2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第1节函数及其表示

考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映

射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表

法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过

三段).

I知识诊断•基础夯实

|知识梳理

1.函数的基本概念

(1)函数的定义

给定两个非空数集Z和8,如果按照某个对应关系/,对于集合/中的任何一个

数x,在集合8中都存在唯二的数/(x)与之对应，那么就把对应关系/叫作定义在

集合力上的函数，记作/：或xWZ,此时x叫作自变量，集合/叫

作函数的定义域，集合｛Ax)|xG/｝叫作函数的值域.

(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.

(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法.

2.分段函数

(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系，

这样的函数通常叫作分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的史集，值域是各段值

域的并集.

常用结论

L函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x=a(a是常数)与函数y=/(x)的图像至多有1交点.

3.注意以下几个特殊函数的定义域

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

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(3)/U)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若/(x)=x。，则定义域为{x|xWO}.

(5)正切函数尸tanx的定义域为‘7碗十子.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

(1)函数_y=l与y=x。是同一函数.()

(2)对于函数fA-B,其值域是集合氏()

(3辿%)=3一3+、2—x是一个函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

2.若函数的定义域为〃={x|-2WxW2},值域为N=(y|0《yW2},则函数

_y=/(x)的图像可能是()

».皿3”（xWO）,,1丄

3.（2021・贵阳诊断）已知函数*》）=■则九心J」=（）

10g3X（X>O）,

A.-lB.2C.SD.-

2

4.(2020•北京卷)函数/(x)=丄+Inx的定义域是_________.

x+1

5.(易错题)已知/M)=x—1,则/(x)=.

N+2,xWl,

6.已知函数/(x)=[则/(x)的值域为________.

，v1>，1

X

[考点突破•题型剖析

考点一函数的定义域

1.函数y=^/l—x2+log2(tanX—1)的定义域是.

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2.函数./0)=^^=+111(刀+1)的定义域为(

)

A.(2,4-0°)

B.(-h2)U(2,+°0)

C.(—l,2)

D.(-l,2]

3.(2021・西安检测)已知函数y=/(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=J(丁+1)

x+2

的定义域是()

A.(—8,-2)U(-2,3]

B.(—8,-2)U(-2,1]

-_9]

C.2Ju(-2,0]

"_9_7

,2

D.L2」

4.已知函数/(2x—1)的定义域为[0,1],则/(一十1)的定义域是()

10g2(x+1)

A.(-L0)B.(—1,0]

C.[-l,0)D.[-l,0]

考点二求函数解析式

例1求下列函数的解析式：

(1)已知/(l—sinx)=cos2x,求/(x)的解析式；

(2)已知求/(x)的解析式；

(3)已知外)是一次函数且双x+l)一〃(x—l)=2x+17,求人x)的解析式；

(4)已知/(x)满足2/(x)+/(-^)=3x,求/(x)的解析式.

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训练1(1)已知=lgx,则“x)=

(2)(2021•黄冈检测)已知.量号，则個=

(3)(2022•唐山模拟)已知/(x)是二次函数且/(0)=2,/(x+1)—/(x)=x—1,则/(x)=

考点三分段函数

角度1分段函数的求值

,.Qx,x，一1,

例z2(1)已知函数加)=,则/(0)一/(—3)=________.

lOg2(1—X),X<—1,

QXX>0

(2)设函数貝x)=,：二](a>0且aWl),若人2)=4,则沢—2023)=_______.

f(x+4a),x<0

角度2分段函数与方程

—4.丫^>2

例3(1)(2021•浙江卷)已知a£R,函数/(%)=•''若则。

\x-3\+a,x《2.

Iog2(3—x),xWO,i

(2)(2022•长沙质检)已知函数加)=,若儿/-1)=匕则实数a

2X—1,x>0,2

角度3分段函数与不等式

log2X，X>1,

例4(2021•合肥模拟)已知函数貝x)=,则危)yx+1)的解集为()

x——1,xW1,

A.(-1,+°0)B.(-h1)

c昌+TD.(~?0

—3xv]

训练2(1)函数｛x)=・''则关于函数作)的说法不正确的是()

Inx,

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A.定义域为RB.值域为（-3,+8）

C.在R上为增函数D.只有一个零点

2_丫—]x>0

（2）（2021•郑州调研）已知函数/（x）=「'''若/（-1）=3,则不等式/（x）W5

a'+1,xWO,

的解集为（）

A.[—2,1]B.[—3,3]

C.[-2,2]D.[-2,3]

微点突破/函数的值域

求函数值域的一般方法：（1）单调性法；（2）不等式法；（3）配方法；（4）换元法；

（5）数形结合法；（6）分离常数法；（7）导数法.

一、单调性法

2023x+l+2022

例1已知。>0,设函数兀0=；彳23；1+2023.丁口一。，0）的最大值为加，

最小值为N,则M+N的值为（）

A.2023B.2024

C.4045D.4046

二、不等式法

主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的

基本不等式有以下几种：

a2+b2^2ab（a,b为实数）;

审■亍丽（心0,心0）；

姉・卜万扌忘得它3,b为实数）.

例2设x,»z为正实数，x-2y+3z=0,则记的最小值为.

XZ

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三'配方法

配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数E(x)=q/2(x)+a/(x)+c的最值问题,

可以考虑用配方法.

例3已知函数^=©—a)2(°eR,qWO),求函数y的最小值.

四'换元法

换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵

活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从

而求出原函数的最值.

例4(1)函数人x)=x+2/，的最大值为；

(2)函数歹=x一4=)的值域为.

五'数形结合法

数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函

数最值的一种常用的方法.

a,一

例5对a,记max{q,b}='函数/(x)=max{|x+1|,|x—2|}(x^R)

b，a<b，

的最小值是.

六、分离常数法

例6已知人x)=22x口+1，求此函数的值域.

X—3

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七'导数法

例7已知/(x)=2x—Inx,求/(x)的值域.

防层训练■汎固提升

A级基础巩固

1.如图是张大爷晨练时离家距离8)与行走时间(x)之间的函数关系的图像.若用黑

点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()

、、、_,，

ABCD

2.下列所给图像是函数图像的个数为()

A.1

)x+1xV0

3.已知函数｛r)=,'''贝IJ攸8))等于()

,1—10g2X,X>0,

A.-1B.——C.-D.2

22

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4.设函数火1+JJ=X,则/(x)的表达式为()

1+x1+x

-1)B.——1)

1-XX—1

1---Y0x

C-1)D.-^-(xW-1)

1+xx+1

2x-\-1

5.已知函数/(x)=,)'i'且/(xo)=3,则实数xo的值为()

3x,x<0,

A.-lB.l

C.-l或1D.-l或一丄

3

/(2x—1)

6.(2021・兰州质检)已知函数人x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=/的

In(1—X)

定义域是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]

7.(2021・成都检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学

王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x£R,用図表示不超过x

的最大整数，则歹=[幻称为高斯函数.例如：[-0.5]=-1,.已知函数人x)

=1x^-3X2v+4(0<x<2),则函数y=[/U)]的值域为()

一丄4

A.L2’2JB.{-1,0,1)

C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

,,,仔+x,x20,

8,已知函数貝x)=，

.3x,x<0,

若。伏4)一人一4)]>0,则实数“的取值范围为()

A.(l,+°°)

B.(2,+8)

C.(—8,-1)U(1,+8)

D.(—8,-2)U(2,+8)

9.函数貝x)=ln1一炉的定义域为.

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—2x|]

10.(2022•西安质检)已知函数=,'''则满足火。)>1的实数”的

2，，x20,

取值范围是.

11.已知函数y(x)满足x)=2x(xW0),则八-2)=,/^=

X

12.具有性质：£)=—外幻的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数

满足“倒负”变换的函数的是.

x,0<^<1,

①y=x—1；②y=ln-~-；③y=e—；(4y(x)=0,A—

x1+x*1