2023-2024学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选岀符合题目的一项）

1.下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A.V-8B.C.D.y/~oZ

2.若代数式0在实数范围内有意义，贝收的取值范围为（）

X—1

A.x>0B.%>0C.D.%>0且％H1

3.一元二次方程2/+x+1=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.抛物线y=3。一1产+1的顶点坐标是（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（-1,-1）D.（1,-1）

5.关于抛物线y=%2—4x+4,下列说法错误的是（）

A.开口向上B.与％轴只有一个交点

C.对称轴是直线x=2D.当x>0时，y随x的增大而增大

6.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的（）

7.为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，las*,

统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众

数和中位数分别是（）31--

2----------11T1

A.220,220iLn

B.220,210

0200210220顼里口干栄

C.200,220

D.230,210

8.如图，四边形ABCD是菱形,对角线4aBD相交于点。，DH丄4B于”，连接。〃，厶DHO=

20°,则NCAD的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

9.(非课改)已知a,0是关于x的一元二次方程/+(2m+3)x+?7i2=o的两个不相等的实数

根，且满足方+尹一1,则m的值是()

A.3B.1C.3或一1D.-3或1

10.若二次函数y=/一6x+c的图象过4(-l,yi),8(2/2)，C(5,y3)>则以，丫2，丫3的大

小关系是()

A.71>y2>为B.yr>y3>y2C.y2>yi>y3D.y3>yr>y2

11.如图，在四边形4BCD中，/.ABC=90°,AD//BC,4E〃CD交BC

于E,4E平分484c,4。=CO,AD=DC=2,下面结论：①AC=248；

@AB=O；③SUDC=2S—BE；®B0丄4E.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax?+bx+

c(ar0)的图象如图所示，个结论：

(T)abc>0；

②2a+b=0；

③9a+3b+c>0；

④炉>4ac；

⑤当x=l数有最大值；

⑥当0<x<1时，函数y的值随％的增大而减小；

其中正确的序号有()

A.①②④

B.②③⑤

C.④⑤⑥

D.②④⑤

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

13.请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为(1,-2)的二次函数解析式.

14.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且Z4FB为直角，若AB=3,BC=4,则EF的

长为______

15.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库

存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同，则

每次降价率为.

16.如图是二次函数y=a/+加；+c的部分图象，由图象可知不

等式y<0的解集是.

17.如图，在△ABC中，AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,

M是BC边上的动点，MD丄AB,MELAC,垂足分别是£>、E,

线段DE的最小值是cm.

18.如图，已知点A1，A2,4020在函数y=/位于第二象

限的图象上，点当,B2020在函数y="位于第一象限

的图象上，点G，c2，…，C2020在y轴的正半轴上，若四边形

2c2^2，…，。202142022。202282022都是正方虺,

则正方形。2021厶2022c2022B2022的对角线长为------.

三、解答题(本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题10.0分)

(1)计算：<27xJ|-(>T5+V-3)(<5-

(2)解方程:x2-2x=4.

20.(本小题10.0分)

已知a、b、c满足|a—+V6-5+(c-40=0.

⑴求a、b、c的值；

(2)判断以a、氏c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三

角形的面积；若不能，请说明理由.

21.(本小题10.0分)

某校八年级两个班,各选派10名学生参加学校举行的''美丽绍兴乡土风情知识”大赛预赛.各

参赛选手的成绩如下：

八(1)班：88,91,92,93,93,93,94,98,98,100；八(2)班：89,93,93,93,95,

96,96,98,98,99.

通过整理，得到数据分析表如下:

班级最高分平均分中位数众数方差

八⑴班100m939312

八(2)班9995n938.4

(1)求表中zn、n的值；

(2)依据数据分析表，有同学说：“最高分在(1)班，(1)班的成绩比(2)班好”，但也有同学说

(2)班的成绩更好.请您写出两条支持八(2)班成绩好的理由.

22.(本小题10.0分)

某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的

篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门(如图所示)，设这个苗

囤园垂直于墙的一边长为x米.苗圃园的面积为100平方米，求x的值.

23.(本小题12.0分)

已知直线、=/^+b经过点4(5,0),8(1,4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标；

(3)根据图象，写出关于x的不等式2x-4>kx+b的解集.

24.(本小题12.0分)

有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为127n.现将它的图形放在如

图所示的直角坐标系中.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

25.(本小题14.0分)

综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60。角的菱形进行了探究.

【背景】在菱形中，NB=60。，作NPAQ=NB,AP,4Q分别交边BC、CD于点尸、Q.

AA

图1图2

(1)【感知】如图1,若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段4P与4Q之间的数量关系,

请你写出这个关系式

(2)【探究】如图2,小阳说“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立"，你同意吗？

请说明理由.

(3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片力BCD,测得乙4BC=60。，AB=6,在BC边上取

一点P，连接4P,在菱形内部作NP4Q=60。，4Q交CD于点Q,当4P=时，请直接写出

线段OQ的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4原式=2「，不符合题意：

石是最简二次根式，符合题意；

C原式=2/石，不符合题意；

D原式=J]=&E，不符合题意；

故选：B.

根据最简二次根式的定义判断即可.

本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了二次根式有意义的条件：，力有意义的条件为a20,也考查了分式有意义的条件即分

母不为零.

根据题意得到x20且％-140,即可得到答案.

【解答】

解：在实数范围内有意义，

x-1

x>0且x—100,

•1•x>0且x丰1.

故选。.

3.【答案】D

【解析】解：△=#-4x2x1=-7<0,

所以方程没有实数根.

故选：D.

先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c-0(a片0)的根与△=b2—4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方

程无实数根.

4.【答案】A

【解析】解：••・抛物线y=3(x-I/+1是顶点式，

二顶点坐标是(1,1).

故选：A.

已知抛物线顶点式y=。(％—/1)2+13八水为常数，a芋0),顶点坐标是g,k).

本题考查由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易.

5.【答案】。

【解析】解：•.•抛物线y=%2-4x+4,

•••该抛物线的开口向上，故选项A正确，

(-4)2-4x1x4=0,故该抛物线与x轴只有一个交点，故选项8正确，

对称轴是直线％=-庶=2,故选项C正确，

当x>2时，y随X的增大而增大，故选项。错误，

故选：D.

根据题目中的抛物线，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

6.【答案】B

【解析】解：•••直线y=kx+b经过一、二、四象限，

■■k<0,b>0,

—k>0,

二直线y=6久-k的图象经过一、二、三象限，

选项B中图象符合题意.

故选：B.

本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0,b>0ay=kx+b的图象在一、二、四

象限”是解题的关键.由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论.

7.【答案】A

【解析】解：数据220岀现了4次，最多，

故众数为220,

共1+2+3+4=10个数，

排序后位于第5和第6位的数均为220,

故中位数为220,

故选:A.

根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个

数的平均数即可.

此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（

或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如

果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

8.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质.注意证得aOBH是等

腰三角形是关键.

由四边形4BCD是菱形，可得0B=00,AC1BD,又由DH丄4B,ADHO=20°,可求得的

度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得

乙48。的度数，然后求得NCAO的度数.

【解答】

解：•••四边形4BCD是菱形，

:.OB=0D,AC丄BD,

•・・DH丄48,

.・・OH=OB=：BD,

•・•厶DHO=20°,

・・.厶OHB=90°-厶DHO=70°,

・・・Z.ABD=Z.OHB=70°,

・•・Z.CAD=乙CAB=90°-Z,ABD=20°.

故选A.

9.【答案】A

【解析】解：根据条件知：

a+0=—（2m+3）,邓=m?,

.•一+雜隼=卫箸=-1,

aPap

即—2m—3=0,

2

所以,得愕71K3对

((2m+3)z—4mz>0

解得TH=3.

故选：A.

由于方程有两个不相等的实数根可得△>(),由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系

和;+宗=-1,可以求出m的值，最后求出符合题意的m值.

1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力.一元二次方程根的

情况与判别式△的关系：

(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0o方程有两个相等的实数根；

(3)△<0Q方程没有实数根.

2、一元二次方程。/+以+。=0(<1*0)的根与系数的关系为：％1+右=一《，Xi-x2=

10.【答案】B

【解析】解：••・二次函数y=7-6x+c,

•・.该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3.

T点(一1,%)、(2,力)、(5,丫3)都在二次函数y=--6x+c的图象上，

而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：

(一1，月)、(5,为)、(2,为)，

•••<yi

故选：B.

二次函数抛物线向下，且对称轴为％=-*=3.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判

断纵坐标的大小.

此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴.

11.【答案】D

【解析】解：■■AD//BC,AE//CD,

二四边形AECD是平行四边形，

■■■AD=DC,

••・四边形4ECD是菱形，

•••AE=EC=CD=AD,

:.Z^EAC=Z.ECA,

•・・4E平分乙B/C,

:.Z-EAB=Z.EAC,

:.Z.EAB=Z.EAC=Z-ECA,

・・・^ABC=90°,

••・Z-EAB—Z.EAC—Z-ECA=30°,

BE=^AE,AC=2AB,①正确；

•••四边形AECD是菱形，

•••AE=EC=CD=AD=2,

1

・•・BE=-AE=1,

AB=y/~3,②正确；

•••四边形AECD是菱形，

S^ADC=S“AEC=,CE,

S&ABE=3AB-BE,

•••BE=^AE=^CE,

:,SXACE=2SAABE，③正确；

VAO=CO,

:.AB=AOf

•・・/,EAB=£.EAC=30°,

••・乙BAO=60°»

.•・△48。是等边三角形，

「4E平分NBAC,

.-.AE1BO,④正确.

综上所述：正确的有①②③④，共4个.

故选：D.

由两组对边平行证明四边形4ECD是平行四边形，由40=CC得出四边形4ECO是菱形，得出4E=

EC=CD=AD,贝Ij/E4c=/.ECA,由角平分线定义得出NEAB=AEAC,则NE4B=/.EAC=

Z.ECA,证出NE4B=LEAC=Z.ECA=30°,贝UBE=^AE,AC=2AB,①正确；由含30度的直

角三角形的性质即可判断②正确；由菱形的性质得出SA4DC=SA4EC=32B-CE,ShABB=\AB-

BE,由BE="CE,则S-CE=2SMBE，③正确；由4。=CO得出48=40,由4E4B=

NEAC=30。得出NBA。=60。，则△AB。是等边三角形，由根据三线合一即可判断④正确；即可

得出结果.

本题考查了梯形，平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线定义、等边三角形的判定、

含30。角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握菱形的性质与含30。角直角三角

形的性质是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：•••图象开口向下，

・•・Q<0,

••・对称轴为直线久=一母=1,

2a

••b=-2a>0,

・・•图象与y轴的交点在％轴的上方，

・•・c>0,

abc<0,

①说法错误，

b

,•*——=1,

2a

:.2a=­b,

・•・2a+b=0,

二②说法正确，

由图象可知点(一1,0)的对称点为(3,0),

当％=—1时，y<0,

.••当x=3时，y<0,

・•・9a+3b+cV0,

・・・③说法错误，

•・・抛物线与％轴有两个交点，

・•・b2—4ac>0,

：•b2>4ac,

④说法正确；

•.•开口向下，对称轴为％=1,

当x=1时，y有最大值，

・••⑤说法正确，

:开口向下，对称轴为x=1,

.,.当0<x<l时，函数y的值随x的增大而增大，

⑥错误，

二正确的为②④⑤，

故选：D.

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线

对称性进行推理，进而对所得结论进行判断.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题

的关键.

13.【答案】y=(x-1尸一2(答案不唯一)

【解析】解:根据图象开口向上,且顶点坐标为(1,-2)的二次函数解析式可以为:y=(x-I)2-2(

答案不唯一).

故答案为：y=(x-I/-2(答案不唯一).

直接利用顶点式写出二次函数解析式即可.

此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式分析是解题关键.

14.【答案】0.5

【解析】解：•••DE为AABC的中位线，

二DE=^BC=2,

•・•Z.AFB=90°,AD=DB,

•••DF=^AB=1.5,

EF=DE-DF=0.5,

故答案为：0.5.

根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出OF,计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且

等于第三边的一半是解题的关键.

15.【答案】20%

【解析】解：设每次降价率为X,

根据题意得：200(1-%)2=128,

解得：xr=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去).

故答案为:20%.

设每次降价率为％,根据原价及警告过两次降价后的价格，即可得出关于工的一元二次方程，解之

取其小于1的值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

16.【答案】或%>5

【解析】解：•••抛物线经过点(5,0),对称轴为直线x=2,

.•抛物线与x轴的另一个交点为(一1,0),

y<0,

对应抛物线在x轴下方

•1•x<-1或x>5.

故答案为：x<—1或x>5.

根据抛物线的对称轴及与X轴的交点求岀抛物线与X轴的另一个交点，通过图象即可求解.

本题考查二次函数和不等式，二次函数的性质，将y<0转化为抛物线在X轴的下方是解决问题的

关键.

17.【答案】y

【解析】解：•••在A4BC中，AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,

：.BC2=AB2+AC2,

〃=90°,

vMDA.AB,MELAC,

・•・Z.A=Z-ADM=Z.AEM=90°,

・・・四边形4DME是矩形，

.・.DE—AM,

当AM丄BC时，4M的长最短，

根据三角形的面积公式得：^AB-AC=^BC-AM,

9x12=15AM,

...36

AM=y,

即DE的最小值是会m.

故答案为：y.

根据勾股定理的逆定理求出NA=90。，根据矩形的判定得出四边形力DME是矩形，根据矩形的性

质得出=求出AM的最小值即可.

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，三角形的面积，垂线段最短的应用，能求岀

4M=OE是解此题的关键，注意：垂线段最短.

18.【答案】4044

【解析】解：丫。4停/1是正方形,

OB】与y轴的夹角为45。，

•••。当的解析式为y=%,

联立方程组得：1_丫2，

-x

解得｛::端::，

••・当点的坐标是：（1,1）;

*=712+12=

••・OC]=2,

同理可得：正方形G42c2B2的边长口殳=2y/~2,则C1C2=4,

依此类推，正方形则正方形C2021A2022c2022殳022的边长为2022。，

二正方形C20214022c2022B2022的对角线长为202+=4044'

故答案为：4044.

根据正方形对角线平分一组对角可得与y轴的夹角为45。，然后表示出OB】的解析式，再与抛物

线解析式联立求出点Bi的坐标，然后求出。当的长，再根据正方形的性质求出。G，表示出Ci4的

解析式，与抛物线联立求出与的坐标，然后求出GB2的长，再求出Ge?的长，然后表示出C2B3的

解析式，与抛物线联立求出丛的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可.

考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解

析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键.

19.【答案】解：(i)S7xJ(U+，3)(C-C)

=J27X|-[(V-5)2-«3)2]

=3-(5-3)

=3-2

=1;

(2)x2-2x=4,

x2-2x+l=4+1,即(无一1)2=5,

X—1=±yJ~~5?

:.%i=1+V~-5,g=1—A/-5・

【解析】(1)原式利用二次根式的乘法法则计算，然后合并即可得到结果；

(2)利用配方法求出解即可.

此题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程-配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

20.【答案】解：⑴•・,a、b、c满足|Q—\T1\4-Vh—5+(c—4，⑨2=0.

・・.|a—d=0,7b—5=0,("4。)2=0.

解得：a=A/-7,b=5，c=47-2;

(2)va=，b=5,c=

・•・Q+b=A/-74-5>

・•・以Q、b、c为边能构成三角形，

va24-b2=(V-7)24-52=32=(4V-2)2=c2,

・•・此三角形是直角三角形，

•••SA=TX「X5=亨

【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的

逆定理是解题的关键.

(1)根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；

(2)根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可.

1

21.【答案】解：⑴八(1)班的平均分6=^x(88+91+92+93+93+93+94+98+98+

100)=94；

八(2)班的中位数n=史产=95.5；

(2)八(2)班的平均分高于八(1)班；八(2)班中位数高于八(1)班，故支持八(2)班成绩好.

【解析】(1)利用平均数，中位数的定义计算所求即可；

(2)从平均分，以及中位数角度考虑，合理即可.

此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

22.【答案】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为工米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为(29-

2x+1)米，

根据题意得：x(29—2x+1)=100,

解得：勺=5,x2—10,

•••当x=5时，29-2x+1=20>18,舍去，

:.x=10.

答：x的值为10.

【解析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为(29-2x+1)

米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为100平方米，即可得出关于％的一元二次方程，解之

取其较大值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.【答案】解：(1)•••直线y=kx+b经过点4(5,0),8(1,4),

(5k+b=0

tfc4-=4'

解甌

•••直线AB的解析式为：y=-x+5.

(2)•.•若直线y=2x-4与直线48相交于点C,

(y=-x+5

"ly=2x-4'

解得

•••点C(3,2)；

(3)根据图象可得x>3.

【解析】(1)利用待定系数法把点4(5,0),8(1,4)代入丫=/«+6可得关于晨b得方程组，再解方

程组即可；

(2)联立两个函数解析式，再解方程组即可；

(3)根据C点坐标可直接得到答案.

此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等

式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息.

24.【答案】解：(1)由图象可知，抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),

设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4,

则0=a(12-6)2+4,

解得a=J

即这条抛物线的解析式为y=-i(x-6)2+4：

2

(2)当x=；(12—4)=4时，y=-l(4-6)+4=y>3,

；・货船能顺利通过此桥洞.

【解析】(1)根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点(12,0),从而可以设出抛物线的

顶点式，将点(12,0)代入求出a,进而求得抛物线的解析式；

(2)把x=4代入函数解析式即可得到结论.

本题主要考查二次函数的应用.

25.【答案】AP=AQ

【解析】解：(1)线段4P与AQ之间的数量关系：AP=AQ.

理由：如图，连接4C,

•••四边形4BCD是菱形，且厶B=60°,

・•・AB=AD=BC=CD,厶B=乙D=60°,

：,△4BC和△4DC都是等边三角形，

:.2LBAC=Z.DAC=60°,AB=AD=AC,

•・,点P是边8C的中点，

1