+y2-2x+2y-3=0.

故选：C.

例14.(2023•天津和平•高二统考期末)A8C三个顶点的坐标分别是A(-l,-5),8(2,4),C(5,-5),则

_ABC外接圆的方程是()

A.x2+y2-4x-2y-20=0B.x2+y2+4x-2y-20=0

C.x2+y2-4x+2y-20=0D.x2+/+4x+2y-20=0

22

(解析】设所求圆方程为x+y+Dx+Ey+F=0,

因为A(-l，-5),5(2,4),C(5,-5)三点都在圆上,

26-D-5E+F=0[D=-4

所以＜20+2。+4£+尸=0,解得＜E=2,

50+5O-5E+尸=0[f=-20

即所求圆方程为：x2+y2-4x+2y-20=0.

故选：C.

例15.(2023•天津武清•高二天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)已知圆C经过两点A(0,2),

8(4,6),且圆心C在直线/：2x—y—3=0上，则圆C的方程为()

A.x2+y2-6x-6y—16=0B.x2+y2-2x+2y-S=0

C.x2+-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=0

【解析】设圆的一般方程为/+y?+£>x+Ey+F=O,圆心坐标为卜

因为圆C经过两点A（0,2）,8（4,6）,且圆心C在直线/：2x-y-3=0上,

。=-6

所以JO+22+2E+F=O,解得<E=-6,

42+62+4D+6£+F=0F=8

所以圆C的方程为/+y2-6x—6y+8=0.

故选：C.

例16.（2023•高二课时练习）若不同的四点45,0）,8（-1,0）,C（-3,3）,。（〃,3）共圆，则a的值为

（）

A.1B.3C.-2D.7

【解析】设圆的方程为f+V++分别代入4,B,。三点坐标，得

25+5。+尸=0

«1-。+尸=0,

9+9-3。+3七+尸=0

。=-4

解得/=-325,

F=-5

25

所以A,B,C三点确定的圆的方程为x2+y2-4x-§y-5=0.

因为3）也在此圆上，所以/+9-44-25-5=0，

所以储一4。-21=0,

解得“=7或a=一3（舍去）.

故选：D.

例17.（2023•全国•高二专题练习）与圆V+y2-4x+6y+3=0同圆心，且过点1）的圆的方程是（）

A.x2+y2-4x+6y-8=0B.x2+/-4x+6y+8=0

C.x?+/+4x-6y-8=0D.x2+y2-4x-6y-4=0

【解析】依题意，设所求圆的方程为f+y2-4x+6y+m=0,

由于所求圆过点（1,-1），所以1+1-4-6+，〃=0,

解得〃?=8,所以所求圆的方程为J+y2-4x+6y+8=0.

故选：B

题型三：点与圆的位置关系

例18.（2023・高二课时练习）点P（L3）与圆/+丁=24的位置关系是（）

A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定

【解析】圆/+丁=24的圆心为0（0,0）,半径r=2«,|PO|=«W=Ji6<r,

故点尸在圆内.

故选：B

例19.（2023•全国•高二专题练习）点P（m,3）与圆（x—2尸+。-1产=2的位置关系为（）

A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.与m的值有关

【解析】将点P。%,3）坐标代入（x—2）2+（），-1）2=2中，

有：（m-2）2+4>2恒成立，故点P在圆外，

故选：A.

例20.（2023・重庆巴南・高二巴南中学校校考期中）点尸（优3）与圆（x+iy+y=9的位置关系是（）.

A.在圆内B,在圆外C.在圆上D.不确定

【解析】因为（加+1丫+32>9,所以点尸（加,3）在圆（x+iy+y=9外.

故选：B

例21.（2023•河南周口•高二校考阶段练习）已知圆的方程是（x—2p+（y-3）2=4,则点尸（3,2）（）

A.在圆心B.在圆上

C.在圆内D.在圆外

【解析】因为（3-2『+（2-3丫=2<4,所以点P在圆内.

故选：C.

题型四：二元二次曲线与圆的关系

例22.（多选题）（2023・高二课时练习）下列方程不是圆的一般方程的有（）

A.x2+y2-2x+4y+3=0B.x2+y2-2x+2y+7=0

C.x2+3y2-2x+4j+5=0D.x2+/-3xy-12=0

【答案】BCD

【解析】根据二元二次方程/+V+6+Ey+F=0表示圆的条件，

对于A中，方程/+/一2》+4、+3=0,可得（一2）2+42-4X3=8>0,

所以方程是圆的一般方程；

对于B中，方程/+/_2犬+2、+7=0,nJ^（-2）2+22-4x7=-20<0,

所以方程不是圆的一般方程：

对于C中，方程丁+3/一2x+4y+5=0中，/和尸的系数不相等，

所以方程不是圆的一般方程；

对于D中，方程/+丁-3町-12=0中，存在孙项，所以方程不是圆的般方程.

故选：BCD.

例23.(多选题)(2023•湖北武汉•高二武汉市第十七中学校联考期中)方程/+丁-女+2殴+2〃+1=()表

示圆，则实数a的可能取值为()

A.4B.2C.0D.-2

【答案】AD

【解析】把方程+y2-ox+2ay+2a+l=0整理成

/2\2

x2-++2纱+。2)=(+。2-2。一1,即

(1_]]+(>+.)2=『一2〃一1,若表示圆则满足

—2a-1>0即5a2-8a-4>0,即(5a+2)(a—2)>0

2

所以或a>2,观察答案中只有4和-2符合题意.

故选：AD

例24.(多选题)(2023•广西柳州•高二校联考期中)已知方程/+丫2+2X-,”=0,下列叙述正确的是

()

A.方程表示的是圆.

B.当〃?=0时，方程表示过原点的圆.

C.方程表示的圆的圆心在x轴上.

D.方程表示的圆的圆心在y轴上.

【答案】BC

【解析】由f+y2+2x-〃i=0得：(x+1)2+y2=m+l；

对于A,若,“+140,即则方程不表示圆，A错误；

对于B,当m=0时，方程为(x+l)2+y2=l,则方程表示以(-1,0)为圆心，半径为1的圆，此圆经过原点,

B正确；

对于CD,若方程表示圆，则该圆圆心为(-1,0),半径为而T,则圆心在X轴上，不在y轴上，C正确，

D错误.

故选：BC.

例25.(多选题)(2023•广东揭阳•高二统考期末)已知方程丁+»2-2(加+3卜+2(1-4,叫丫+16帆4+9=0

表示一个圆，则实数m可能的取值为()

A.—1B.0C.\D.一

25

【答案】BC

【解析】因为方程表示一个圆，所以。2+炉一4歹=[2（〃+3）了+[2（1-4/叫卜4x（16/+9）>0,化筒得

（7加+1）（-加+1）>0,解得<机<1.

故选：BC.

例26.（多选题）（2023•贵州贵阳•高二贵阳一中校考阶段练习）方程/+9+4，依-2），+5m=0表示圆的充

分不必要条件可以是（）

11

<<B>

A.4-4-

C.m<—D.rri>2

4

【答案】CD

【解析】尤*+y2+4如一2y+5m=0可化为：（x+2ni）~+（y-l）2=4〃/-5/n+l,

因为该方程表示圆，故4/%2—56+1>0即相或勿>1,

即方程f+9+4如一2y+5m=0表示圆的充要条件为或/〃>1.

因为卜s'），（2,+00）均为（~<»,；）口（1,+8）的真子集，

（；」）不是‘8,/卜（1,+8）的真子集，

故机e（-8,；）,加e（2,+<»）均为方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充分不必要条件，

故选：CD.

例27.（多选题）（2023・高二单元测试）使方程/+）,2一奴+2"+2/+。-1=0表示圆的实数2的可能取值

为（）

3

A.-2B.0C.-1D.一

4

【答案】BC

【解析】x2+y2-ax^-2ay+2a2+a-l=0,配方得：

（々丫/\23o

IX--I+（y+o）=---a+\,

3

要想表示圆，贝1」一二/一。+1>。，

4

解得：-2<a<I,

故选：BC

题型五：圆过定点问题

例28.（2023•上海徐汇•高二上海中学校考期中）对任意实数机，圆x2+y2-3/nr-6〃?y+9"L2=0恒过定

点，则定点坐标为

【答案】（1,1）或

【解析】x2+y2-3twc-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y-9)/n=0,

；on,解得x=i，y=i，或x=g，y=g

令

3x+6y-9=055

所以定点的坐标是（1,1）或d

故答案为:（u）或忤］

例29.（2023•全国•高二专题练习）若抛物线y=/+以+b与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,则

ABC的外接圆恒过的定点坐标为

【答案】（0,1）

【解析】设抛物线丫=^+亦+匕交y轴于点8（0,。），交X轴于点A（X1,0）、C（w，0）,

由题意可知A=a2—4»>0，由韦达定理可得±+±=-a,xxx2=b,

所以，线段AC的中点为卜£,0卜设圆心为「

2

由|PA「=|PB『可得玉+费+产=%（rd）,解得

%；+0¥1+人=0,则f=—,则，-〃=■!--,

-2b22

b+1|2t?

所以，圆P的方程为I+G

整理.可得(Y+V—y)+以+6(1-y)=0,

x2+y2-y=0

x=Q

方程组x=0的解为《

y=i

l-y=0

因此，一43c的外接圆恒过的定点坐标为（0,1）.

故答案为:（0,1）.

例30.(2023・全国•高二专题练习)已知二次函数/(幻=炉+2'+伙xeR)的图像与坐标轴有三个不同的交

点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(其坐标与方无关)

【答案】(0,1)和(-2,1)

【解析】二次函数〃x)=x2+2x+6(xwR)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为

M(m,0),N(n,0),B(0,b),易知b*0,满足加+〃=-2,m^n,苏+2〃?+6=0，M2+2H4-6=0.设圆

C方程为V+yZ+Dx+Ey+FH,则

nr+Dm+F=0①

-n2+Dn+F=0®,

b2+Eb+F=O®

①一②得〃-44-D(m-n)=0,D=-(/?/+/?)=2,/.n2+2n+F=0»从而F=b,

代入③得£=一6-1，

圆C方程为厂+y?+2x—{b+\)y+b=0>

整理得V+y2+2x_y+伙_y+l)=0,

x+y+2x-y=0[x=0,jx=-2

由，得,二】或

-y+l=0(y=i

...圆C过定点(0,1)和(-2,1).

例31.(2023•上海普陀・高二曹杨二中校考阶段练习)对任意实数加，圆/十/一2加r-4冲+6m-2=0恒

过定点,则其坐标为

£7

【答案】(1,1)、

5,5

x+2y-3=0,

【解析】由f+J-2松一4冲+6加一2=0由得一2，%(x+2y-3)+f+9-2=0,故4；2.24解得

1

x=—

x=l5

或，

y=l7

故填:(1,1)、

例32.(2023・高二课时练习)已知方程/+丁-26+2(。-2)卜+2=0表示圆，其中aeR,且#1,则不论

a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是.

【答案】(1,1)

【解析】由已知得/+/-4)，+2+2“('-幻=0,它表示过圆/+尸-4y+2=0与直线=0交点的圆.

x2+y2-4y+2-0[x=1,

由，解得,

y-x=0[y=L

即定点坐标为(1,1).

故答案为(1,1)

题型六：轨迹问题

例33.(2023•高二课时练习)已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C：/+丁+4%=0上运

动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.

【解析】设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(毛,%),

又8(8,6),且P为线段A8的中点，

所以之x()=2x-8

y=3y0=2y-6'

,2

因为点A在圆C：/+>2+4彳=0上运动，即有x；++4%=0,

代入可得，(2x-8)2+(2.y-6)2+4x(2x-8)=0,

整理可得Y+y2-6x-6y+17=0,化为标准方程可得(x—3?+(y—3)2=1.

所以，中点P的轨迹方程为(x-3y+(y-3>=1,

该轨迹为以(3,3)为圆心，1为半径的圆.

例34.(2023•高二课时练习)如图，已知点A(-l,0)与点B(l,0),C是圆x?+y2=l上异于A,B两点的动

点，连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点尸(x,y),由题意可知尸是△A8O的重心，由4-1,0),B(l,0),

令动点C(xo,yo),则£>(2ro-l,2yo),

x=

由重心坐标公式得，

y=

3x4-1

J代入f+y2=l,

则

到2。)

整理得

故所求轨迹方程为X+-

例35.(2023•江西宜春•高二校考阶段练习)已知方程/+丁+2履+(4%+10)丫+6&2+2k+19=0表示圆，

其圆心为C.

(1)求圆心坐标以及该圆半径厂的取值范围；

(2)若左=-2,线段A8的端点A的坐标为(0,4),端点B在圆C上运动，求线段A8中点用的轨迹方程.

【解析】(1)方程/+丁+2丘+(4A+10)y+6〃+2M+19=0可变为：口+/>+(>+2%+5)2=-/-%+6由

方程表示圆，

所以-公_4+6>0，即得-3<X<2,

.1r=，-公-k+6=J-(」+；)+胃€(()1.圆心坐标为(-%,-2%-5).

(2)当2=-2时,圆C方程为：(x-2)2+(y+l)2=4,

设M(x,y),又〃为线段A3的中点，A的坐标为(0,4)则B(2x,2y-4),

由端点8在圆C上运动，

(2x-2>+(2y—3/=4即Q—1尸+(y-1)=1

，线段AB中点M的轨迹方程为(x-l)2+。一|)=>

例36.(2023•河南南阳•高二校考阶段练习)已知圆C经过(一2,3),(4,3),(1,0)三点.

⑴求圆C的方程；

(2)设点A在圆C上运动，点8(7,6),且点M满足AW=2M8，记点用的轨迹为「，求「的方程.

【解析】(D设圆C的方程为(*-。)2+(丫-加2=产,

将三点(-2,3),(4,3),(1,0)分别代入方程，

\-2-a)2+(3-b)2=r2

则,(4-a)~+(3-力~=厂,解得。=1,b=3,r=3,

(\-a)2+[0-h)2=r

所以圆C的方程为。-毋+(丫-3)2=9；

(2)设M(x,y),A(xA,yA),

因为点M满足AM=2M3，3(7,6),

所以AM=(x-xA,y-yA),MB=(1-x,6-y),

x-x=14-2xx=-14+3x

A，所以A

广力=12-2yM=T2+3y

因为点A在圆C上运动，

所以(3U)2+(3"12_3)2=9,

所以(3x-15y+(3y-1=9,所以(x-+(y-5>=1,

所以点M的轨迹方程为(x-5尸+(y-5尸=1.

例37.(2023•北京通州•高二统考期中)已知圆C的圆心(。,-2)在直线*7+1=0上，且圆C经过点

A(-l,0).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若动点M与点A的距离等于2,求点M的轨迹方程.

【解析】(1)将圆心坐标代入直线得。+2+1=0,则。=-3,所以圆心坐标为(-3,-2),

产=(-3+1)2+(-2-0)2=8,故圆的标准方程为(X+3)2+(X+2>=8.

(2)由点”与点A的距离等于2,则点"是以点A为圆心，半径为2的圆，

所以点M的轨迹方程为(x+l>+y2=4.

例38.(2023•江苏扬州•高二邵伯高级中学校考阶段练习)(1)己知两定点A(-2,0),3(1,0),若动点P满足

\PA\=2\PB\,则P的轨迹方程.

(2)已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+l『+y2=4上运动，则线段A8的端点B的轨

迹方程.

【解析】(1)设P(x,y),^\PA\=2\PB\r则g+2)2+y2=2&x-l)2+y2,

所以*-2)2+9=4.

r+mv+nIX=8—Z7/

(2)设A(x,y),3(见〃)，则=3=4,千=3,可得/,

22[y=6_〃

由A在圆3+1尸+9=4上,则(9-m>+(6-〃)2=4,

所以2的轨迹方程为(x-9)2+(y-6/=4.

例39.(2023•高二课时练习)设定点M(-3,4),动点N在圆x?+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平

行四边形MONP,求点P的轨迹.

【解析】设P(x,y),N(xo,yo),则线段OP的中点坐标为母弓)，线段MN的中点坐标为(甘，/<).

由于平行四边形的对角线互相平分，

x=X+3

故台”。一为+4从而《Q

2-2%=y-4

Mx+3,y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4.

4

直线方程为y=-§x,

9f21

(x+3)2+(y—4产=4x=一一x=----

5

由4.，得二或O8，

[3p=T[y=T

所以所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-9£312)和(-彳21，个28)(点尸在直线OM上的情况).

例40.(2023•高二课时练习)已知A(2,l),8(-4⑼，动点P满足NAPB=90。，求动点P的轨迹.

【解析】由题意，点A(2』),8(-4,9),动点尸满足NA/>8=90。，

所以点尸落在以AB为直径的圆匕其中圆心坐标为(-1,5),半径为r=；|AB|=5,

所以点P的轨迹方程为(x+l)2+(y-5)?=25,其中x#2且，i.

所以点P的轨迹为以(-1,5)为圆心，半径为5的圆，且除去点A(2,l)和B(-4,9).

【过关测试】

—■、单选题

1.(2023・重庆•高二统考学业考试)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是。(1/)和43,3),则圆的标准

方程是()

A.(x-2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)2=2

C.(x-2『+(y-2)2=2

D.(x+2)?+(y+2)2=2

【答案】C

【解析】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是0(1,1)和43,3),

所以圆心为M(2,2),直径为2R=J(3-1)2+(3-1)2=2点，

所以圆的标准方程是(x—2f+(y—2了=2.

故选：C.

2.(2023・高二课时练习)若圆V+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为等，则实数a的值

为()

A.0或2B.0或-2

C.0或3D.-2或2

【答案】A

【解析】将圆的方程化为标准方程为：(X-1)2+(y-2)2=5,

所以，圆心为C。,2),半径“石.

因为圆心C。,2)到直线的距离为日，

所以，Ik尹(=也，即

V2211

所以4一1=±1,所以4=0或0=2.

故选：A.

3.(2023・高二课时练习)已知圆C与圆公+/一？):。关于直线工一)，一2=。对称，则圆C的方程是()

A.(x+l)2+/=lB.(x-3?+(y+2p=l

C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1

【答案】B

【解析】将圆炉+V-2y=0化成标准形式得x2+(y-l)2=l,

所以已知圆的圆心为(0,1)，半径r=l,

因为圆C与圆一+/-2),=0关于直线x-y—2=0对称，

所以圆C的圆心C与点(0,1)关于直线》-丫-2=0对称，半径也为1,

口=一1f.

设eg,“可得二,A,解得，.

''0+4\+bc.\b=-2

----------2=U'

22

所以C(3,-2),圆C的方程是(X-3)2+(y+2p=1,

故选：B

4.(2023・高二课时练习)已知圆G：/+y2+2x_2y+l=0,圆C?与圆G关于直线工-尸】=。对称，则圆G

的方程为()

A.x?+V-4x+4y+7=()B.x2+y2-4x-4>'+7=0

C.x2+j2+4x+4y+7=0D.x2+j2+4%-4y+7=0

【答案】A

【解析】由题意知，圆G的圆心与G关于直线x-y-1=0对称，且两圆半径相等，

因为圆G-x2+y2+2x-2y+l=0,g|JC,:(x+l)2+(y-l)2=1,

所以圆心半径为r=1,

设圆C,(-l,l)关于.宜线x-y-l=0对称点为C?(见〃),

-1+机1+〃1„

1=0

22

则：，解得m=2,〃=—2,即C<2,—2）,

n-\,.

------xl=-1

"+1

所以圆C2的方程为Cz：（x-2）2+（y+2）2=l,BPx2+/-4x+4y+7=0.

故选:A.

5.（2023•高二课时练习）过三点4（4,-2）,B（1,—1）,C（1,4）的圆的一般方程为（）

A.x2+j2+7x-3y+2=0B.x2+y2+7x+3y+2=0

C.x?+y_7》+3丫+2=oD.x2+y2-7x-3y+2=0

【答案】D

【解析】设圆的方程为尸=0,将4,B,C三点的坐标代入方程，

D-E+F=-2?D=-7

整理可得<D+4E+F=-17?,解得｛E=-3,

4D-2E+F=-20尸=2?

故所求的圆的一般方程为％2+V-7x-3y+2=0,

故选：D.

6.(2023・高二课时练习)若点P(-1,2)是圆C:(x+4)2+(y-3『=25的弦的中点，则弦MN所在的直线

方程为()

A.3x-y-5=0B.x+3y-5=0

C.3x-y+5=0D.x+3y+5=0

【答案】C

3-2I

【解析】因为圆心C(-4,3),P(—1,2),所以圆心原c=-TF=-W，

因为P是圆C的弦MN的中点，

所以PCLMN,

所以％MN=3,则直线MN的方程为y-2=3(x+l),即3x—y+5=0,

故选：C.

7.(2023・高二校考课时练习)若点(a+l,a-l)在圆/+)2-2砂-4=0的内部，则a的取值范围是

().

A.a>1B.0<a<lC.-1<。<(D.a<1

【答案】D

【解析】由题可知，半径厂=万荷，所以aeR,把点(a+lM-1)代入方程，

则(a+l)2+(a-l)2—2a(a—l)-4<0,解得a<l,所以故”的取值范围是a<1.

故选：D

8.（2023•四川广安♦高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线尔+ny-1=0（机＞0,〃＞0）平分圆

（工一1）2+（尸1）2=1的周长，则q?+，-的最小值（）

\/\/tn+12n

A3「5「5n9

A.-B.-C.-D.一

2244

【答案】D

【解析】由题意，动直线如+到一1=0过圆（x—iy+（y—炉=1的圆心”）,

则〃?+〃=1,又

21生+上19

4—=—

则m+12n2tn+nm12

——b—44,

n2

当且仅当'+』=2且帆+〃=i,即m=3,〃=2时，等号成立，

n255

故士的最小值为3.

m+\2n4

故选：D.

二、多选题

9.（2023•湖南郴州♦高二校考期中）圆/+八41=0（）

A.关于点（2,0）对称