计数原理-2024届高考数学一轮复习夯基固本专项练

（10）计数原理

1.5名同学到甲、乙、丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区

至少有1名同学,每名同学只能去1个社区，且分配到甲、乙两个社区的人数不同，则

不同的分配方法的种数为（）

A.60B.80C.100D.120

2.2021年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、

创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某小区的5个家庭买了8张连号的

门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随

机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票分配到家庭的不同方法种数为（）

A.48B.72C.120D.240

3.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文

件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4

门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选

课中恰有一门课程相同的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3324

4.我国古代有着辉煌的数学研究成果《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子

算经》《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文

献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作

为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著

的概率为（）

A.—B.—C.-D.-

151599

5.现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商

户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相

邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（）

A.48B.72C.144D.96

6.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命

歌曲展演.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4

首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共

选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）

A.40B.240C.120D.360

7.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行.为纪念申奥成功，中

国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬

梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿

者标志”.现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

8.（多选）在二项式%--的展开式中，下列说法正确的是（）

Ixj

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0

C.常数项为20D.二项式系数最大的项为第4项

9.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中

间，则下列选项中恰有8种不同站法的是（）

A.甲、乙都不与老师相邻B.甲、乙都与老师相邻

C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻D.甲、乙相邻

10.（多选）关于（2》-1）8的展开式，下列说法正确的有（）

A.展开式中所有项的系数和为2'

B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C.展开式中二项式系数最大的项为第五项

D.展开式中含V项的系数为-448

11.冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春

雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排

方式有种.

12.在10件产品中有8件一等品，2件二等品，从中随机抽取2件产品，求取到的产品

中至多有一件二等品的概率为.

13.一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其

中的4盏，并且不能熄火相邻2盏和首尾2盏，则不同的熄灯方法有种.

14.设（尤+1）（2尤2—1）=%+qx++L+a]/'.

(1)求小的值；

(2)求g+22%+2乜+1.+2%。的值.

15.将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球.

(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？

⑵取出一个红球记2分，取出一个白球记1分,若取出4个球的总分不少于5分,则有多

少种不同的取法？

(3)若将取出的4个球放入一个箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为

一次操作，若操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.

答案以及解析

L答案：C

解析：根据题意，分2种情况讨论:①将5人分为1,1,3的三组，此时5人分三组有

C；=10种分组方法,分配到甲、乙两个社区的人数不同,有C；A；=4种情况,则此时

有10x4=40种分配方法;②将5人分为1,2,2的三组，此时5人分三组有

种分组方法,分配到甲、乙两个社区的人数不同,有C；A；=4种情况,则此时有

15x4=60种分配方法.综上，有40+60=100种分配方法.

2.答案：C

解析：若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有=48种不同的分配方法，若甲、

乙2个家庭的5张票不连号，则有A/A；=72种不同的分配方法，综上，这8张门票

共有48+72=120种不同的分配方法.

3.答案：B

解析：甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程中任选2门的选法共有C；C：=36

种，其中甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有C；C；C；=24种，所以

74?

甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率P=-=-.故选B.

363

4.答案：A

解析：从10部专著中选择2部的所有可能情况有C；。=45(种).

设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A,则A包含的基本

事件个数为C；C；+C；=42.由古典概型概率公式可得P(A)=^|=i|.故选A.

5.答案：B

解析：先把3家小吃店捆绑全排共有A；=6种排法，

再把小吃店与玩具店全排共有A；=2种排法，

然后把2家文创店插空全排共有A；=6种排法，

所以共有6x2x6=72种.

故选：B.

6.答案：D

解析：根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安排方法，在其

他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A：=120种安排方法，则有3x120=360

种不同的安排方法，

故选：D.

7.答案：C

解析：一套5枚邮票中吉祥物邮票有2枚，从一套5枚邮票中任取3枚，共有C；=10

种，恰有1枚吉祥物邮票有C；C；=6种，故恰有1枚吉祥物邮票的概率为£=工

105

故选：C.

8.答案：ABD

解析：A项，二项式系数和为C"C：++C^=26=64,故A项正确;

B项,中令x=l得所有项的系数和为0,故B项正确;

C项，|x-的展开式的通项为7；+|=C)6-(—=(-D'C)6-2r,厂=0/，，6,令

6-2厂=0得厂=3,即展开式的常数项为n=(-1)3屋=-20,故C项错误;

D项，卜-的展开式共有7项，最中间的为第4项，它的二项式系数最大，故D

项正确.

9.答案：CD

解析：对于A,甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有

2种站法，所以有2x2=4种站法，不符合;

对于B,同A一样，有4种站法，不符合;

对于C,甲站两端，有2种站法,乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置,

有2种站法，所以有2x2x2=8种站法，C符合；

对于D,甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，

有2x2种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有2x2x2=8种站法，D

符合.

10.答案：BCD

解析：对于A,令x=l,可得展开式中所有项的系数和为1,故A错误；对于B,展

开式中所有奇数项的二项式系数和为28T=128,故B正确；对于C,易知展开式中二

项式系数最大的项为第五项，故C正确；对于D,展开式中含/的项为

C^(2X)3(-1)5=-448X3,故(2x-以的展开式中含/项的系数为一448,故D正确.故选BCD.

11.答案：9

解析：先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威

后，有色=3种，按照分步计数原理共有3x3=9种.

故答案为：9.

12.答案：—

45

解析：从10件产品中随机抽取2件产品有C；。=45种方法；

其中至多有1件二等品有C；C；+C；=44种方法；

44

因此事件取到的产品中至多有一件二等品的概率的概率p=—,

45

44

故答案为：—.

45

13.答案:35

解析：记熄灭的灯为0,未熄灭的灯为1,则相当于4个0和8个1排一行，并且要求

各个0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，再在8个1之间形成的7个空中选取4

个插入0,则不同的熄灯方法共有C：=35(种).

14.答案：(1)由题意，知&是。+1乂2尤2一1)5的展开式中含f项的系数.

2525r102r

(2x-l)的通项公式为Tr+l=C；(2xJ"(-l)=(-1)「C⑵，x-,0<r<5,reN,

令10-2r=5,得r舍去；

2

令10-2r=6,得r=2,

则(-iyq25T=(_iyc；23=8o,

即4=80.

(2)令'x=2,彳导3x75=4+2q+2~电+L+2"a”

令"x=—2,《导-7，=—2%+2之4-L-2"q],②)

210=5

①;②，得a0+