北京市西城区2022-2023学年高一年级上册数学期末试题（含答案解析）

北京市西城区2022-2023学年高一上学期数学期末试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|-54x<l},B={x]x249},贝!!Au3=()

A.[-5,31B.(-3,11C.1-3,1)D.[-3,3]

2.已知命题p：3x<1,%2<1,则-p为

A.Vx>1,x2>1B.3x<1,x2>1

C.Vx<1,x2>1D.Bx>l,%2>1

3.如图，在平行四边形A8CO中，AC-AB=()

A.CBB.ADC.BDD.CD

4.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.B.a2>b2C.e-"<e"D.\na>\nb

ab

2r+1

5.不等式"41的解集为()

x-2

A.[-3,2]B.(f-3]C.[-3,2)

D.(-oo,-3]、(2,+oo)

6.正方形A8CD的边长为1,则|A5+2AO|=（）

A.1B.3C.73D.石

7.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心

建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：km）之间满足的关系为

C--+25+2000,则当C最小时，s的值为（）

s

A.20B.20近C.40D.400

8.设log?3="，则2"2。=（）

A.8B.11C.12D.18

9.已知〃为单位向量，则“|a+b|-闻=1”是“存在2>0,使得"而''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集

区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度单位：米）是影响疏散的重要因素.在

0.2,x<0.1

特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：k=<a?+140.14x410

1,x>10

（“力是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，人的值是

（参考数据：1g3«0.48）（）

1-----------------------------------.

0.2；

II

II

0^--------------------------------------------!——>

0.110X

A.-0.24B.-0.48C.0.24D.0.48

二、填空题

11.函数/（X）=log2（l-X）+4的定义域是.

12.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率

分布直方图，其中自习时间的范围是[12.5,25],样本数据分组为[12.5,15）,[15,17.5）,

[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时

13.写出一个同时满足下列两个条件的函数,f（x）=

①对VXj,%e（0,+（»），有/（砧）=/（石）+/（%）；

试卷第2页，共4页

②当xe(4,+8)时，/(x)>l恒成立.

三、双空题

14.己知函数/(x)=，2,若”=T,则/(x)>。的解集为_________；若以仁1<,

［ax,x<0

/(x)>0,则“的取值范围为.

四、填空题

15.函数/⑶的定义域为R,且VxeR,都有〃-》)=」二，给出给出下列四个结论:

/(x)

①/(0)=1或-1;

②f(x)一定不是偶函数；

③若/(X)>0,且/(X)在(YO,0)上单调递增，则/(X)在(0,+8)上单调递增；

④若/(X)有最大值，则/(X)一定有最小值.

其中，所有正确结论的序号是.

五、解答题

16.某射手打靶命中9环、10环的概率分别为0.25,0.2.如果他连续打靶两次，且每

次打靶的命中结果互不影响.

(1)求该射手两次共命中20环的概率；

(2)求该射手两次共命中不少于19环的概率.

X

17.已知函数/(x)=—.

x+1

(1)判断函数/M的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明函数.f(x)在［1,+00)上是减函数；

(3)写出函数f(x)在(7,-1］上的单调性(结论不要求证明).

18.甲和乙分别记录了从初中一年级(2017年)到高中三年级(2022年)每年的视力

值，如下表所示

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

甲4.944.904.954.824.804.79

乙4.864.904.864.844.744.72

(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值;

(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以

上的概率；

(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？(结论不要求证明)

19.函数/(x)=|l-lgx|-c,其中ceR.

⑴若c=0,求/(x)的零点：

(2)若函数Ax)有两个零点X|，W(X］<x2),求4为+占的取值范围.

20.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销

售利润『(单位:元)与时间/(1</<2(),rwN,单位:天)之间的函数关系式为/•=2+10,

4

且日销售量P(单位：箱)与时间，之间的函数关系式为P=120-2f.

(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？

(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐

赠〃?(唐eN*)元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时

间t的增大而增大，求m的取值范围.

21.设函数/(x)的定义域为Q,对于区间/=［。,勿(。若满足以下两条性质

之一,则称/为f(x)的一个区间

性质1：对任意XW/,有/(x)e/；

性质2：对任意xe/,有f(x)走/.

(1)分别判断区间［1,2］是否为下列两函数的“Q区间”(直接写出结论)；

®y=3-x；②y=_；

X

⑵若［0,M(加>0)是函数/(%)=-%2+2x的“。区间”，求机的取值范围；

(3)己知定义在R上，且图象连续不断的函数/(x)满足：对任意占,％eR,且占#%,有

"兰)二/("<一1.求证：存在“。区间，，，且存在X°€R,使得％不属于〃X)的所

NF

有"C区间

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】先化简集合8,再求并集即可.

【详解】因为3=卜|炉49}=[-3,3],

所以Au8=[—5,3].

故选：A

2.C

【详解】根据全称命题与存在性命题之间的关系，

可知命题P：*的否定为心<1,/>1,故选C.

3.B

【分析】根据向量运算得AC-AB=A。.

【详解】由图知AC-AB=BC=AD，

故选：B.

4.C

【分析】利用特殊值判断AB,由不等式的性质及指数函数的单调性判断C,由特殊值及对

数的意义判断D.

【详解】当”=1，6=T时，->7,故A错误；

ab

当。=1改=T时，a2=h2f故B错误；

由a>6=—av—b,因为y=e,为增函数，所以eFve",故C正确；

当a=l,力=-1时，In〃无意义，故lna>lnZ?不成立，故D错误.

故选：C

5.C

X+3

【分析】将不等式移项通分得到再转化为二次不等式即可得答案.

x-2

2x+1x+3

【详解】即(x+3)(x-2)40(x—2*0),解得：-3<x<2,

x-2x-2

・・.不等式的解集为「3,2),

故选：C.

6.D

【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.

答案第1页，共9页

【详解】在正方形ABC。中，如图所示，

D□i----------------------\C

A1---------------------

，2,，2

|AB+2AD\2=(AB+2AD)2=AB+4ABAD+4AD=1+0+4=5，

工A8+2A*逐

故选：D.

7.A

【分析】根据均值不等式求解即可.

【详解】因为C=^+2s+2(X)022^^Z?+2000=2080,

当且仅当晒=2s,即s=20时等号成立，

S

所以当C最小时，s的值为20.

故选：A

8.D

1+2a2fl

【分析】计算2a=log29,2=2x2.代入计算即可.

【详解】log23=a,则24=210g23=log?9,

2l+2a=2x22a=2x2log-9=2x9=18,

故选：D.

9.B

【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例匕=0即可，对于后者是否推前者，由后

者可得共线且同方向，则|。+6-闻=闷+忖-闻=同=1,即后者能推出前者，最后即

可判断.

【详解】若。=0,则|。+。|一闻=同=1,但此时不存在I>0,使得6=而，

故不存在2>0,使得。=〃，故前者无法推出后者，

若存在几>0,使得。=而，贝ija,b共线且同方向，

答案第2页，共9页

此时la+刈—历|=|4+忖-|切=同=1,故后者可以推出前者，

故|-1。|=1”是“存在2>0,使得b=而的必要不充分条件”,

故选：B.

10.A

A

【分析】分别代入两点坐标得GO.1"=-1.2,a.10=-0.4,两式相比得结合对数运算得

电3=—%,解出6值即可.

【详解】当x=0.1时，a0.1'+L4=0.2=a0.，=-1.2①，

当x=10时，夕10〃+1.4=1=>。40〃=-0.4②，

①比②得"=3=(」一丫=3,

10〃UooJ

.•.(10-2)"=3n10^=3,

Ig3=nb=_里“-丝=-0.24

22

故选：A.

11.[0,1)

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

[l-x>0

【详解】由题意可知：、八=04x<l,

[x>0

所以该函数的定义域为[0,D,

故答案为：10,1)

12.60

【分析】首先计算频率为0.3,再乘以总人数即可.

【详解】由频率分布直方图可知每周自习时间不少于20小时的频率为

(0.08+0.04)x2.5=0.3,

故200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为200x0.3=60人.

故答案为：60.

13.1年2尺(答案不唯一)

【分析】由f(x)满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可

得答案.

答案第3页，共9页

【详解】解：因为由/(X)满足的两个条件可以联想到对数函数,

当/。)=10没》时，

对VX|，we(0,+oo),/(X|X2)=log2aX2)=log2%+log2W=/a)+/(X2)，满足条件①；

当xe(4,+o))时，/(x)>log24=2>l,满足条件②.

故答案为：1型2》(答案不唯一)

14.｛x|x<0或x>2｝；-l<tz<0.

【分析】代入a=Y，分xNO和x<0两种情况，分别求解f(x)>0,最后取并集即可得出

/(x)>0的解集；原题等价于“当xNO时，2，+4>0恒成立“以及“当》<0时，依>0恒成立”

同时满足，分别求出〃的取值范围，最后取公共部分即可得到.

【详解】当a=Y时，/(》)=[二一"：°.

x<0

当xNO时，由/'(x)>0可得2*-4>0，解得x〉2；

当x<0时，由/。)>0可得Tx>0,解得x<0.

综上所述，/。)>。的解集为｛x|x<0或x>2｝.

“若VxwR,/(x)>0”等价于“当xZO时，2"+a>0恒成立”以及“当x<0时，6>0恒成立”

同时满足.

当xNO时，2、+〃>0恒成立，因为当xNO时，y=2"+a单调递增，所以应满足

2°+a=a+l>0,即。>一1；

当x<0时，or>0恒成立，则°<0.

则由“当x20时，2'+4>0恒成立”以及“当X<0时，依>0恒成立''同时满足可得，一1<。<0.

故答案为：｛x[x<0或x>2｝；-l<a<0.

15.①③

【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断

③，取特殊函数判断④.

【详解】因为VxeR,都有/(-x)=』q,

/(x)

所以八°)=看，即〃°)=1或T，故①正确；

答案第4页，共9页

不妨取/(x)=l,则,f(-x)=7、=l,即妨-x)=f(x)恒成立,所以取X)是偶函数,故②错

fM

误；

设Vx,,%e(0,*»),且看<々，贝IJ一X2<-X1<。，所以/(-%)<，(一不)，

即°<7工<7工，所以/a)</(x，)，即/(处在(0,+8)上单调递增，故③正确；

f(x2)/(%,)

x,x<0

不妨取/*)=l,x=0,则满足/(一幻=工，函数有最大值1,但是无最小值，故④错

/(X)

—,x>0

.x

误.

故答案为：①③

16.(1)0.04

(2)0.14

【分析】(1)根据相互独立事件概率的乘法公式即可求解，

(2)分类讨论，结合独立事件的概率公式即可求解.

【详解】(1)两次共命中20环,意味着两次都是命中10环，根据相互独立事件的概率公式

可得概率为：4=0.2?0.20.04

(2)第一次9环第二次10环的概率为<=0.25?0.20.05,

第一次10环第二次9环的概率为2=0.2?0.250.05,

两次都是10环的概率为4=0.2?0.20.04,

所以两次共命中不少于19环的概率为P=4+6+《=0.05+0.05+0.04=0.14

17.(l)/(x)为奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)函数/(x)在(—,-1］上的单调递减

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；

(2)根据单调性的定义，取值、作差(变形)、定号、下结论等步骤进行证明即可；

(3)结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.

答案第5页，共9页

【详解】（1）解：/（X）为奇函数，理由如下:

函数"X）=导定义域为R,所以xeR,-xeR

贝If（~X）=（_：+i=-3=-〃x），所以〃x）为奇函数.

（2）证明：任取士,超6［1，+8）,且占＜々，则

加）一加）=言占=+N-X2尤:一毛=（占*2-1）（々-X］）

%+1（片+1乂考+1）（x；+l）（x；+l），

因为W>X|>1,所以％>0,X]W-1>0

所以/区）-『。2）＞0，即/（菁）＞/（々），

故函数f（x）在［1,W）上是减函数.

（3）解：由（1）知函数〃x）为R上的奇函数，由（2）知函数/（x）在口,卡功上是单调递减

所以函数”X）在（7）,-1］上的单调递减.

18.（1）4.82

⑵|

（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，

乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.

【分析】（1）利用平均数公式计算即可；

（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可

（3）由表中数据分析波动性即可得结论.

【详解】（1）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为:

4.86+4.90+4.86+4.84+4.74+4.72“g

-------------------------------=4.82.

6

（2）列表:

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

甲4.944.904.954.824.804.79

乙4.864.904.864.844.744.72

答案第6页，共9页

甲与乙视力值的差0.0800.09-0.020.060.07

由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，

这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，

故所求概率为：P=|l=1|=|

(3)从表格数据分析可得：

甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，

乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.

19.(l)x=10

(2)[40,+?)

【分析】(1)令〃x)=0,即可求解零点，

(2)令2(的=|1一怆刈一。=0得了=103,%=10引,进而结合基本不等式即可求解.

【详解】(1)当c=0时，/(x)=|l-lgx|,令〃x)=0,则lgx=l,故x=10,

所以f(x)的零点为x=10.

(2)令/(x)=|l-lgx|-c=0,则|l-lgx|=c,(c>0),故l-lgx=±c,

-c+1f+,-cc

由于为<%2，所以%=1。91,%=10"‘，Slit4x,+x2=4x10+10=40x10+10x10,由

于10-c>0,10,>0,由基本不等式可得4%,+9=40x10-。+10x10。W2>/40xl0-cxl0xl0<=40,

当且仅当40x10-0=10x10°,即c=lg2时取等号，故4百+*2240,

所以4%+七的取值范围为[40,+?)

20.⑴第10天的销售利润最大，最大值是1250元.

⑵541(),且N*.

【分析】(1)通过计算得了")=牛=-；«-10)2+1250,根据二次函数最值即可得到答案；

(2)计算g(f)=-3〃+(10+2机》+1200-120〃?,根据题意得到不等式10+2〃z>19.5,且加+

24

答案第7页，共9页

对于1Wfw20,eN*均成立以及加eN*，最后取交集即可.

【详解】(1)设第£日的销售利润为/⑺，则

/(0=rp=(-t+10)(120-2?)=+1()Z+12(X)=--(r-10)2+1250.

422

1<Z<20,/GN,

当t=10时，/(，)皿=1250.

所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.

(2)设捐赠之后第t日的销售利润为gQ),则

^(/)=(1/+1()-/n)(l20-27)=-^r+(10+2/n)/+1200-120/n.

依题意，机应满足以下条件：

①加£N*;

(2)10+2m>19；2°=19.5,BPm>4.75；

③机W」f+10对于1力辽20,(©?4均成立，即,10.25.

4

综上5Vm410,且mwN*.

21.⑴①是,②不是；

⑵，“G[1,2]；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据新定义直接判断即可得出结论；

(2)根据[0,词(祖>0)是函数/(x)=-f+2x的“。区间”确定其满足性质1,据此分类讨论

求二次函数值域，检验即可得解；

(3)由所给函数性质分析出满足性质2,转化为f(x)=x不恒成立，/(x)存在“。区间”，再

构造函数g(x)=/(x)-x,证明有唯一零点，且修e/.

【详解】(1)对①，当Vxe[l,2],y=3-xw[l,2]