2023届云南省呈贡一中高三年级下册教学质量检查数学试题

2023届云南省呈贡一中高三下学期教学质量检/数学试题理试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知sin（乃+二）=[,且sin2a<0,贝！Itan[a-7]的值为（）

11

A.7B.-7C.-D.——

77

2.已知函数/。）=-45m3%+4+/?（<3>0,%€11）的值域为[-5,3],函数g（x）=b-cosax,则g（x）的图象的对称

中心为（）

A.（',-5,eZ）B.（今+?,—5）（EeZ）

C.七,一4）伏eZ）D.仔+京T卜eZ）

3.已知复数二满足：zi=3+4i（i为虚数单位），则）=（）

A.4+3/B.4-3zC.-4+3iD.-4-3z

1w

4.函数/（X）8-2x的部分图象大致是（）

5.马林・梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费

马等人研究的基础上对〃-1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2^-1

（其中P是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）

6.若复数2=（加+1）+（2-，*"（加€/?）是纯虚数，则一=（）

A.3B.5C.V5D.3小

7.已知a=ln6，b=/，c=——,则"，b,c的大小关系为（）

O

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

8.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）

n„nc2兀42万

A.-B.------C.—D.--------

3333

9.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院8,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

10.已知直线和平面a,若〃z_La,贝！〃”是"〃〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.不充分不必要

11.点”在曲线G:y=31nx上，过M作x轴垂线/,设/与曲线y=，交于点N,0P=°M+°N，且P点的纵

X3

坐标始终为0,则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

12.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球

体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90]内的概率为（）

附：若X~N（出cr?）,则。（4一cr<X,,〃+cr）=0.6826,0（4—2b<X,,〃+2b）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量J服从正态分布N（2,9）,若PC>c）=P（J<c+2）,则c的值是.

14.已知复数z=l+2i,其中i为虚数单位，则d的模为.

15.在（0+五）"的二项展开式中，所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于.

x~

16.若正实数一，-，满足-4•一一贝！....的最大值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=lnx+ar2一3彳（aeR）

（1）函数/（x）在点（1,/⑴）处的切线方程为丁=-2,求函数.f（x）的极值；

（2）当〃=1时，对于任意看,吃€口,10],当Z>X时，不等式/（石）一/（%）〉'"：：、）恒成立，求出实数〃，的

取值范围.

GC

18.（12分）已知数列｛4｝,其前”项和为S“，若对于任意〃eN*，且“件〃，都有3垃二勺+q+=区.

m+nm-n

（1）求证：数列｛4｝是等差数列

（2）若数列｛c.｝满足q,=4+4+2—a；（“eN*）,且等差数列｛4｝的公差为:，存在正整数P，4,使得%+%,求

闻的最小值.

19.（12分）已知函数/（x）=|x-a|（aeR）.

（1）当a=2时，若/。）+|3犬-2|2加恒成立，求知的最大值;

⑵记了（%闫2%+1|-|2%-1|的解集为集合4,若1,1=A,求实数。的取值范围.

20.（12分）设实数X，）'满足x+y=3.

（1）若|x+3|＜x]y-2|,求x的取值范围;

⑵若%＞。,y＞。,求证：击+91.

21.（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花

卉.方案是：先建造一条直道DE将AABC分成面积之比为2:1的两部分（点O,E分别在边AB，AC上）；再取OE

的中点M,建造直道AM（如图）.设AO=x,DE=%,AM=y2（单位：百米）.

（1）分别求y,%关于x的函数关系式；

（2）试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

22.（10分）已知如图1,在Kf/ABC中，ZACB=30,Z4BC=90,。为AC中点，4£：_18。于后，延长AE交

6C于R将4A8O沿BO折起，使平面A8OJ.平面8CO,如图2所示。

图1图2

（I）求证：AEJ_平面BCD；

（II）求二面角A-DC-B的余弦值；

（DI）求三棱锥8-4E厂与四棱锥A/EOC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,A

【解析】

4

由$皿(7+。)=］及5由2夕＜0得到5m。、cosa,进一步得到tana,再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】

443

因为sin(万+a)=1，所以sina=-g,又sin2a=2sinacosa<0,所以cosa=1，

4(71tan6/-13r

tana-,所以tan|a~~-------------------=7.

31+tana〔_4

3

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

2、B

【解析】

由值域为-5,3］确定a,。的值，得g(x)=-5-cos4x,利用对称中心列方程求解即可

【详解】

因为/(x)eg,2a+切，又依题意知Ax)的值域为［-5,3］,所以2a+8=3得a=4,b=-5,

jrK,7Tjr

所以ga)=，ss4x,令4x=k”km得-彳+”也，则g(x)的图象的对称中心为

k兀兀.Y.

-,-5eZ).

48；

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0

3、A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出Z,再根据共扼复数的概念即可求解.

【详解】

3+4/3/-4

由zi=3+4i,则z=^^=^^=4—3i,

i-1

所以』=4+3z.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共轨复数的概念，属于基础题.

4、C

【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】

/(—x)=—/(x),••・函数是奇函数，排除

时,/(x)>0,时，/(x)<0,排除5,

当代呜1klLU]

时，sin2xe(O,l),—e1e。」)

888)I

XG时，/(x)€(O,l),排除A,

C符合条件，故选C.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负,

以及单调性，极值点等排除选项.

5、C

【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.

【详解】

解：模拟程序的运行，可得：

p=1,

S=L输出S的值为1,

满足条件PW7,执行循环体，p=3,S=7,输出S的值为7,

满足条件PW7,执行循环体，p=5,5=31,输出S的值为31,

满足条件PW7,执行循环体，p=7,5=127,输出S的值为127,

满足条件PW7,执行循环体，p=9,S=511,输出S的值为511,

此时，不满足条件/7,退出循环，结束，

故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图，属于基础题.

6、C

【解析】

先由已知，求出加=-1,进一步可得9土卫=l-2i,再利用复数模的运算即可

Z

【详解】

由z是纯虚数，得机+1=0且2—加工0,所以m二-1,z=3i.

6+3,

因此,

z

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

7、D

【解析】

构造函数/(x)=(，利用导数求得了(X)的单调区间，由此判断出。也C的大小关系.

【详解】

依题意，得a=ln%=世，b=e-'=—,。=叫工=2.令/(*)=叱，所以/'(幻=上4.所以函数/(》)

3e88xx

在(0,e)上单调递增，在(e,+<»)上单调递减.所以"(幻］,皿=/(e)=1=。，且/⑶〉/(8)，即a〉c,所以匕>a>c.

e

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.

8、B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的二，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2万，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为一2x2万万.

63

故选：B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

9、B

【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B,当医院8只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有C；&+=10种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有用种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有8+C；8=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

10、B

【解析】

由线面关系可知〃不能确定"与平面a的关系，若〃〃a一定可得力_L〃，即可求出答案.

【详解】

不能确定〃ua还是〃<za,

nila,

当〃〃a时，存在aua,nila,,

由，〃J_a=>〃zJ-a,

又nlla,可得mln,

所以“〃?_L〃”是“nlla”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

11、C

【解析】

设M(f,31nf),则则OP=(?,lnf+即可得lnr+J=O,设ga)=lnf+:,利用导函数判断的零

点的个数，即为所求.

【详解】

设M«,31nt),则N("),所以=+

依题意可得1球+2=0,

3t

设g⑴=如人.则g，⑴=卜:=竽，

当0<，<；时,g'Q)<0，则g⑺单调递减；当”;时,g'⑺〉0,则g⑺单调递增，

所以8«*1)=8(!]=1-也3<0,且8(!〕=—2+—>0,8(1)=:〉0,

g(r)=In/+七=0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.

故选:C

【点睛】

本题考查利用导函数处理零点问题，考查向量的坐标运算，考查零点存在性定理的应用.

12、C

【解析】

根据服从的正态分布可得4=8(),CT=5,将所求概率转化为P(M-CT<XW4+2(T),结合正态分布曲线的性质可

求得结果.

【详解】

由题意，〃=80,。=5,贝!JP(75<X„85)=0.6826,P(70<X,,90)=0.9544,

所以尸(85<X,,90)=gx(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果实直径在(75,90］内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

c+c+2

由题得一一=2,解不等式得解.

2

【详解】

因为P(J>c)=PC<c+2),

所以c=l.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14、5

【解析】

利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】

解：由z=l+2i,得z?=(1+27)2=-3+43

所以归|=J(—3『+42=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查复数模的求法，属于基础题.

15、15

【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.

【详解】

因为[三+JxJ的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,

故(最十五)的展开式的通项公式为-35，*。,令，10=0,解得r=4,可得常数项为T5=C53=15,故填15.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

16、j

【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将--当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的

最值的问题的求解方法，即可求得结果.

详解：,当且仅当

一二+1+1二）=4-；_:一三•+咛）S4-十+2⑼=;

20=口+：=:等号成立，故答案是「

点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后

注意此类问题的求解方法……相乘，即可得结果.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17,(1)极小值为一2,极大值为—ln2—i(2)(-<»,-1710]

【解析】

(D根据斜线的斜率即可求得参数。，再对函数求导，即可求得函数的极值；

(2)根据题意，对目标式进行变形，构造函数/?(x)=/(x)-根据〃(x)是单调减函数，分离参数，求函数的最

值即可求得结果.

【详解】

(1)函数/(%)=1。)+狈2_3%的定义域为(0,+8),

/'(x)=—+2ox-3,尸(l)=l+2。-3=0,a=\

x9

可知/(x)=lnx+x2-3x,f(x)=l+2x-3=—~~？-=0,

XX

解得=1,,

-2

可知在xe(0,；)(l,+8)时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

在时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，

可知函数Ax)的极小值为/(I)=In1+1-3=-2,

极大值为=+=

\乙J4*14t

(2)/(X,)〉"(/一%)可以变形为/(匹)_/(々)>%—%,

工2大玉%2

可得/(西)-'>/(々)一2，

%々

可知函数/(x)-：在［1/()］上单调递减

n(x)=j(x)---=lnx+x—3x---,

xx

Im

"(x)=_l+2x—3+—K0,

XX

可得m4-2x3+3x2-x>

设F(x)=-2x3+3x2-x,

(iA2i

F(元)=-6/+6x-l=-6x——十—vO,

\272

可知函数/(%)在［1,10］单调递减，

32

F(x)min=F(10)=-2X10+3X10-10=-1710,

可知772<-1710，

可知参数团的取值范围为(-8,-1710］.

【点睛】

本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第

二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.

18、(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)用数学归纳法证明即可；

7

(2)根据条件可得然后将4+4用q,P,4表示出来，根据18q=3(3加一p-q+1)+1是一个整数,

可得结果.

【详解】

解：(1)令根=2,〃=1,则交^二2。"

3

即—41-+--电--+--”-3二a2，

3

・・4+%=2d】,♦・〃],4,%成等差数列，

下面用数学归纳法证明数列｛%｝是等差数列，

假设4，%，，%成等差数列，其中2之3,公差为d,

2s

令m=k,n-\——二%+©+d,

k+1k1

：.2s&+[=(k+1)(€1卜+q+d)=Z(%+q)+%,+(k+l)d

=2S&+a〕+必+(左+V)d,

:.2sA+]=%+ak+(2+l)d=2(0,+kd),

即4-I=ax+kd9

9

••%,%，,MR+1成等差数列，

数列｛q｝是等差数列；

若存在正整数P，4,使得%,+%是整数，

E1Z1,2

则与+品=q+-(p-O+«i+-(7-1)+-

JJy

cn+q-22丁

—247.d---------1£Z,

39

5,p+q-22

设??7=2。]H----------1--9〃2£Z,

139

.•.18%=3(3m-p-q+1)+1是一个整数,

.,.|18o,|>l,从而同2,，

18

又当(i——时，有q+q=lwZ,

x18

综上，|《的最小值为!.

【点睛】

本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题.

4「，5一

19、(1)一；(2)-I,-

312」

【解析】

(1)当a=2时，由题意得到上一2|+|3%—2|之〃，令g(x)=|x—2|+|3%-2],分类讨论求得函数的最小值，即可求

得M的最大值.

(2)由xe1,1时，不等式/(%)02%+1卜|2无一1|恒成立，转化为x—2WaWx+2在xe1,1上恒成立，得到

U-2)max<«<(x+2)min,即可求解.

【详解】

(1)由题意，当。=2时，由.f(x)+|3x—2|之加，可得卜一2|+|3%—2|之加，

令g(x)=|x-2|+|3x-2],则只需g(X)minNM，

2

当不<1时，且(])二4一41；

2

当时，g(x)=2x；

当x>2时，g(x)=4x-4；

244

故当x=§时，g(x)取得最小值即M的最大值为

(2)依题意，当xepl时，不等式/(尤闫2工+1|-|2%—1|恒成立，

即a]+|2x-1|W|2x+在xe-,1上恒成立，

所以|x-a|+2x-lW2x+l,即|x-a|W2,即-2Wx—aW2,

解得x-2WaWx+2在XG上恒成立，

则(》一2)2«。<(》+2)神，所以—lWa«g，

所示实数。的取值范围是一l，g.

【点睛】

本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理

与计算能力.

20、(1)(3,+8)(2)证明见解析

【解析】

(1)依题意可得k+3|<乂1一乂，考虑到x>0,则有x+3<x|l-x|再分类讨论可得；

(2)要证明±+即证(x+l)+y2(x+l)y,即证(x+l)yW4.利用基本不等式即可得证；

【详解】

解：(1)由|x+3|<x]y—2|及x+y=3,得|x+3|<x]l-x|,

考虑到x〉0,则有x+3<x|l—x|,它可化为

0<x<l,fx>1,

<<

x+3<x(l-x),[x+3<x(x-l).

0<x<1,fx>l,

即，或，

|X2+3<0,[X2-2X-3>0.

前者无解，后者的解集为{x|x>3},

综上，X的取值范围是(3,+8).

(2)要证明贵+[21,即证(x+l)+yN(x+l)y,

由x+y=3,得(x+l)+y=4,即证(x+l)yW4.

__22

因为(x+l)y<("(+)'=4(当且仅当x=l,y=2时取等号).

所以(x+l)yW4成立，

故-T+'N1成立.

x+1y

【点睛】

本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.

21、(1)=^x24—--69XG[2,3].=

(2)当AO=#百米时，两条直道的长度之和取得最小值瓜百米.

【解析】

2

(D由5凶山=§5根/，可解得AE•方法一：再在AAZ汨中，利用余弦定理，可得必关于x的函数关系式；在AADE

和AA£M中，利用余弦定理，可得为关于上的函数关系式•方法二：在AAZ)上中，可得=则有

22)化简整理即得.(由(和基本不等

DE=AE-2AEAD+ADJ9化简整理即得；同理AM=](AD+AE,2)1)

式，计算即得.

【详解】

2

解：⑴S，，E二SmA4BC是边长为3的等边三角形，又仞=x,

14n▲l.无2f12：6

AD-AEsm—=—X3xsin—j,.AE

2332x

0<AD=x<3

由＜6，得2W.

0<AE=-<3

x

法1：在AADE中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAE-cos-=x2+^--6.

3x2

故直道DE长度y,关于X的函数关系式为y.XG[2,3].

在AM处和AAEM中，由余弦定理，得

AD2=DM2+AM2-2DM-AM-cosZAMD①

AE2^EM2+AM2-2EMAM-COS(7T-ZAMD)②

因为M为。£的中点，所以。M=

2

2

由①+②，得AfP+AE?=。加2+石用2+2AM2=LDE^+2AM,

2

所以V+jg]=#元2+彗_61+2AM2,所以4加2=土+乂+。.

%2)4%22

所以，直道AM长度为关于X的函数关系式为

xe[2,3].

%=

法2：因为在AADE中，DE=AE—AD，

山1、1.2-2--2|667T2)36,

所以

DE=AE-2AE.AD+AD=H-2--XCOS-+X=X+-,-6.

所以，直道长度/关于x的函数关系式为弘={/+三一6,xe[2,3].

在AADE中，因为M为的中点，所