高考数学一轮复习最拿分考点系列考点2解三角形试题

专题2解三角形

考点了解A掌握b灵活运用c

正弦定理、余弦定理B

解三角形B

通过研究近4年全国高考试卷，高考中解三角形试题主要以中档题出

现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上如果没有解答题，会

有1-2个选填题；分值为10-12分。

解三角形在高考中占据重要地位，通过分析近几年高考情况，考察特

点如下表：

考什么怎么考题型与难度

①考察利用止、余弦定理求边、角与

面积；题型：三种题型

②考察利用正、余弦定理判断三角形均可出现

1.正、余弦定理

形状；难度：根底题或

③考察利用正、余弦定理解决一些中档题

现实生活中实际问题.

2.止、余弦定埋

与三角函数、平主要考察正、余弦定理及三角函数图题型：解答题

面向量交汇问象、性质与平面向量综合应用难度：中档题

题

解三角形作为高中数学一个模块，与三角函数、向量都有天然联系,

同时在相关学科中也有着广泛应用。

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高考中选填题以考察正余弦定理及面积公式根本运用，为中低档题。

解答题以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为

手段来考察三角形问题.具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外,

也要根据条件合理选用三角函数公式，到达化简问题目.解三角形问

题实质是将几何问题转化为代数问题.复习中注意对正余弦定理及公

式变形与运算能力训练，同时让学生感悟解题中所蕴含方程思想、函

数思想、分类与转化思想、建模能力。

复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化”，知识理解“深

化”、考试题型“类化"、通性通法"强化"、解题思维“优化”。

高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归

根底、查学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通：对学生点，

心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯穿；让学生做，触类旁通；让学

生考，无师自通。

典例【2021课标n理17】AA5C内角4B、C所对边分别为a,b,c，,

〔1〕求cos8；

〔2〕假设a+c=6,AA5C面积为2,求b。

【答案】(1)；⑵。=2。

⑵由得，故s=LacsmB=±ac°

△ABC217

又S=2,那么。由余弦定理及a+c=6得：

△ABC

2

匕2=口2+c2-2accosB=(a+c)-2ac(l+cosB)=36-2x?x(l+”]=4。所以

2I17J

b=2o

【精准解读】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题第

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一题，主要利用正、余弦定理、三角形面积公式。同时也与三角函数,

三角恒等变形、向量、不等式等综合。解题时要灵活利用三角形边角

关系进展“边转角”"角转边”，另外要注意a+c,ac,a2+C2三者关系。

因为题小巧，为考生易等分点。

1.(2021高考北京理12】在wc中，a=4，b=59c=6，那么sin2A

sinC

【答案】1

【解析】

XX

【精准解读】此题考察了三角恒等变换，正余定理解三角形。在解决

三角形问题中，因为条件与问题中既有边又有角，容易与正弦定理、

余弦定理联系起来处理。

2.【2021课标3理17】^ABC内角A,B,C对边分别为a,b,

C.sinA+/cosA=0，a=2〃,b=2・

⑴求C；

〔2〕设D为BC边上一点，且ADj_AC,求4ABD面积.

【答案】⑴c=4；⑵0

【解析】分析：⑴由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边

长取方程正实数根可得c=4；

⑵利用题意首先求得4ABD面积与4ACD面积比值，然后结合

△ABC面积可求得4ABD面积为/.

【精准解读】此题考察了余弦定理解三角形；三角形面积公式。在解

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决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易

与正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵

活性，两角与一边，该三角形是确定，其解是唯一；两边与一边对角,

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值有界性与大边对大角定

理进展判断.

3.【2021课标1理17】AABC内角A,B,C对边分别为a,b,

c,△ABC面积为

〔1〕求sinBsinC;

〔2〕假设6cosBcosC=1,a=3,求^ABC周长.

【解析】分析：〔1〕由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将

边化成角，

从而得出sinBsinC值；〔2〕由与计算出，

从而求出角A,根据题设与余弦定理可以求出炉与"c值，从而求出

△A5C周长为3+屈.

解析：〔1〕由题设得，即.

由正弦定理得•故.

【精准解读】处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给条件，当题

设中给定三角形面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边关系

转化为角关系，有时需将角关系转化为边关系；求解周长问题时要注

意a+c,ac,a2+C2三者关系，需有整体思想。

【实战演练】〔共1。。分〕

一、选择题〔共4题，每题5分〕

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1.【2021课标1文11]AABC内角A、B、C对边分别为a、b、

C.sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,C=4,那么C=

A.±B.fC.2E

1264

D.2

3

【答案】B

【解析】由题息sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0得

即sinc(sinA+cosA)=Osincsin(A+：)=0,所以•

由正弦定理得，即，得，应选B.

2.【2021福建莆田一中高三模拟】在AABC中，角角A,8,C对边分别

为a,b,c,假设〃2—。2=且

sinC=2^sinB,那么A等于〔〕

A.三B.C.三

石4T

D.竺

3

【答案】A

3.【2021江西南昌模拟】在AA5c中，角A,B,C对边分别为见叱，假

设(22+62=2017C2,

那么II

A.B.C.D.

1008

【答案】C

【解析】../BC中，..02+02=2017c2,故由正弦定理可得

sin2A+sin^B=2017sin2c・

再由余弦定理可得Q2+Z?2-C22016c22016s，2c

2ab2abIsinAsinB

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/.sinAsinBcosC=1008sin2C.

tanCtanCsinCcosAsinCcosBsinCsinBcosA+sinAsinCcosB

.*+----=---------+---------二---------------------------

tanAtanBcosCsinAcosCsinBsinAsinBcosC

sinC'Sin(A+B)sin2c1应选C

-1008s沅2c-i008^C-i008，•

4.[2021新课标2理4】钝角三角形ABC面积是J_,AB=1,

2

BC=e,那么AC=()

A.5B.1C.2

D.1

【答案】B

【解析】由面积公式得:，解得，所以5=45或3=135,当6=45时,

由余弦定理得：AC2=1+2-272cos45=1,所以AC=1,又因为AB=1,

BC=0,所以此时

△ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以5=135,由余弦定

理得：

AC2=1+2-272COS135=5,所以AC=6,应选B.

二、填空题〔共6题，每题5分〕

5.【2021全国1文16］如图，为测量山高MN,选择A与另一座山

山顶CA点测得M

点仰角/M42V=60。，。点仰角NC43=45。以及NM4c=75。；从C点测

得NMC4=60。.

山高3。=100机，那么山高肱V=m.

【答案】150

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【解析】根据题意，在AA3C中，ZCAB=45o,ZABC=9Oo,5C=100,易

得：4。=1000；在4^。中，/肱40=75。,41104=600,4。=100户，易得：

ZAMC=45o,由正弦定理可解得：_=—人”，即：

sinZAMCsinZACM

AM=10(^x^-=10073^AMN中，

\/22

~T

ZMAN=fQo,ZMNA=9Qo,AM=100y/3,易得：MN=150m-

6.【2021高考新课标2理13】AABC内角A,民c对边分别为a,"c,

假设，，a=l,那么b=.

【答案】！

13

7.[2021大连模拟】在AABC中，a也C分别为内角A,B,C对边，假

设2sinB=sinA+sinC,,

且S=6,那么b=.

MfiC----------------------

【答案】4

【解析】利用正弦定理可得：2b-a+c,①

由余弦定理可得：匕2=Q2+C2-2acX2.=(〃+C)-%,②

55

由，得siiLB=±「.S=Lacx—=69③，由①②③得，6=4。

5AABC25

842021课标I理16]〃也。分别为AA5C三个内角A民。对边，a=2,

且G+b\sinA-sin5)=(c-Z?)sinC，那么AABC面积最大值为

【答案】p

【解析】由〃=2,且(2+b}sinA-sin5)=(c-b)sinC，故

(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC9又根据正弦定理，得(a+b)(a-6)=(c-b)c，

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化问用,b2+c2-a2=bc,故，

所以A=6Oo,又b2+c2-bc=42be,故・

9.【2021河北邢台市二中月考】在小钻。中，内角A,B,C对边分别是

a,b,c,假设，且a+c=2,那么AABC周长取值范围是___________•

【答案】(3,4)

10.[2021江西师大附中模拟】设锐角△ABC三内角A,8,C所对边边

长分别为a也c,且a=l,B=2A,那么b取值范围为—•

【答案】m

【解析】由于为锐角三角形，所以0<A<5,?0<B<!L,ZL<A+B<7t,

222

即有0<A<匕?0<2A<5，3A<兀，解之得，

222

而由题意，得b=2cosA，所以/<b</

三、解答题〔共5题，每题10分〕

11.【2021河北石家庄一中模拟】在AABC中，a,b,c分别是角

A,B,C对边，

3(b2+C2)=3a2+2bc.

⑴假设sinB=ocosC,求tanC大小；

(2)假设a=2,AABC面积S=比，且b>c,求b,c.

2

【答案】(1)tanC=0；⑵.

【解析】⑴.-3C2+c23<22+2bc,,r.cosA=1,sinA=?立_,.

,33

⑵，，，①

,：a=2,由余弦定理可得，

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/.Z72+C2=5,②..•联立①②可得.

12.[2021高考新课标2理17】AABC中，。是3C上点，AD平分

ABAC,AA5D面积是AADC面

积2倍.

⑴求；

(可假设仞之，，求班)与AC长.

【答案】(i)L(n)i.

2

【解析】(I)S=LAB-ADsinZBAD,S=LAC-ADsinZCAD,

SABD2AA£)C2

因为S=2s,ABAD=ACAD,所以AB=2AC•

MBDAADC

由正弦定理可得.

(n)因为s:s=BD：DC,所以BD=O,在AAfi。与AADC中，

AABDAADC

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，

"2+2AC2=34。2+5。2+2。。2=6•由(I)知AB=2AC,所以AC=>

13.[2021山东、湖北局部重点中学调研】在中，角A,dC所

对边分别为a,b,c.点(b,a)在直线xsinfi+y(sinA-sinfi)=csinC上.

⑴求角C大小；⑵假设c=0,求AABC面积最大值.

【答案】〔1〕1〔2〕泗

34

[解析】〔1〕因为点(b,a)在直线xsinB+y(sinA-sinfi)=csinC上，

所以bsinB+a(sinA-sinB)=csinC?由正弦定理得仍+〃(a-b)=cc，

PH77「Z?2+Q2—C211)兀

网JZ72+〃2—。2=abcosC=----------=—