2023-2024学年辽宁省高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题

一、单选题

1.已知集合厶={-1,0,1,2},B={1,2,3},则Au8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【正确答案】D

【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.

【详解】因为A={-1,0,1,2},B={1,2,3},

所以AuB={-l,0,l,2,3},

故选：D.

2.如图，在等腰梯形A8C。中，AD//BC,A£>=2,AB=BC=CD=1,E为4。的中点.则下

列式子不正确的是()

A.AB+AE=ACB.|«E|=|EC|C.AB-CD=EDD.ED+CB=0

【正确答案】C

【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.

【详解】由题意|AE]=|£»|=|3C|=1,A£7/8C,£Z)//3C,.”£'=£»=3C,

并且四边形A8CE和四边形都是平行四边形，即8£=。£>,48=£。，

对于A,AB+AE=AC，正确；

对于B,国=|西=1,図=网=1,正确；

对于C,ED=AE=AB+BE^AB+CD^AB-CD，错误；

对于D,ED=BC=-CB,ED+CB=0,正确；

故选：C.

o_o

3.“|%-1阵2”是“r三二的()

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.

【详解】解：由|x—1|<2,解得一14x43,由3解得—1VX43,

显然-1<xK3=-l4x<3,但是一1Kx43推不出—1<x<3,

所以W2”是1”的必要不充分条件.

故选：B.

4.下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是()

A./(x)=x+4B./(力=4-凶C./(x)=lnx-3D./(x)=3v-8

【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可.

【详解】对于A,/(x)=x+4是增函数，令/(x)=x+4=0,

贝!Jx=-4<0,故A错误；

对于B,/(力=4一国在(0,+oo)上是减函数,故B错误；

对于C令〃x)=lnx-3=0,则x=e3>5,故C错误;

对于D,/(力=3*-8是増函数，令〃x)=3，-8=0,

则x=log38e(l,2),故D正确；

故选：D.

5.已知”二腿22,人=1嘔6,c=2,则a,b,c的大小关系为()

33

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【正确答案】C

【分析】根据对数函数的单调性即可求解.

a=log2<log=0

【详解】由对数函数的单调性可知：2P,/?=log56>log55=l,又

c=*G（0,1）,所以b>c>a.

故选.C

6.如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4

次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）

甲乙

98879

10908

39

A.BD.

8-焉

【正确答案】B

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分,

则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种,

故所求的概率为一7.

16

故选：B.

7.下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：%）,根据下图，则（）

A.这10年的人口出生率逐年下降

B.这10年的人口出生率超过12%。的年数所占比例等于45%

C.这10年的人口出生率的80%分位数为13.57%

D.这10年的人口出生率的平均数小于12%。

【正确答案】D

【分析】由走势图对选项一一验证即可.

【详解】对于A：这10年的人口出生率有升有降，故A错误；

对于B：这10年的人口出生率超过12%。的年数所占比例等于50%,故B错误；

对于C：由于10x0.8=8,则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9

个数的平均数1367；3-83=]370,故c错误;

对于D：这10年的人口出生率的平均数为

木(14.57+13.03+13.83+11.99+13.57+12.64+10.86+10.41+8.52+7.52)=11.694小于

12%o,故D正确;

故选：D.

8."碳达峰''是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而"碳中和''是指企业、

团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化

碳“零排放某地区二氧化碳的排放量达到峰值“（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放

量S（亿吨）与时间f（年）满足函数关系式S=M'，若经过4年，该地区二氧化碳的排放

量为当（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放

量为三（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：

lg2ao.30,lg3yo.48）

A.13年B.14年C.15年D.16年

【正确答案】D

【分析】由条件列式劭4=当先确定参数，再结合对数运算解方程.

43

【详解】由题意，S=a/=当，即所以b邛,

44v4

令即故=；,即=

JJ丿。Vrj

141g3

可得力（Ig3-2lg2）=—Ig3,即……"16.

421g2-lg3

故选：D

二、多选题

9.已知e是直线/上的一个单位向量，a与匕都是直线/上的向量，且a=2e，b=-3e,则

()

A.人的坐标为—3B.|ft|=3

C.2a+3〃的坐标为5D.\2a+3b\=5

【正确答案】ABD

【分析】根据题意得到忖=|2e|=2,W="e|=3,a,6的夹角为180,再依次判断选项即可.

【详解】对选项A,因为人=-3e，所以6的坐标为-3,故A正确；

对选项B,恸=卜3书3,故B正确.

对选项C,因为a=2e，b=-3e»所以2〃+3b的坐标为-5,故C错误；

对选项D,因为卜卜恸=2,卜卜卜3［=3,〃力的夹角为180,

所以（2a+30=4了+9片+12a）=4x22+9x9+12x2x3x（-l）=25,

所以|2a+3bl=5,故D正确.

故选：ABD

10.为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9,方差

为11;乙同学调查了10名女生，其平均数为7,方差为8.若将甲、乙两名同学调查的学

生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）

A.平均数为8.5B.平均数为8C.方差为10.5D.方差为10

【正确答案】BC

【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.

10x9+10x7

【详解】由题意，该样本数据的平均数本=8,

方差$2=芻口1+（9-8円+第［8+（7-8円=10.5.

故选：BC

11.设函数〃x）=ln（W-a）,则下列说法正确的是（）

A.“X）是偶函数

B.当a=l时，〃X）的单调递减区间为（-8,0）

C.若的定义域为R,则〃的取值范围为（-8,01

D.若/（x）的值域为R,则a的取值范围为［0,+oo）

【正确答案】AD

【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.

【详解】对于A选项，因为当时，函数定义域为(—,-a)(",七»),当。=0时，函数

定义域为(e，O)L(O，E);

当。<0时，函数的定义域为R,函数定义域关于原点对称，且/(-x)=/(x),所以〃x)是

偶函数，故A正确；

对于B选项，当a=l时，令凶-1>0,解得x<-l或x>l,由复合函数的单调性可知/(x)的

单调递减区间为(9，-1),故B错误；

对于C选项，若"X)的定义域为R,则恒成立，故"0,则”的取值范围为(-8,0),

故C错误；

对于D选项，若〃x)的值域为R,则-。40,故aNO,则a的取值范围为［0,转)，故D正

确.

故选.AD

12.已知函数“X),g(x)的定义域均为R,g(x)为偶函数,且〃x)+g(x+l)=l,

/(x+l)-g(x)=3,贝ij()

A.g(x)的图象关于直线x=2对称B./(x)的图象关于点(0,2)对称

C./(x)是以3为周期的周期函数D.g(x)是以4为周期的周期函数

【正确答案】ABD

［分析］根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可.

【详解】由/(x)+g(x+l)=l,可得/(x+1)+g(x+2)=l,

又f(x+l)-g(x)=3,所以g(x+2)+g(x)=-2,则g(x+4)+g(x+2)=-2,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)周期为4,故D正确；

同理可得〃x+4)=/(x),所以f(x)周期为4,故C错误;.

因为g(x)为偶函数，所以g(r)=g(x)=g(x+4),

所以g(x)的图象关于直线x=2对称，故A正确；

因为/(x)+g(x+l)=l,可得g(x)=l—/(x—l),

又/(x+l)-g(x)=3,所以g(-x)=/(l-x)-3,

由g(T)=g(x),可得=HP/(1-X)+/(X-1)=4,

所以/(X)的图象关于点(0,2)对称，故B正确；

故选：ABD.

三、填空题

13.已知。=(，",-2),6=(3,1),若a〃b，则同=.

【正确答案】2M

【分析】首先根据“〃6得到加=-6,再计算同即可.

【详解】由a〃£＞，得〃7+6=0,则机=-6,故|a|=J36+4=.

故2函

四、双空题

14.某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为”的样本，将数据按

120,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图,

贝,要从日支出在[50,70]的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在

[60,70]中被抽取的人数为.

【正确答案】0.0052

【分析】根据频率之和为1列岀方程，求出。=0.005,得到［50,60）内和［60,70］内的样本比

例，从而得到在［60,70］中被抽取的人数.

【详解】（2xa+0.02+0.025+0.045）xl0=l,解得4=0.005.

因为［50,60）内和［60,70］内的样本个数比例为0.020:0.005=4:1,

根据分层抽样可知，日支出在［60,70］中被抽取的人数为10x$=2.

故0.005,2

五、填空题

15.设。，feeR,若9a2+廿+3ab=6,则3〃+b的最大值为.

【正确答案】2竝

【分析】利用条件变形和问题建立起联系：（3a+b）2=3ab+6,再利用基本不等式求出油的

范围即可求解.

详解】9a2+b2+3ab=6=（3a+/>）'-3ab,

即（3a+匕）-=3ab+6,

因为9/+廿+3ab=6>2\l9a2-b2+3ab-

2

可得姉当且仅当3a=6时，等号成立，

所以（3a+b）2=3"+648,

即34+b的最大值为2无.

故答案为.2及

16.已知/1BC内一点P满足AP=/M8+，AC,若PCB的面积与：ABC的面积之比为1:3,

4

则4的值为.

【正确答案】总

【分析】过点P作尸“//AC,PN//AB,根据向量运算和平面向量基本定理可得AM=/lAB,

4V=.作PG丄AC于点G,8H丄AC于点”.根据三角形面积公式结合三角形相似判

4

断可得以.=朮厶.，SAW=；SMC，列方程求人的值.

【详解】如图，过点P作PM//AC,PN//AB,则AP=AM+AN,

y.AP=AAB+-AC,

4

由平面向量基本定理可得AM=2A5,4V=JAC.

4

作PG丄AC于点G,BH丄AC于点H.

又因为△PNGs^BAH,所以空■二空二彳，

BHAB

因为S"AC="S△ABC»同理5厶姉8二1^ABC•

因为PCB的面积与一ABC的面积之比为1:3,

所以义+:十;=1,

43

解得2=卷.

故答案为

12

六、解答题

17.已知命题P：*eR,x2+mx+w＜0＞集合A是命题。为假命题时实数加的取值集合,

函数/@)=E(》+4)+71=的定义域为集合乩

\la-x

(1)求集合A;

(2)已知。＞0,若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，求”的取值范围.

【正确答案】(1)A=[(),4]

(2)(4,田)

【分析】(1)分析可知，命题P的否定为真命题，由△«()可求得集合A;

(2)求出集合8,分析可知AB,可得出关于实数。的不等式组，即可解得实数。的取值

范围.

【详解】(1)解：命题。的否定为祗eR,x2+mx+m>0,

命题。的否定为真命题等价于△=病-4%40,解得04机44,所以A=[(),4].

x-\-a>0/、

解得-a<x<a,则8=(—a,a),

{a-x>\)

因为“xeA”是“xe夕'的充分不必要条件，则AB,

f—6Z<0

所以，,,解得。>4,

[a>4

当”=4时，8=(-4,4),此时AB.

因此，实数。的取值范围是(4,止).

18.已知幕函数〃x)=(>-3)，"在(O,+a))上单调递减.

⑴求“X)的解析式；

⑵若Vx«l,2],/(X)<^-Z£,求〃的取值范围.

X

【正确答案】⑴/(司=/

⑵y,i]

【分析】(1)根据哥函数的定义和单调性列式求解即可；

(2)根据题意分离变量得到a<2'-丄在口.“恒成立，利用函数的单调性即可求解.

X

加2_Q_1

【详解】(1)因为黒函数〃X)=(病-3)«”在(0,+8)上单调递减，所以机<0一，

解得“=-2,所以“X)的解析式为〃x)=x-2.

(2)由/(幻4竺心，可得丄42，-a,则。42，一丄，

XXX

因为y=2，,y=-丄在[1,2]上单调递增，

X

所以y=2，-丄在［1,2］上单调递增，所以当x=l时，取得最小值1.

X

所以a的取值范围为(9」］.

19.已知/(x)为R上的奇函数，当xNO时，/(x)=logJx+4)+〃z.

⑴求机的值并求出/(同在(-^,0)上的解析式；

(2)若求。的取值范围.

【正确答案】⑴帆=2,/(x)=-logi(-x+4)-2

2

⑵(YO,f

【分析】(1)根据函数为R上的奇函数得到/(O)=O,求出机的值，并利用函数的奇偶性

求出解析式；

(2)得到函数的单调性及〃T)=-l°gl8-2=l,从而解不等式，求出答案.

2

【详解】(D由题可知/(o)=—2+机=0,即〃7=2,经检验符合题意，

令x<0,则-x>0,/(T)=bgi(-x+4)+2,

2

又f(x)为奇函数，所以〃—x)=-〃x),

所以―/(x)=logi(—x+4)+2,故〃x)=-1og|(—x+4)—2,

22

故〃x)在(-8,0)上的解析式为"x)=Togi(-x+4)-2

2

(2)由函数性质可知/(x)在［0,Ko)上单调递减，则f(x)在R上单调递减.

又因为“Yb-bg邙-Zf,所以即/(a)>/(T),

2

所以当av-4时，/(«)>1,即a的取值范围为(—,-4).

20.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活

动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7,

第二关、第三关的通过率均为0.5,第四关的通过率为0.2,四关全部通过可以获得一等奖(奖

金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等

奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

（1）求甲未获得奖金的概率；

（2）求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率.

【正确答案】（1）0.825

（2）0.0098

【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未

获奖金的概率；

（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法

和加法公式即可求解.

【详解】（1）获得二等奖的概率为0.7x0.5x0.5x0.8=054,

获得一等奖的概率为0.7*0.5*0.5*0.2=0.035,

所以甲未获得奖金的概率为1-0.14—0.035=0.825.

（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14,获得一等奖的概率为0.035.

甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，

则所求的概率为0.035x0.14+0.14x0.035=0.0098.

21.已知〃?>0,〃>0,如图，在A8C中，点M,N满足AN=nAC.。是线

段BC上一点，=点E为4。的中点，且M,N,E三点共线.

（D若点。满足2Ao=OB+OC,证明：OEHBC.

⑵求m+2〃的最小值.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据向量的线性运算法则，利用AbAC依次表示再结合

向量共线定理证明OE//CB即可;

(2)由(1)AE=^-AM+^-AN,结合结论可得J+二=1,再利用基本不等式求帆+2”的

3m67?3m6〃

最小值.

11Q1

【详解】(1)由题可知AD=A8+8O=A8+-8C=46+-(AC—A8)=-A6+-AC,

一33、丿33

因为点E为4。的中点，所以AE=2A8+!AC.

36

由2Ao=OB+OC,贝12Ao=OA+A8+OA+AC，即AO=；(A8+AC),

OE=AE-AO=\-AB+-AC\--(AB+AC}=—AB-—AC,

(36丿4、>1212

又CB=AB-AC

所以OE〃圆，又旦C,B三点不共线，

所以OE//BC.

(2)因为M,N,E三点共线，

所以可设ME=2MN，5(.AM=mAB.AN=nAC，

所以AE=(1—义)AM+，A7V=(1—2)AC

11

y.AE=-AB+-AC,

36

所以(1一;l)m=g,X〃=熹,

所以J-+；=l，

3mon

bi、i。zc、，11A112H/7i2_(2n―nt4

所以机+2〃=(/%+2〃